2020-2021学年河南省郑州市重点高中高二上阶段性测试(二)(12月)数学(文)(解析版)
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，根据 ，化简得到 ，进而得到离心率的不等式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，
所以 ， ，
因为 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，可得 ，解得 ，又因为椭圆的离心率 ，所以 ，
即椭圆的离心率为 .
故选：B.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
【详解】当 时， ，所以命题 是假命题，
因为 恒成立，
所以命题 ： ， 为假命题.
所以 为真命题.
故选：D
6．在数列 中， ， ，则 （）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据已知分析数列的周期性，可得答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ， ， .
∴该数列是周期数列，周期 .
又 ，∴ ，
故选：A.
将目标函数 ，转化为 ，平移直线 ，
当直线经过点 时，在 轴上的截距最大，
此时，目标函数取得最大值， .
故选：D
5．已知命题 ： 且 ，都有 ；命题 ： ， .则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用特值法得到命题 为假命题，利用二次函数的性质得到命题 为假命题，再结合选项即可得到答案.
又二次函数 的图象开口向上，
所以不等式 的解集为 或 ，
故选：B
2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ ”是“ ， ， 成等比数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由 是 的三边，所以 均不为0，结合等比数列的定义和充分条件、必要条件的判定，即可求解.
当 时，要满足关于 的不等式 对任意 恒成立，只需 解得 .
综上， 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：一元二次型不等式恒成立的情况：
(1)不等式 对任意实数x恒成立等价于 或 ；
(2)不等式 对任意实数x恒成立等价于 或 ；
12．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，若 ，则椭圆的离心率 的取值范围是（）
【答案】
【分析】由 ， 列出关于首项与公比的方程组，求出首项与公比，利用等比数列前 项和公式可得答案.
【详解】设数列 的公比为 ，
则
解得 ， ，
2020-2021学年河南省郑州市重点高中高二上学期阶段性测试（二）（12月）数学（文）试题
一、单选题
1．二次方程 的两根为2， ，那么关于 的不等式 的解集为（）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，确定二次函数 的图象开口方向，再由二次方程 的两根为2， ，写出不等式的解集.
【详解】因为二次方程 的两根为2， ，
根据点到直线的距离公式，可得 ，
即抛物线 的焦点到直线 的距离为 .
故选：B.
4．已知 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（）
A．0B．1C．10D．13
【答案】D
【分析】由 ， 满足约束条件画出可行域，平移直线 ，由直线在 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.
【详解】由 ， 满足约束条件 画出可行域，如图所示阴影部分：
由余弦定理可得 ，又故 ，所以 .
故选：B.
11．已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分 和 两种情况分别满足不等式恒成立，当 时，根据一元二次不等式恒成立所满足的条件：二次项系数和根的判别式的符号，建立不等式组，可得 的取值范围.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，其恒成立，
7．在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 （）
A．4B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ， 是方程 的两根，得到 ， ，然后利用等比中项求解.
【详解】设 为数列 的公比，
因为 ， 是方程 的两根，
所以 ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ .
故选：A
8．若双曲线 的离心率为3，则 的最小值为（）
A． B．1C． D．2
【详解】因为 是 的三边，所以 均不为0，
则由 ，可得 ，所以 成等比数列，
反之：当 成等比数列，可得 ，
所以“ ”是 成等比数列”的充分必要条件.
故选：C.
3．抛物线 的焦点到直线 的距离 （）
A． B． C．1D．2
【答案】B
【分析】由抛物线 可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由抛物线 可得焦点坐标为 ，
【答案】
【分析】由抛物线的方程求得其焦点，由已知求得双曲线的 ，由此得出双曲线的方程，可得选项.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，由抛物线 的焦点坐标为 ，得 .
又因为双曲线的离心率 ，所以 ，又由 ，可得 ，所以双曲线的方程为 .
故答案为Biblioteka Baidu .
14．等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 _______.
【分析】利用等差数列的性质可得 ，即可求出 .
【详解】 ，∴ .
∴ .
故选：C.
10．设 的内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， .若 ， ，则角 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理得出边 之间的关系，再由余弦定理求得 ，由角的范围可得选项.
【详解】根据正弦定理，由 ，得 ，又 ，所以令 ， ， ， .
【答案】D
【分析】由双曲线的离心率为3和 ，求得 ，化简 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，双曲线 的离心率为3，即 ，即 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，“ ”成立.
故选：D.
【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：
1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；
2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；
3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.
9．在等差数列 中，若 ，则数列 的前13项和 （）
A．260B．520C．1040D．2080
【答案】C
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、填空题
13．已知双曲线 离心率 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为_______.
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，根据 ，化简得到 ，进而得到离心率的不等式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，
所以 ， ，
因为 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，可得 ，解得 ，又因为椭圆的离心率 ，所以 ，
即椭圆的离心率为 .
故选：B.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
【详解】当 时， ，所以命题 是假命题，
因为 恒成立，
所以命题 ： ， 为假命题.
所以 为真命题.
故选：D
6．在数列 中， ， ，则 （）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据已知分析数列的周期性，可得答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ， ， .
∴该数列是周期数列，周期 .
又 ，∴ ，
故选：A.
将目标函数 ，转化为 ，平移直线 ，
当直线经过点 时，在 轴上的截距最大，
此时，目标函数取得最大值， .
故选：D
5．已知命题 ： 且 ，都有 ；命题 ： ， .则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用特值法得到命题 为假命题，利用二次函数的性质得到命题 为假命题，再结合选项即可得到答案.
又二次函数 的图象开口向上，
所以不等式 的解集为 或 ，
故选：B
2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ ”是“ ， ， 成等比数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由 是 的三边，所以 均不为0，结合等比数列的定义和充分条件、必要条件的判定，即可求解.
当 时，要满足关于 的不等式 对任意 恒成立，只需 解得 .
综上， 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：一元二次型不等式恒成立的情况：
(1)不等式 对任意实数x恒成立等价于 或 ；
(2)不等式 对任意实数x恒成立等价于 或 ；
12．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，若 ，则椭圆的离心率 的取值范围是（）
【答案】
【分析】由 ， 列出关于首项与公比的方程组，求出首项与公比，利用等比数列前 项和公式可得答案.
【详解】设数列 的公比为 ，
则
解得 ， ，
2020-2021学年河南省郑州市重点高中高二上学期阶段性测试（二）（12月）数学（文）试题
一、单选题
1．二次方程 的两根为2， ，那么关于 的不等式 的解集为（）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，确定二次函数 的图象开口方向，再由二次方程 的两根为2， ，写出不等式的解集.
【详解】因为二次方程 的两根为2， ，
根据点到直线的距离公式，可得 ，
即抛物线 的焦点到直线 的距离为 .
故选：B.
4．已知 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（）
A．0B．1C．10D．13
【答案】D
【分析】由 ， 满足约束条件画出可行域，平移直线 ，由直线在 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.
【详解】由 ， 满足约束条件 画出可行域，如图所示阴影部分：
由余弦定理可得 ，又故 ，所以 .
故选：B.
11．已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分 和 两种情况分别满足不等式恒成立，当 时，根据一元二次不等式恒成立所满足的条件：二次项系数和根的判别式的符号，建立不等式组，可得 的取值范围.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，其恒成立，
7．在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 （）
A．4B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ， 是方程 的两根，得到 ， ，然后利用等比中项求解.
【详解】设 为数列 的公比，
因为 ， 是方程 的两根，
所以 ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ .
故选：A
8．若双曲线 的离心率为3，则 的最小值为（）
A． B．1C． D．2
【详解】因为 是 的三边，所以 均不为0，
则由 ，可得 ，所以 成等比数列，
反之：当 成等比数列，可得 ，
所以“ ”是 成等比数列”的充分必要条件.
故选：C.
3．抛物线 的焦点到直线 的距离 （）
A． B． C．1D．2
【答案】B
【分析】由抛物线 可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由抛物线 可得焦点坐标为 ，
【答案】
【分析】由抛物线的方程求得其焦点，由已知求得双曲线的 ，由此得出双曲线的方程，可得选项.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，由抛物线 的焦点坐标为 ，得 .
又因为双曲线的离心率 ，所以 ，又由 ，可得 ，所以双曲线的方程为 .
故答案为Biblioteka Baidu .
14．等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 _______.
【分析】利用等差数列的性质可得 ，即可求出 .
【详解】 ，∴ .
∴ .
故选：C.
10．设 的内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， .若 ， ，则角 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理得出边 之间的关系，再由余弦定理求得 ，由角的范围可得选项.
【详解】根据正弦定理，由 ，得 ，又 ，所以令 ， ， ， .
【答案】D
【分析】由双曲线的离心率为3和 ，求得 ，化简 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，双曲线 的离心率为3，即 ，即 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，“ ”成立.
故选：D.
【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：
1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；
2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；
3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.
9．在等差数列 中，若 ，则数列 的前13项和 （）
A．260B．520C．1040D．2080
【答案】C
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、填空题
13．已知双曲线 离心率 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为_______.