循环小数化分数及其运算—小学数学教材
循环小数和分数的互化-教师版
循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。
沪教版小学五年级数学上册《循环小数》说课稿
沪教版小学五年级数学上册《循环小数》说课稿一、教材分析《循环小数》是沪教版小学五年级数学上册的一部分。
本单元主要介绍了循环小数的概念、性质和运算规律。
通过本单元的学习，学生将了解到循环小数的表示方法，掌握循环小数与分数的相互转化，以及循环小数的加、减、乘、除法运算。
二、教学目标1.理解循环小数的定义和表示方法；2.掌握循环小数与分数的互相转化方法；3.掌握循环小数的加、减、乘、除法运算规律；4.培养学生分析和解决问题的能力。
三、教学重点和难点教学重点：1.循环小数的定义和表示方法；2.循环小数与分数的互相转化。
教学难点：1.循环小数的加、减、乘、除法运算；2.运用循环小数解决实际问题。
四、教学准备1.教师准备：教案、课件、黑板、粉笔。
2.学生准备：教材、练习册、作业本、计算器。
五、教学过程第一课时：循环小数的表示方法1. 导入新知识教师通过提问引入循环小数的概念和表示方法：什么是小数？我们已经学过有限小数和无限不循环小数，那么什么是循环小数呢？2. 循环小数的定义和表示方法教师通过讲解的方式介绍循环小数的定义和表示方法。
首先，循环小数的定义是指有规律地重复出现的无限不循环小数，表示方法是在循环部分上方加上一条横线。
例如：$0.\\overline{6}$表示循环小数6。
3. 示例与练习教师通过示例引导学生进行练习，让学生观察循环小数表示形式并完成相应的练习题。
4. 总结与讨论教师与学生一起总结循环小数的表示方法，对学生进行问答互动，激发学生思考和探索。
第二课时：循环小数与分数的互相转化1. 导入新知识教师通过提问引入循环小数与分数的互相转化：循环小数和分数有什么关系？如何将循环小数转化为分数，或将分数转化为循环小数？2. 循环小数转化为分数教师通过讲解的方式介绍循环小数转化为分数的方法。
首先，找出循环部分的数值，记为a；然后，将循环部分的数值除以一个与循环部分有相同位数的9的倍数，得到的结果即为分数形式。
2015年小学六年级数学上册循环小数化分数知识点
小学是我们整个学业生涯的基础，所以大家一定要培养良好的学习习惯，查字典数学网为大家特别提供了六年级数学上册循环小数化分数知识点。
无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。
循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。
混循环小数可以*10^n(n 为小数点后非循环位数)，所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。
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人教版数学五年级上册《循环小数》教案(1)
人教版数学五年级上册《循环小数》教案(1)一. 教材分析《循环小数》是五年级上册数学教材中的一部分，主要介绍了循环小数的概念、性质和简单的运算。
循环小数是小学数学中的一个重要内容，对于学生理解和掌握实数概念，以及进一步学习初中数学都有重要的意义。
二. 学情分析五年级的学生已经掌握了小数的基本知识，对于小数的认识和运算有一定的基础。
但是，循环小数的概念和性质较为抽象，学生理解和掌握可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例观察、操作实践等方式，逐步理解和掌握循环小数的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握循环小数的概念，能识别和写出循环小数；能运用循环小数进行简单的计算。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：循环小数的概念和性质，循环小数的简单运算。
2.教学难点：循环小数的概念和性质的理解，循环小数的运算规律的发现和运用。
五. 教学方法采用“情境教学法”、“实例教学法”和“合作学习法”等方法，通过引导学生观察、操作、交流等活动，让学生在实际情境中感受和理解循环小数的概念，发现和掌握循环小数的性质和运算规律。
六. 教学准备1.教学PPT：制作循环小数的概念、性质和运算的PPT，用于辅助教学。
2.教学素材：准备一些循环小数的实例，用于引导学生观察和操作。
3.练习题：准备一些循环小数的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的循环现象，如钟表的指针、水流的波纹等，引导学生观察和思考。
然后，提问：“你们知道什么是循环小数吗？”让学生回顾已学的小数知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现循环小数的定义和性质，让学生初步了解循环小数。
同时，展示一些循环小数的实例，让学生观察和分析，引导他们发现循环小数的特征。
冀教版小学五年级数学上册小数除法-循环小数_课件1
6÷9= 0.666……
7÷9= 0.777……
8÷9= 0.888……
说说你是怎样想的。
（3）不计算，试着写出下面各题的 商，再用计算器验算。
10÷9= 1.111…… 11÷9= 1.222…… 12÷9= 1.333…… 13÷9= 1.444……
18÷9= 19÷9=
循环节的首位和末位上面. 各记一个圆点。 例如，5..3.3……写作5.3，7.14545……
写作7.145。
（1）用计算器计算下面各题。
1÷9= 0.111…… 2÷9= 0.222…… 3÷9= 0.333…… 4÷9=0.444……
观察计算的结果，你发现了什么？
（2）不计算，直接写出得数，再用计算 器验算。
先计算，再说一说这些商的特点。
28÷18= 1.555……
78.6÷11= 7.14545 ……
你知道吗？
一个循环小数的小数部分，依次不断重 复出现的数字，叫做这个循环小数的循 环节，例如，5.33……的循环节是3， 7.14545……的循环节是45。写循环小数 时，可以只写第一个循环节，并在这个
29.16÷18=
2916÷18=
请把下面式子中的除数化成整数（用竖式 计算）。
68.4÷0.38 52÷0.013 0.07÷0.035
23.8÷0.85 57÷0.15 21÷2.8
判断正误
1 0.7777是循环小数( )
.
2 1.3＞1.333 ( )
..
3 2.07=2.07 ( )
4 13.243243……可写作13.24 ( )
83元11千克
7.5454
7.5 4 5 4
五年级上册数学教学设计《循环小数》人教版
五年级上册数学教学设计《循环小数》人教版一. 教材分析《循环小数》是人教版五年级上册数学教材第二单元的内容，这部分内容是在学生已经掌握了小数的基本知识，分数与小数的互化基础上进行学习的。
循环小数是小学数学中比较难理解的概念之一，它不仅需要学生理解和掌握循环小数的相关知识，还需要他们能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但循环小数的概念相对抽象，学生理解和接受起来可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，采取适当的教学方法，帮助学生理解和掌握循环小数的相关知识。
三. 教学目标1.让学生理解和掌握循环小数的概念，能够识别和写出一个循环小数。
2.培养学生运用循环小数解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.循环小数的定义和特点。
2.循环小数的写法和识别。
3.循环小数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用“情境教学法”、“案例教学法”和“合作学习法”等方法，通过设置情境、提供案例、合作学习等方式，引导学生主动探究、积极思考，从而理解和掌握循环小数的相关知识。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题，以便进行情境教学和案例教学。
2.准备循环小数的课件和教学素材，以便进行直观教学。
3.准备合作学习的任务和指导，以便学生进行合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如“小明有1/3的苹果，他把这些苹果平均分给他的3个朋友，每个朋友得到了多少苹果？”来引导学生思考分数、小数和循环小数之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件和教学素材，呈现循环小数的定义、特点和写法，让学生初步理解和掌握循环小数的相关知识。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用所学的循环小数知识，识别和写出给定的循环小数，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过解决实际问题，如“一家超市正在进行打折活动，原价100元的商品现在打8折，打折后的价格是多少？”来引导学生运用循环小数解决实际问题，加深对循环小数知识的理解和运用。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是指小数部分有一个或多个数字按照一定的规律不断重复出现。
将循环小数化成分数是数学学习中的一种基础技巧，本文将介绍常见的几种方法。
一、直接化成分数对于一位循环小数，例如0.3(3)，可以直接看出它等于1/3。
同样地，二位循环小数0.67(67)可以直接化成2/3。
对于这种直观易辨认的循环小数，只需简单观察即可得出分数表示。
二、巧妙运算对于较复杂的循环小数，可以利用数学运算巧妙化成分数。
例如循环小数0.1818...，设它的值为x，则10x等于1.8181...。
接下来通过减法运算消去小数部分的循环部分，即10x-x=1.8181...-0.1818...，化简得到9x=1.6363...，进一步化简为x=0.1818.../9=2/11。
这样，循环小数0.1818...可化成分数2/11。
三、利用等式有些循环小数可以利用等式来化成分数。
例如0.32(9)，将其设为x，则100x等于32.9999...，可以写成100x=32+0.9999...。
观察到0.9999...等于1，因此得到100x=32+1，进一步得到x=33/100，即循环小数0.32(9)可以化成分数33/100。
四、定理法在数论中，有一个著名的定理，称为瑟瑟斯特布劳恩定理（Sylvester's theorem）。
该定理表明，在十进制表示下，所有形如0.9999...的循环小数等于1/9。
同理，所有形如0.1111...的循环小数等于1/9。
以此类推，所有形如0.4444...的循环小数等于4/9，所有形如0.6666...的循环小数等于6/9。
通过运用定理，我们可以很方便地将这类循环小数化成分数。
五、连分数法连分数是一种特殊的分数表示形式，它将分数表示为一个整数和一个连分数的形式。
循环小数也可以通过连分数法表示成分数。
例如将循环小数0.248484...表示成连分数，可以得到0.248484...=0+[1/(2+[1/(4+...))]。
小升初第3讲：循环小数与分数互化、定义新运算(教师版)
1.已知x=010000000009999999999100099910099109+++，求x 的整数部分.知识点一（循环小数的认识） 【知识梳理】1. 循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。
前者是有限小数，后者是无限小数。
把循环小数的小数部分化成分数的规则①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字3⨯,这个最简分数的分母应小于337=999【解析】方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈0.1+0.125+0.3+0.1611315=+++11=某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23，使乘积比正确结果减少【解析】由题意得：1.23a •，即：0.003•么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数<051<0.51<<<2591352<0.51<0.51<<<2590.9080807181216(1+2+3+4+8+9)12.127=+⨯ 2.10.3 2.4=+=1②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 定义新运算分类 1、直接运算型 2、反解未知数型 3、观察规律型 4、其他类型综合【例题精讲】例1.对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：x ◆y = 22x y x y ++，3x yx y x y ⨯⊗=+÷ .如：1◆2= 212122⨯++⨯，1212123⨯⊗=+÷.由此计算：..0.36◆141__________.2⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭例2.用{}a 表示a 的小数部分，[]a 表示不超过a 的最大整数。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是指小数部分有一段数字重复出现的小数。
对于循环小数，我们可以使用不同的方法来将其化成分数形式。
本文将会对各种循环小数化成分数的方法进行归纳总结。
一、循环小数的定义和表示循环小数是指一个小数部分有一段数字永远重复出现的小数。
通常用省略号“…”来表示循环的小数部分，例如：0.1666...，3.14159...等等。
二、循环小数化成分数的方法1. 定值法定值法是一种简单但有限的方法，适用于循环小数只有一个周期的情况。
首先，将循环小数表示为x，然后将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的数字刚好和循环部分对齐。
接下来，通过减法计算，将x 的整数部分与小数部分相减，将数字中循环的部分小数点后面都为0，然后去掉无穷循环部分。
最后，将减法结果除以一个与循环的部分相等的整数x，得到最简分数形式。
2. 通项公式法通项公式法适用于有特定循环规律的循环小数。
根据循环部分的长度，设循环小数为x。
使用通项公式来表示x，并化简为最简分数形式。
3. 差法差法适用于有两个循环部分的循环小数。
设循环小数为x，将两个循环部分相减得到y。
然后，通过减法运算，将x的整数部分与小数部分相减得到z。
将y除以9，得到等式z/9 = 0.m + y/9，其中m为小数部分，y为两个循环部分的差。
然后将z/9化简为最简分数形式。
4. 数列法数列法适用于有三个或更多循环部分的循环小数。
设循环小数为x，将每个循环部分的值视为十进制数，并设第k个循环部分为xk。
通过计算每个循环部分的前n项和Sn，得到等式Sn = 0.x1x2...xn + xk/10^n + xk/10^(2n) + ... + xk/10^(pn)，其中Sn为Sn = (10^n-1)x + xk，p为循环的周期数。
然后，将Sn除以一个适当的整数，得到最简分数形式。
5. 重复法重复法适用于只有一个循环部分但循环长度未知的循环小数。
设循环小数为x，将循环部分表示为y。
循环小数化分数
循环小数也可以用分数表 示，例如1/3=0.333...，
2/7=0.2857142...。
在科学计算器或计算机 中，循环小数通常以近 似值或近似分数的形式
表示。
02
循环小数化分数的原理
分数的基本性质
分数的基本性质
分数可以表示任意两个整数的比值， 即分子除以分母。
分数的基本性质的应用
在循环小数化分数的原理中，循环小 数可以看作是分子和分母的连除，即 无限循环的分数形式。
循环小数化分数的步骤
确定循环节
循环节是指循环小数中不断重复出现的数字序 列。
找出循环节的位数
循环节的位数决定了分数中分母的幂次。
将循环小数表示为分数
根据循环节的位数，将循环小数转换为分数形式。
循环小数化分数的实例
化学计算
在化学计算中，物质的质量、体积等常常以小数形式表示，但在需 要使用分数形式表示时，循环小数化分数就非常有用。
在日常生活中的应用
金融计算
在金融计算中，如股票交易、债券收益等， 循环小数化分数能够帮助人们更准确地计算 收益和损失。
商业计算
在商业计算中，如折扣、利润等，循环小数化分数 能够使人们更精确地处理数据。
17167/3300。
题目3答案解析
0.29(56)表示的是0.295656...， 我们可以看到循环节是56，因 此可以表示为0.2956(56)，即
295656...，化简得分数为 887/300。
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数学教育
在数学教育中，循环小数化分数 是帮助学生理解小数和分数之间 关系的一个重要工具。
在科学计算中的应用
物理计算
北师大版小学数学第5章第2节《循环小数》(说课稿)
《循环小数》说课设计各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是：《循环小数》。
我准备从如下几个方面展示：教材分析，学情分析、教学目标、教法学法分析，教学程序设计，评价与反思。
一、说教材我今天说课的内容是《循环小数》。
《循环小数》是人教版新课标教材第九册第二单元的教学内容。
从知识角度来看，“循环小数”是数概念的一次重要扩展，即从“有限”扩展到“无限”，是学生对数的认识的一个飞跃。
教材是这样安排的，通过创设一个学生熟悉的赛跑情境，让学生计算冠军的速度，引出“循环小数”，旨在让学生感受到数学就在身边，理解数学产生的现实背景意义。
但教材举例单一，不利于学生通过对数据比较、分类，自主构建循环小数的概念。
因此，我对教材作了一些改动，增加了五组数据，让学生计算赛跑比赛前六名运动员的速度，其中三名运动员的速度的是有限小数，另三名运动员速度是循环小数，包括纯循环小数和混循环小数。
在此基础上，教师引导学生对这些数据进行观察、比较、分类，概括出循环小数的概念，发展学生的抽象思维能力也就水到渠成了。
二、说学情分析学生是在什么样的知识背景下学习这一内容的呢？在日常生活中，学生都感受过循环、重复等现象，比如：春夏秋冬四季的交替；十字路口红绿灯的不断重复等，对循环这一概念有了一定的感性认识，积累了一定的生活经验。
而且通过五年的学习，学生已经具备了初步的抽象思维能力，比如学生在学习图形的认识、学习统计等知识的时候，已经经历过将事物进行分类、整理的活动，具备了初步的比较、分类、归纳、概括等能力。
因此，我认为在这个阶段让学生开展一些探索性学习活动是可行的。
三、说教学目标根据对教材的认识，对学生情况的分析，以及新课标的教学理念和要求，我拟定了如下的教学目标：1、知识与技能：认识循环小数的特征，掌握循环小数的意义，进一步提高学生的计算能力。
2、过程与方法：经历将数据进行比较、分类、整理的过程，自主概括循环小数的概念，发展抽象思维能力。
小学数学《循环小数》教案讲义
小学数学《循环小数》教案讲义一、说教材●教材简析：循环小数是人教版《义务教育课程标准小学数学实验教材》第九册第二单元中的内容。
它是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。
这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。
课本的例8，是教学从某一位起，一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供感性材料。
例9通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。
由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。
接着教材用想一想的方式组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得到的商会有哪些情况”。
由两个数相除时商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。
以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，到学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。
●教学目标：１、知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确地区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简便记法。
２、能力目标：培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断、抽象概括能力。
３、情感目标：感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心，初步渗透集合思想。
教学重难点：理解循环小数的意义。
●教学关键：通过生活实例、实践、观察、分析，理解什么是“循环”，进而理解什么是循环小数。
二、说教法学法●教法：从经验中迁移，从探究中发展、从练习中巩固（一）关注学生已有的生活经验和知识背景——为学生架起知识迁移的桥梁《数学课程标准》强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
”建构主义教学论指出,复杂的学习领域应针对学生先前的经验和学习兴趣。
新课开始，我以学生身边的循环现象为导入点，让学生体验“循环”的意思，初步理解了“循环”含义，从而为进一步探究“循环小数”的意义架起桥梁。
《三年级数学循环小数与分数教案》
《三年级数学循环小数与分数教案》一、教学目标1.让学生理解循环小数的概念，能识别并写出循环小数。
2.使学生掌握将循环小数转化为分数的方法。
3.培养学生运用分数和循环小数解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点重点：循环小数的概念及识别，循环小数与分数的转化。
难点：循环小数转化为分数的方法。
三、教学准备1.教学课件或黑板2.循环小数与分数的实例3.小组讨论材料四、教学过程第一课时：循环小数的概念与识别（一）导入1.出示一个分数，如1/3，引导学生将其化为小数。
2.引导学生观察小数的特点，发现小数部分有重复的现象。
（二）新课讲解1.讲解循环小数的概念：小数部分有一个或几个数字不断重复出现的无限小数。
2.举例说明循环小数的特点，如0.333、1.23232等。
3.指导学生识别循环小数，让学生找出小数部分的重复部分。
（三）课堂练习1.让学生独立完成练习题，识别给出的循环小数。
2.老师选取部分学生的答案进行讲解和点评。
第二课时：循环小数与分数的转化（一）复习导入1.复习循环小数的概念。
2.引导学生思考：如何将循环小数转化为分数？（二）新课讲解1.讲解循环小数转化为分数的方法：设x为循环小数，令10x-x=9x，求出9x的值，即可得到分数形式。
2.举例说明：将0.333转化为分数，设x=0.333，则10x-x=9x，解得x=1/3。
（三）课堂练习1.让学生独立完成练习题，将给出的循环小数转化为分数。
2.老师选取部分学生的答案进行讲解和点评。
第三课时：循环小数与分数的应用（一）复习导入1.复习循环小数与分数的转化方法。
2.引导学生思考：如何运用循环小数和分数解决实际问题？（二）新课讲解1.举例说明循环小数和分数在实际问题中的应用，如购物、计算面积等。
2.讲解解题思路，引导学生运用所学知识解决问题。
（三）课堂练习1.让学生独立完成练习题，运用循环小数和分数解决实际问题。
2.老师选取部分学生的答案进行讲解和点评。
第二讲 循环小数化分数
第二讲 循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
典型题解一、循环小数化成分数1．纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化成分数呢？看下面例题。
例1，把纯循环小数化分数：(1)0.6 (2)3.10210.610 6.6666 0.6=0.6666 0.69 6 620.6=93⨯=⨯== 解：（）两式相减得所以 23.1020.102 0.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.102999102102340.102999333102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分……?两式相减得所以343333从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
1、 混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2，把混循环小数化分数10.215 2 6.353 （）（）10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152215-2213710.215=990990330⨯⨯⨯-== 解：（）…………两式相减得20.353 0.3531000=353.333 0.353100=35.3330.353900=35335353-35318530.353=900900150353-353186.353=66900⨯⨯⨯-===解：（）先看小数部分…………两式相减得 所以 536900150=由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
小学五年级数学上册《循环小数》教学设计(含试卷)
小学五年级数学上册《循环小数》教学设计小学五年级数学上册《循环小数》教学设计一、创设情境找规律，猜图形。
投影展出：○○△○○△○○△○…...师：谁能猜到下面一个什么图形吗？你是怎样想出来的呢？请问第16个图形，是什么图形？师：这个省略号表示什么意思？师：也就是说，这幅图形是依次不断重复出现这样的图形。
请同学们想一想，这幅图形中有多少组这样的图形呢？二、探究新课生活中也有很多这样的现象，如：一个星期，星期一至星期日不断重复出现，每年春夏秋冬总是再不断重复出现，等等。
师：生活中像这种“不断重复出现”的现象，我们还可以把它叫做循环现象。
生活中有很多循环现象，数学中有没有这种现象呢？这节课我们就一起来找一找。
（1）教学例1王鹏在校运动会上400米的比赛中以75秒的成绩获得了冠军师：请你们一起把题意读一遍，请找出问题给出了那些已知条件。
师：请问这道题所求的问题是什么？师：请问速度=什么？列算式计算（指名一名学生上台演示）。
师：看算式你们发现了商有什么特点，生：商总是重复出现3。
师：为什么会重复出现“3”呢？师：那么说，400÷ 75的商里有多少个“3”呢？生：有无数个“3”。
师：既然是无数个，那么你们知道结果吗？师：是多少呢？那么这样的结果应该怎样表示呢？请同学们自己写一写，谁来说一说你是怎么写的。
师：问题解决到这里，你们发现循环现象了吗？你是在什么数中发现循环的呢？（2）概括：像这些小数，我们叫做循环小数，这些循环小数有什么特征？请问循环小数是有限的小数还是无限小数呢？为什么？三、巩固练习1、判断。
（1）3.212121是循环小数吗？为什么？（2）3.1415926…是无限小数吗？是循环小数吗？为什么？（3）0.135531…这个小数中，“1”、“3”、“5”这三个数字已重复出现了两次，它是不是循环小数呢？为什么？（4） 3.333…是循环小数吗？“3.333…”中依次不断地重复出现的数字是哪一个？（5） 5.7272…是循环小数吗？“5.7272…” 中依次不断地重复出现的数字是哪一个？请同学们找出以上判断题中循环小数的循环节。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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拓展版春季第3册
11
循环小数化分数 及其运算
纯循环小数：循环节从小数部分 第一位就开始的叫纯循环小数。
混循环小数：循环节不是从小数 部分第一位开始的就叫做混循环小数。
利用除法计算结果吧！
3 0.75 4
5 0.3125 16
15 05 0.4 37
这些混循环小数有什么 共同特点？
+ 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.67+ + 0.89 + 0.56 0.78 0.12
11 21 31 41 51 61 71 81 = + + + + + + + 90 90 90 90 90 90 90 90
11+ 21+ 31+ 41+ 51+ 61+ 71+ 81 = 90 368 = 90
41 333
3 1111
、 7 27 、 化成分数 例3：将0.123 0.23 0.10
如何将混循环小数 化成分数？
结论6：混循环小数化分数
一个混循环小数的小数部分可以化成这样
的分数：这个分数的分子是第二个循环节以前
的小数部分的数字所组成的数，与小数部分中
不循环部分的数字所组成的两数之差。分母的 头几位数字全是9，9后面的数字全是0，9的个 数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数 等于不循环部分数字的个数。
1 0.3 3
8 4 0.2 33
5 0.416 12
4 0.26 15
结论1：化成有限小数
一个最简分数，如果分母除了2 和5以外，不含有其他的质因数，这个 分数一定能化成有限小数。
结论2：化成纯循环小数
一个最简分数的分母里，如果 只含有2、5以外的质因数，那么这 个分数一定能化成纯循环小数。
结论3：化成混循环小数
一个最简分数的分母里，如果 既含有2、5这样的质因数，又含有2、 5以外的质因数，那么这个分数一定 能化成混循环小数。
（二）小数化成分数 23 、 237 027 、 化成分数 例2：将0.1 0.1 0.0
如何将纯循环小数 化成分数？
结论5：纯循环小数化分数
一个纯循环小数的小数部分可以化成 这样的分数：这个分数的分子是一个循环 节所表示的数，分母的各位数字全是9，9 的个数等于一个循环节中数字的个数。
（二）小数化成分数 23 、 237 027 、 化成分数 例2：将0.1 0.1 0.0
23 0.1 237 0.1 027 0.0
184 = 45
1 4285 7 0.1428571428 57 0.1 7
周期：1、4、2、8、5、7
每个周期有6个数 1000÷6=166（组）……4（个）
↓
8
余数是4，表示还剩下4个，按周期顺着数四个， 是几就是几。数四个是8，因此是8。
（一）分数化成小数
（二）小数化成分数
、 7 27 、 化成分数 例3：将0.123 0.23 0.10
0.123
37 111 900 300
7 0.23
27 0.10
47 235 990 198
1026 19 9990 185
例4：计算
+ 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.67+ + 0.89 + 0.56 0.78 0.12