经典旋转证明类型题

旋转中的几何证明

类型一

?

? ? ? 利用旋转添加辅助线： 满足条件： (1 )有两条相等线段 (2)有公关端点

例1如图，在正方形 ABCD 中，点E , F 分别为DC BC 边上的动点，满足/ EAF=45 , 求证：EF=DE+BF

例 2:在等边△ ABC 中, OABC 内一点，连接 AO BO CO M AO=2,BO=1,CO=3

, 求/ AOB / BOC 的度数分别是多少？

中考连接

1 (09西城).已知： PA= , PB=4，以AB 为一边作正方形 ABCD 使P 、D 两点落在直线

AB

的两侧.

(1) 如图，当/ APB=5°时，求 AB 及PD 的长； (2)

当/ APB 变化，且其它条件不变时，求 P D 的最大值，及相应/ APB 的大小.

D

类型二.旋转型相似例3•点B C E在同一直线上，点A D在直线CE的同侧，AB= AC, EC= ED, / BAC=Z CED直线AE BD交于点F。

⑴ 如图①，若/ BAC= 60°,则/ AFB= ______________ ;如图②，若/ BAC= 90°，则/ AFB= ______________

⑵ 如图③，若/ BAC= a,则/ AFB=_____________ （用含a的式子表示）;

⑶ 将图③中的△ ABC绕点C旋转（点F不与点A B重合），得图④或图⑤。在图④中，/ AFB与/ a的数量关系是

_________________ ;在图⑤中，/ AFB与/ a的数量关系是______________________ 。请你任选其中一个结论证明。

中考连接

朝阳）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边

形。

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：

（2）如图①，在梯形ABCD中, AD// BC, AC丄BD,垂足为0。求证：A D+B C=A^+D C。即四边形ABCD是等平方和四边形。（3）如果将图①中的厶A0D绕点0按逆时针方向旋转a度（0

若不能，请说明理由。

类型三.正方形中的旋转

例4:如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点0,以点0为一个顶点作正方形A'B'C'0,说明正方形A'B'C'O绕点0 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积不变。

中考连接

(延庆)•如图24- 1，正方形ABCD和正方形QMNP M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F, QM交AD于E.

(1)猜想：ME与MF的数量关系

(2)如图24- 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且/ M=/ B,其它条件不变，探索线段ME与线段MF的

数量关系，并加以证明

(3)如图24- 3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且

AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF 的数量关系，并说明理由.

(4)如图24- 4，若将原题中的“正方形”改为平行四边

形，且/ M =/B , AB:BC = m ,其它条件不变，求出ME MF的值。(直接写出答案)

类型四：倍长中线

(1)求证：△ BMD为等腰直角三角形

(2)将厶ADE绕点A逆时针旋转45°如图2，

(

1)中的“△ BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由

3，( 1)中的“△ BMD为等腰直角三角形”成立吗?

中考连接

(08北京)请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PC,PG.若/

ABC= / BEF=60° ，探究PC与PG的位置关系及PG:PC的值.

小聪同学的思路是：延长GP交CD于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

(1)写出上面问题中线段PC与PG的位置关系及PG:PC的值；

(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

(3)若图1中，/ ABC= / E=2a将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG:PC的值(用含的式子表示).

例5:如图1已知点D在AC上，△ ADE和厶ABC都是等腰直角三角形，点M为EC的中点.

(3)将厶ADE绕点A逆时针旋转一定的角度，如图

类型五：利用费马点找最短距离定理：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

在平面三角形中：

(1).三内角皆小于120。的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC,ACB：BCA',然后连接AA',BB ',CC',则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点•

(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求•

例:6 .如图11-10 , O是锐角三角形ABC内一点，/ AOB=Z BOC=Z COA= 120° , P是厶ABC内不同于0的另一点;

△ A'BO、△ A'BP分别由△ AOB △ APB旋转而得，旋转角都为60°,则下列结论中正确的有().

①△0B0为等边三角形，且A、0'、O C在一条直线上.

②A'0'+ 0'0= AO^ BO

③A'P'+ P'P= PA+ PB.

④PA+ PB+ PC>A0F B0+ C0

A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个