计算机组成原理第5讲浮点运算
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浮点数的溢出
Overflow
当一个数的大小超出了浮点数的表示范围时，机器无法表 示该数，就发生溢出。浮点数的溢出判断方法与定点数不同，是 对规格化数的阶码Exponent进行判断。 当浮点数的阶码大于机器所能表示的最大阶码时（即阶码发 生正溢出），称为溢出或上溢，此时机器应停止运算，进行出错 中断处理。 浮点数的尾数运算的溢出可以通过右规消除。 当浮点数的阶码小于机器所能表示的最小阶码时（即阶码发 生负溢出），称为下溢。这时一般规定把该浮点数的尾数强迫置 零，作为零处理，机器可继续运行。 当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者阶码的 值小于等于它能表示的最小数值（下溢）时，不论其尾数为何值， 计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。
④判断溢出
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① 阶码相加 Add Exponent 乘数和被乘数的阶码按定点整数补码或移码加法的规则相加， 得到乘积的阶码。 ② 尾数相乘 Multiply Significands（Mantissa） 乘数和被乘数的尾数按定点小数（原码或补码）乘法运算的 方法相乘，得到乘积的尾数。 ③ 规格化和舍入处理 Normalizing & Round 一般情况下，两个规格化数相乘，尾数最多左规一次，因为 两个纯小数相乘是不会溢出的。但是有一个特例，当尾数做补码 乘法的时候，如果乘数和被乘数尾数的值都是-1，则乘积的尾数 的值是+1，此时需要做一次右规。 规格化和舍入方法与浮点加减法处理的方法相同。但两个数 值位是m位的数相乘，乘积的数值位为2m位。舍入处理后，尾数 只保留m个数值位。
=（MX + MY ）· 2Ex
将两浮点数的尾数相加，就可得到浮点形式的和。 一般情况下，EX≠EY，计算X+Y要用如下五个步骤来完成：
①对阶
②尾数相加 ③规格化 ④舍入 ⑤检查阶码是否溢出。
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(1) 对阶Alignment 两数相加，必须使小数点对齐。对于浮点数来说，就是使 阶码相等。使阶码相等的过程称为对阶。
00010 + 11100 ① 对阶 11110 [ΔE] 补= [EX]补－[EY]补 = [EX]补＋[-EY]补= 00010+11100 = 11110 [MX]补=0.11011011， [MY]补=1.01010100 即ΔE＝－2。由于X的阶码小，应使MX右移两位，EX加2， [EX+Y]补=[EY]补=00100 [MX]补=00.00110110 11 ② 尾数相加 [MX+Y]补= [MX]补+[MY]补 = 00.00110110 11 +11.01010100 = 11.10001010 11 00.00110110 +) 1 1. 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1. 1 0 0 0 1 0 1 0
规格化处理的规则：
① 若结果尾数的两个符号位不同（01或10），表明尾数运算 结果溢出，应进行右规。将结果尾数右移一位，并将阶码的值 加1。 ② 若尾数的运算结果不溢出，但最高数值位与符号位同值 （即11.1或00.0），则应进行左规。 将尾数连同符号位一起左移一位，并将和的阶码减1，如 此反复直至尾数最高数值位与符号位不同为止。
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§6.4 浮点四则运算 Floating-Point Arithmetic
Floating-Point Addition & Subtraction Floating-Point Multiplication Floating-Point Division
浮点加减法运算 浮点乘法运算 浮点除法运算
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(4) 舍入操作 Round 在进行对阶或右规操作时，尾数低位的一位或几位数值被 移出。如果采用“截断法”把移出的数位丢掉，会影响数值的精 度。因此，可采用舍入法来减少误差。 ① “0”舍“1”入法 当移出部分的最高位为1时在尾数末位加1，为0时则舍去移 出的数值。此方法的最大误差为2－(n+1)。 “0”舍“1”入法由于有舍有入，舍入机会均等，有利于减少 误差积累。但对末位加1的操作可能引起一连串的进位而使尾数 溢出，此时还要再做一次右规。 ② 末位恒置1法 无论右移丢失的是何数值，一律将结果的末位置1。 把尾数最低位的0置成1，对于正数，是使其值变大，对于负 数补码和反码，则使其值变小。而舍入前尾数最低位已经是1时， 再置1无实际效用，与截断法无异。 8
X＋Y＝（－0.11101010）×2011
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2、浮点数减法 Floating-Point Subtraction 浮点数减法运算的步骤： ①对阶， ②尾数相减，
③规格化，
④舍入， ⑤检查阶码是否溢出。 The fact that floating-point numbers cannot faithfully mimic the real numbers, and that floating-point operations cannot faithfully mimic true arithmetic operations, leads to many surprising situations. This is related to the finite precision with which computers generally represent numbers.
第6章 计算机的运算方法
(6)
Floating-point computation in a computer can run into three kinds of problems: An operation can be mathematically illegal, such as division by zero. An operation can be legal in principle, but not supported by the specific format, for example, calculating the square root of −1 or the inverse sine of 2 (both of which result in complex numbers). An operation can be legal in principle, but the result can be impossible to represent in the specified format, because the exponent is too large or too small to encode in the exponent field. Such an event is called an overflow (exponent too large) or underflow (exponent too small).
To multiply, the significands are multiplied while the exponents are added, and the result is rounded and normalized.
浮点乘法运算可分为四个步骤： ①阶码相加 ②尾数相乘 ③规格化和舍入处理
【例1】浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。 X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100，求X+Y=?
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[例1]浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=? 解： [EX]补=0010， X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100， [EY]补= 0100， [-EY]补= 1100
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浮点乘法运算 Floating-Point Multiplication 规格化浮点数 X=MX· 2Ex ， Y=MY· 2Ey
两浮点数相乘，乘积的尾数为相乘两数的尾数之积，阶码为 两数的阶码之和。即 X· Y＝ （MX· 2Ex ）· （MY· 2Ey）= （MX· MY）· 2 Ex+ Ey
பைடு நூலகம்
(5) 检查阶码是否溢出 Check the Exponent Overflow or Underflow
若阶码正常，加减运算正常结束；若阶码下溢，要置运算结 果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置溢出标志。
Rounding is used when the exact result of a floating-point operation (or a conversion to floating-point format) would need more digits than there are digits in the significand. There are several different rounding schemes (or rounding modes).
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浮点运算 Floating-Point Arithmetic 浮点运算要把阶码和尾数分别处理。 阶码的运算是定点整数运算，对阶码的运算有四种：阶码加 1，阶码减1，两阶码求和，两阶码求差。
尾数的运算是定点小数运算。
运算过程中一般取双符号位。 浮点运算器总是由处理阶码和处理尾数的两部分组成。 Floating-point representation is similar in concept to scientific notation. The way in which the significand, exponent and sign bits are internally stored on a computer is implementation-dependent.
对阶的原则是：小的阶码向大阶码看齐。 对阶操作，首先比较两数的阶码值的大小，即求ΔE=EX－EY， 并保留其最大值 E=MAX（EX，EY）作为和的阶码。 当ΔE≠0时，将阶码小的数的尾数右移|ΔE|位。 尾数每右移一次将阶码加1，直至ΔE＝0。 为了减少误差，可用附加线路（Guard bits保留位）保留右 移出的1位或几位的高位，在以后的舍入操作时用。
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[例1]浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=? ③ 规格化处理 结果的符号位与最高数值位同值，应进行左规。 尾数左移1位，阶码减1。 [MX+Y]补=11.00010101 10 ， [EX+Y]补=00011
④ 舍入处理 采用0舍1入法， [MX+Y]补=11.00010110 ⑤ 判断溢出 补码表示的阶码的符号位为00，不溢出。结果： [MX+Y]补=1.00010110， [EX+Y]补=0011
(2) 尾数相加 Add the Significands（Mantissa） 完成对阶后，将两浮点数的尾数部分相加，方法与定点小数 加法相同。
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(3) 规格化处理 Normalize the Result 当运算结果的尾数部分不是规格化数（即不是00.1×…× 或11.0×…×的形式）时，必须进行规格化处理。
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浮点加减法运算Floating-Point Addition & Subtraction 1、浮点加法运算 设有两个规格化浮点数 Floating-Point Addition X=MX· 2Ex ， Y=MY· 2Ey
若两数的阶码相等，即 EX=EY，有
X+Y =
MX · 2Ex + MY · 2Ey
④ 判断溢出 Check the Exponent Overflow or Underflow
检查阶码是否溢出。若阶码正常，加减运算正常结束；若阶 码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置 溢出标志。
Floating-point arithmetic is at its best when it is simply being used to measure real-world quantities over a wide range of scales (such as the orbital period of Io or the mass of the proton), and at its worst when it is expected to model the interactions of quantities expressed as decimal strings that are expected to be exact. An example of the latter case is financial calculations. For this reason, financial software tends not to use a binary floating-point number representation.
浮点数的溢出
Overflow
当一个数的大小超出了浮点数的表示范围时，机器无法表 示该数，就发生溢出。浮点数的溢出判断方法与定点数不同，是 对规格化数的阶码Exponent进行判断。 当浮点数的阶码大于机器所能表示的最大阶码时（即阶码发 生正溢出），称为溢出或上溢，此时机器应停止运算，进行出错 中断处理。 浮点数的尾数运算的溢出可以通过右规消除。 当浮点数的阶码小于机器所能表示的最小阶码时（即阶码发 生负溢出），称为下溢。这时一般规定把该浮点数的尾数强迫置 零，作为零处理，机器可继续运行。 当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者阶码的 值小于等于它能表示的最小数值（下溢）时，不论其尾数为何值， 计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。
④判断溢出
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① 阶码相加 Add Exponent 乘数和被乘数的阶码按定点整数补码或移码加法的规则相加， 得到乘积的阶码。 ② 尾数相乘 Multiply Significands（Mantissa） 乘数和被乘数的尾数按定点小数（原码或补码）乘法运算的 方法相乘，得到乘积的尾数。 ③ 规格化和舍入处理 Normalizing & Round 一般情况下，两个规格化数相乘，尾数最多左规一次，因为 两个纯小数相乘是不会溢出的。但是有一个特例，当尾数做补码 乘法的时候，如果乘数和被乘数尾数的值都是-1，则乘积的尾数 的值是+1，此时需要做一次右规。 规格化和舍入方法与浮点加减法处理的方法相同。但两个数 值位是m位的数相乘，乘积的数值位为2m位。舍入处理后，尾数 只保留m个数值位。
=（MX + MY ）· 2Ex
将两浮点数的尾数相加，就可得到浮点形式的和。 一般情况下，EX≠EY，计算X+Y要用如下五个步骤来完成：
①对阶
②尾数相加 ③规格化 ④舍入 ⑤检查阶码是否溢出。
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(1) 对阶Alignment 两数相加，必须使小数点对齐。对于浮点数来说，就是使 阶码相等。使阶码相等的过程称为对阶。
00010 + 11100 ① 对阶 11110 [ΔE] 补= [EX]补－[EY]补 = [EX]补＋[-EY]补= 00010+11100 = 11110 [MX]补=0.11011011， [MY]补=1.01010100 即ΔE＝－2。由于X的阶码小，应使MX右移两位，EX加2， [EX+Y]补=[EY]补=00100 [MX]补=00.00110110 11 ② 尾数相加 [MX+Y]补= [MX]补+[MY]补 = 00.00110110 11 +11.01010100 = 11.10001010 11 00.00110110 +) 1 1. 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1. 1 0 0 0 1 0 1 0
规格化处理的规则：
① 若结果尾数的两个符号位不同（01或10），表明尾数运算 结果溢出，应进行右规。将结果尾数右移一位，并将阶码的值 加1。 ② 若尾数的运算结果不溢出，但最高数值位与符号位同值 （即11.1或00.0），则应进行左规。 将尾数连同符号位一起左移一位，并将和的阶码减1，如 此反复直至尾数最高数值位与符号位不同为止。
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§6.4 浮点四则运算 Floating-Point Arithmetic
Floating-Point Addition & Subtraction Floating-Point Multiplication Floating-Point Division
浮点加减法运算 浮点乘法运算 浮点除法运算
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(4) 舍入操作 Round 在进行对阶或右规操作时，尾数低位的一位或几位数值被 移出。如果采用“截断法”把移出的数位丢掉，会影响数值的精 度。因此，可采用舍入法来减少误差。 ① “0”舍“1”入法 当移出部分的最高位为1时在尾数末位加1，为0时则舍去移 出的数值。此方法的最大误差为2－(n+1)。 “0”舍“1”入法由于有舍有入，舍入机会均等，有利于减少 误差积累。但对末位加1的操作可能引起一连串的进位而使尾数 溢出，此时还要再做一次右规。 ② 末位恒置1法 无论右移丢失的是何数值，一律将结果的末位置1。 把尾数最低位的0置成1，对于正数，是使其值变大，对于负 数补码和反码，则使其值变小。而舍入前尾数最低位已经是1时， 再置1无实际效用，与截断法无异。 8
X＋Y＝（－0.11101010）×2011
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2、浮点数减法 Floating-Point Subtraction 浮点数减法运算的步骤： ①对阶， ②尾数相减，
③规格化，
④舍入， ⑤检查阶码是否溢出。 The fact that floating-point numbers cannot faithfully mimic the real numbers, and that floating-point operations cannot faithfully mimic true arithmetic operations, leads to many surprising situations. This is related to the finite precision with which computers generally represent numbers.
第6章 计算机的运算方法
(6)
Floating-point computation in a computer can run into three kinds of problems: An operation can be mathematically illegal, such as division by zero. An operation can be legal in principle, but not supported by the specific format, for example, calculating the square root of −1 or the inverse sine of 2 (both of which result in complex numbers). An operation can be legal in principle, but the result can be impossible to represent in the specified format, because the exponent is too large or too small to encode in the exponent field. Such an event is called an overflow (exponent too large) or underflow (exponent too small).
To multiply, the significands are multiplied while the exponents are added, and the result is rounded and normalized.
浮点乘法运算可分为四个步骤： ①阶码相加 ②尾数相乘 ③规格化和舍入处理
【例1】浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。 X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100，求X+Y=?
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[例1]浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=? 解： [EX]补=0010， X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100， [EY]补= 0100， [-EY]补= 1100
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浮点乘法运算 Floating-Point Multiplication 规格化浮点数 X=MX· 2Ex ， Y=MY· 2Ey
两浮点数相乘，乘积的尾数为相乘两数的尾数之积，阶码为 两数的阶码之和。即 X· Y＝ （MX· 2Ex ）· （MY· 2Ey）= （MX· MY）· 2 Ex+ Ey
பைடு நூலகம்
(5) 检查阶码是否溢出 Check the Exponent Overflow or Underflow
若阶码正常，加减运算正常结束；若阶码下溢，要置运算结 果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置溢出标志。
Rounding is used when the exact result of a floating-point operation (or a conversion to floating-point format) would need more digits than there are digits in the significand. There are several different rounding schemes (or rounding modes).
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浮点运算 Floating-Point Arithmetic 浮点运算要把阶码和尾数分别处理。 阶码的运算是定点整数运算，对阶码的运算有四种：阶码加 1，阶码减1，两阶码求和，两阶码求差。
尾数的运算是定点小数运算。
运算过程中一般取双符号位。 浮点运算器总是由处理阶码和处理尾数的两部分组成。 Floating-point representation is similar in concept to scientific notation. The way in which the significand, exponent and sign bits are internally stored on a computer is implementation-dependent.
对阶的原则是：小的阶码向大阶码看齐。 对阶操作，首先比较两数的阶码值的大小，即求ΔE=EX－EY， 并保留其最大值 E=MAX（EX，EY）作为和的阶码。 当ΔE≠0时，将阶码小的数的尾数右移|ΔE|位。 尾数每右移一次将阶码加1，直至ΔE＝0。 为了减少误差，可用附加线路（Guard bits保留位）保留右 移出的1位或几位的高位，在以后的舍入操作时用。
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[例1]浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=? ③ 规格化处理 结果的符号位与最高数值位同值，应进行左规。 尾数左移1位，阶码减1。 [MX+Y]补=11.00010101 10 ， [EX+Y]补=00011
④ 舍入处理 采用0舍1入法， [MX+Y]补=11.00010110 ⑤ 判断溢出 补码表示的阶码的符号位为00，不溢出。结果： [MX+Y]补=1.00010110， [EX+Y]补=0011
(2) 尾数相加 Add the Significands（Mantissa） 完成对阶后，将两浮点数的尾数部分相加，方法与定点小数 加法相同。
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(3) 规格化处理 Normalize the Result 当运算结果的尾数部分不是规格化数（即不是00.1×…× 或11.0×…×的形式）时，必须进行规格化处理。
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浮点加减法运算Floating-Point Addition & Subtraction 1、浮点加法运算 设有两个规格化浮点数 Floating-Point Addition X=MX· 2Ex ， Y=MY· 2Ey
若两数的阶码相等，即 EX=EY，有
X+Y =
MX · 2Ex + MY · 2Ey
④ 判断溢出 Check the Exponent Overflow or Underflow
检查阶码是否溢出。若阶码正常，加减运算正常结束；若阶 码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置 溢出标志。
Floating-point arithmetic is at its best when it is simply being used to measure real-world quantities over a wide range of scales (such as the orbital period of Io or the mass of the proton), and at its worst when it is expected to model the interactions of quantities expressed as decimal strings that are expected to be exact. An example of the latter case is financial calculations. For this reason, financial software tends not to use a binary floating-point number representation.