自动控制原理6第六节稳定裕度
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L( )
1
g
A( g )
c g
( c )
( )
Lg
c
( g )
1 180 (c ) 为幅值稳定裕度和相位稳定裕 [定义]： 和 kg A( g ) 度。 在对数坐标图上，用 Lg表示 k g 的分贝值。即 Lg 20logkg 20log A(g )
8
[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳 定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。
R( s )
-
4
k
2 0.025 s 1
2. 5 C (s) s (0.1s 1)
[解]：当k=10时，开环传递函数为： Gk ( s) 手工绘制波德图步骤：
200 s(0.025s 1)(0.1s 1)
Saturday, November 05, 2016
7
当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。
12dB
30
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10
' (c ) 180 30 150 ，从图中看出： c 10 。所以原始 幅频曲线向下移动的分贝数为: Lg 20log A(c ' ) 20log A(10) 22dB
'
设新的开环放大系数为 k1 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 22 20log k 20log k1 （讨论 1 时较明显）。解得： k1 15
8dB
21
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相位裕度和幅值裕度的计算：
相位裕度：先求截至频率 c 0.2k 2 A( ) (当k 10时) | s | | s 1 | | 0.2s 1 | 1 2 1 0.04 2 在截至频率处，A( ) 1 ，所以 2 (1 2 )(1 0.04 2 ) 4 ，解 此方程较困难，可采用近似解法。由于 c较小（小于2），所以： 2 A( ) 1, 解得： c 1.25 2 1 穿越频率处的相角为： (c ) 90 tg 1c tg 1 0.2c 155.38
即：tg 1g tg 1 0.2g 90
由三角函数关系得： g 0.2g 1, 解得： g 2.24 2 A( g ) 0.33216 2 2 g 1 g 1 0.04 g 所以，幅值裕度为： Lg 20log A( g ) 9.6(dB)
(c ) 210 180 ,c 38，显然 闭环系统是不稳 上图蓝线为原始波德图。 定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放 ' 大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？
c
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4
[例]设控制系统如下图所示 R( s ) k=10和k=100时，试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度。
k s ( s 1)(s 5)
C (s)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。 当k=10时，开环系 统波德图如右所示。 这时系统的相位稳 定裕度和幅值裕度 大约是8dB和21度。 因此系统在不稳定 之前，增益可以增 加8dB. 5
第六节 稳定裕度
Saturday, November 05, 2016
1
本节主要内容：
稳定裕度的概念 使用稳定裕度概念综合系统
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2
当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。 A ( ) 1 , ( ) 180 ,c g 。对于最小相位系统， 这时： g c 可以用 A( g )和 (c )来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度， 或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。
1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜 线至 10 ； 2、在 10 ~ 40之间画斜率为-40的斜线； 3、 40后画斜率为-60的斜线。
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' ωc g c
150 210
所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是 g 20，所以 30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 Lg 20log A(g ) |k 15 20log A(20) |k 15 10(dB)
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11
带有延迟环节系统的相位裕度的求法： 设系统的开环传递函数为： Gk (s)es ，我们知道增加了延迟环节 。表现在奈氏图和 后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。
显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性， 其相位裕度必须大于零。即： 0 c Gk ( jc ) c 0
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[稳定裕度概念使用时的局限性]： 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可 能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使用该定义； 3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图： kg
L( )
g g0
g c
( )
g0
c c0
c
0
0
左图中，红色曲线为Gk(s) 频率特性，兰色曲线为增 加了延迟环节后的频率特 性。其幅值和相角穿越频 率分别为c0 ,c (c0 c ) 和g 0 ,g ，相角裕度分别 为 0 , 。
180 (c ) 180155.38 24.6 相角裕度为：
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幅值裕度：先求相角穿越频率 g
g 的相角为： 相角穿越频率处 (g ) 90 tg 1g tg 1 0.2g 180
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显然，当 Lg 0时，即 A( g ) 1 和 0 时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg 0和 0 是同时发 生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的 稳定裕度。常用相角裕度。 [幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增 加 k g 倍（奈氏图）或增加 Lg分贝（波德图），则系统处于临界 状态。若增加的倍数大于 k g倍（或 Lg分贝），则系统变为不稳 定。 比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而 相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统 的不稳定。 [相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率c 处将 相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳 定。Saturday, November
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Fra Baidu bibliotek13
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g
A( g )
c g
( c )
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Lg
c
( g )
1 180 (c ) 为幅值稳定裕度和相位稳定裕 [定义]： 和 kg A( g ) 度。 在对数坐标图上，用 Lg表示 k g 的分贝值。即 Lg 20logkg 20log A(g )
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[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳 定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。
R( s )
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k
2 0.025 s 1
2. 5 C (s) s (0.1s 1)
[解]：当k=10时，开环传递函数为： Gk ( s) 手工绘制波德图步骤：
200 s(0.025s 1)(0.1s 1)
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当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。
12dB
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' (c ) 180 30 150 ，从图中看出： c 10 。所以原始 幅频曲线向下移动的分贝数为: Lg 20log A(c ' ) 20log A(10) 22dB
'
设新的开环放大系数为 k1 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 22 20log k 20log k1 （讨论 1 时较明显）。解得： k1 15
8dB
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相位裕度和幅值裕度的计算：
相位裕度：先求截至频率 c 0.2k 2 A( ) (当k 10时) | s | | s 1 | | 0.2s 1 | 1 2 1 0.04 2 在截至频率处，A( ) 1 ，所以 2 (1 2 )(1 0.04 2 ) 4 ，解 此方程较困难，可采用近似解法。由于 c较小（小于2），所以： 2 A( ) 1, 解得： c 1.25 2 1 穿越频率处的相角为： (c ) 90 tg 1c tg 1 0.2c 155.38
即：tg 1g tg 1 0.2g 90
由三角函数关系得： g 0.2g 1, 解得： g 2.24 2 A( g ) 0.33216 2 2 g 1 g 1 0.04 g 所以，幅值裕度为： Lg 20log A( g ) 9.6(dB)
(c ) 210 180 ,c 38，显然 闭环系统是不稳 上图蓝线为原始波德图。 定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放 ' 大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？
c
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[例]设控制系统如下图所示 R( s ) k=10和k=100时，试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度。
k s ( s 1)(s 5)
C (s)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。 当k=10时，开环系 统波德图如右所示。 这时系统的相位稳 定裕度和幅值裕度 大约是8dB和21度。 因此系统在不稳定 之前，增益可以增 加8dB. 5
第六节 稳定裕度
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本节主要内容：
稳定裕度的概念 使用稳定裕度概念综合系统
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当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。 A ( ) 1 , ( ) 180 ,c g 。对于最小相位系统， 这时： g c 可以用 A( g )和 (c )来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度， 或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。
1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜 线至 10 ； 2、在 10 ~ 40之间画斜率为-40的斜线； 3、 40后画斜率为-60的斜线。
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' ωc g c
150 210
所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是 g 20，所以 30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 Lg 20log A(g ) |k 15 20log A(20) |k 15 10(dB)
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带有延迟环节系统的相位裕度的求法： 设系统的开环传递函数为： Gk (s)es ，我们知道增加了延迟环节 。表现在奈氏图和 后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。
显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性， 其相位裕度必须大于零。即： 0 c Gk ( jc ) c 0
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[稳定裕度概念使用时的局限性]： 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可 能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使用该定义； 3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图： kg
L( )
g g0
g c
( )
g0
c c0
c
0
0
左图中，红色曲线为Gk(s) 频率特性，兰色曲线为增 加了延迟环节后的频率特 性。其幅值和相角穿越频 率分别为c0 ,c (c0 c ) 和g 0 ,g ，相角裕度分别 为 0 , 。
180 (c ) 180155.38 24.6 相角裕度为：
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幅值裕度：先求相角穿越频率 g
g 的相角为： 相角穿越频率处 (g ) 90 tg 1g tg 1 0.2g 180
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显然，当 Lg 0时，即 A( g ) 1 和 0 时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg 0和 0 是同时发 生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的 稳定裕度。常用相角裕度。 [幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增 加 k g 倍（奈氏图）或增加 Lg分贝（波德图），则系统处于临界 状态。若增加的倍数大于 k g倍（或 Lg分贝），则系统变为不稳 定。 比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而 相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统 的不稳定。 [相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率c 处将 相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳 定。Saturday, November
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