福建农林大学高数一(上)试题A与答案

《高等数学Ⅰ》试题A 与答案

一、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题3分，共18分）

1．设极限221sin(1)1lim 2

x x x ax b →-=++，则常数,a b 的值分别是（ ） （A ）2,3a b =-=- （B ）2,3a b ==- （C ）2,3a b == （D ）2,3a b =-=

2．设在点x a =处，()f x 可导，且()1f a '=，则0()()lim h f a h f a h h

→+--=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-

3．若()ln 2f x x x =在0x x =的导数0()2f x '=，则函数值0()f x =（ ）

（A ）2e （B ）2e

（C ）e （D ）1 4．若0x →时，3sin ()()x P x o x =+，则三次多项式()P x =（ ）

（A ）3x x +

（B ）3x x - （C ）316x x + （D ）316x x - 5．若2

20()cos x x t dt Φ=⎰，则导函数()x 'Φ是（ ）

（A ）单调函数 （B ）周期函数 （C ）奇函数 （D ）偶函数

6．满足0(1)()2

()1x x f x f t dt +=+⎰的连续函数()f x =（ ） （A ）x e （B ）cos x （C ）sin x （D ）1x +

二、填空题（每小题3分，共15分） 1．极限3

lim(12)x x x →-=___________ ． 2．函数2x y x x =+在点1x =处的微分1x dy ==_________ ．

3．若()f x 是1sin x +的一个原函数，则()f x 的一个原函数为 ．

4．通解为12x y C C e x -=++的二阶线性常系数非齐次微分方程是_______ ___ ．

5．设R 为地球半径，g 为重力加速度．若把质量为m 物体从地球表面升高到h 处所做的功为()W h ，则lim ()h W h →+∞

=__________．

三、计算题（每小题7分，共42分）

1．求极限20sin lim arcsin x x x x x

→-． 2．设参数方程sin 2cos x t t y t t

=++⎧⎨=+⎩，求导数0t dy dx =，22d y dx ． 3．设函数()y y x =由221x xy y -+=所确定，求y ''．

4

．求定积分4

0⎰． 5．求定积分1

1

()x x x e dx --+⎰． 6．求微分方程sin x y y x -'=满足2()2y ππ

=的特解． 四、应用题（每小题9分，共18分）

1．设2

1()ax f x x

+=，已知曲线()y f x =在1x =对应点处的切线与x 轴平行，（1）求a 的值；（2）求()f x 的单调增加区间与极小值；（3）求()y f x =的垂直渐近线．

2．设曲线2

y x =与直线0y =，(0)x a a =>所围成的平面图形为D ．若D 绕两个坐标轴旋转的旋转体的体积相等，．（1）求a ；（2）求图形D 的面积．

五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共7分）

1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做） 求证：当e a b <<时，22ln ln 2ln b a a b a a

-<-． 2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）

求证：当0a b <<时，

22ln ln 2b a a b a a b

->-+．

答案：

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．D ． 5．C ． 6．D ．

二、填空题（每小题3分，共15分）

1．6e -． 2．3dx ． 3．21sin 2

x x -． 4．1y y '''+=． 5．mgR ． 三、计算题（每小题7分，共42分）

1．6-． 2．012t dy dx ==；223sin cos 1(1cos )d y t t dx t --=+． 3．36(2)

x y -． 4．223． 5．12(12)e --． 6．1cos x y x

-=． 四、应用题（每小题9分，共18分）

1．（1）1a =；（2）单调增加区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；极小值(1)2f =；

（3）垂直渐近线为0x =．

2．（1）52a =；（2）12524

． 五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共7分）

1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做）

提示：令2

()ln ,[,]f x x x a b =∈．利用拉氏定理单调性证明．

2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）

提示：令()ln ,[,]f x x x a b =∈．利用拉氏定理和代数不等式．