《高等数学》教学大纲 - 福建农林大学

读书以过目成诵为能，最是不济事。——郑板桥
《高等数学IV》教学大纲
（Advanced Mathematics IV）
（总学时：80 ）
一、简要说明：本大纲适用于广告学、植保保护、农学、林学。
二、课程的性质、地位和任务
高等数学课程是高等学校大农林类、经管类各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、常微分方程、多元函数微积分学，等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、建模能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
三、教学基本要求与方法
本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。较高层次的内容必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。其中，概念、理论用"理解"一词表述，方法、运算用"掌握"一词表述。较低层次的内容也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中概念、理论用"了解"一词表述，方法、运算用"会"或"了解"表述。
四、授课教材及主要参考书
（一）授课教材
阙树福．全国高等农林院校"十一五"《高等数学》．北京．中国农业出版社，2008．
（二）主要参考书：
1．同济大学数学系．高等数学（第六版）．北京：高等教育出版社，2006
2．上海交通大学与集美大学．高等数学－及其教学软件．北京：科学出版社，2002
3．王凯捷．高等数学（I）．北京：高等教育出版社，2002
4．姜永．21世纪高等农林院校数学基础课规划教材《高等数学·农学类》．厦门：厦门大学出版社，2008．
五、学分与学时分配
本课程共80学时，4学分，授课时间一个学期，建议学时分配如下：
章 内 容 学时 一 函数、极限与连续 14 二 一元函数微分学 20 三 一元函数积分学 18 四 多元函数微积分学 16 五 微分方程 4 习题与复习 8 总计 80 六、教学内容及学时分配
（一）理论教学内容 80学时
第一章 函数、极限、连续 （14学 时）
1、目的要求：理解函数的概念。了解函数奇偶性、单调性 、周期性和有界性。理解复合函数的概念、了解反函数的概念。掌握基本初等函数的图形及其性质。会建立简单实际问题的函数关系式。了解极限的概念。掌握极限四则运算法则。

了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型和名称。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
2、 要点与讲授内容
第一节 函数
一、函数的概念
二、函数的性质
三、反函数
四、复合函数
五、基本初等函数和初等函数
第二节 数列的极限
一、问题的提出
二、数列的极限
第三节 函数的极限
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、自变量趋于有限值时函数的极限
三、函数极限的性质
第四节 无穷小量和无穷大量
一、无穷小量
二、无穷大量
第五节 极限的运算法则 两个重要极限
一、极限的运算法则
二、两个重要极限
第六节 无穷小的比较
第七节 函数的连续性
一、函数连续的概念
二、函数的间断点
第八节 连续函数的运算
一、连续函数的四则运算
二、反函数的连续性
三、复合函数的连续性
四、初等函数的连续性
第九节 闭区间上连续函数的性质
第二章 导数与微分 （20学时）
1、目的要求：理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数求平面曲线的切线和法线方程。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线），会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。会用罗必塔（L，Hospital）法则求不定式的极限。
2、要点与讲授内容
第一节 导数的概念
一、引例
二、导数的定义
三、用导数的定义求导数
四、导数的几何意义
五、函数的可导性与连续性之间的关系

第二节 求导法则
一、函数和、差、积、商的求导法则
二、复合函数的求导法则
三、反函数的导数
四、高阶导数
五、隐函数的导数
六、由参数方程所确定的函数的导数
第三节 函数的微分
一、微分的概念
二、微分的基本公式及运算法则
三、微分的应用
第四节 中值定理
一、罗尔（Rolle）定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
第五节 洛必达法则
一、型和型未定式的极限
二、其他类型未定式的极限
第六节 函数的单调性与极值
一、函数单调性及其判别法
二、函数的极值
三、最大值与最小值
第七节 曲线的凹凸性及函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性和拐点
二、曲线的渐近线
三、函数图形的描绘
第三章 一元函数积分学 （18学时）
1、目的要求：理解原函数与不定积分的概念与性质。掌握不定积分的换元法与分部积分法。会求简单的有理函数的积分（对待定系数不作过高要求）。理解定积分的概念及性质。掌握定积分的基本公式，定积分的换元法与分部积分法。理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式。了解广义积分的概念。掌握定积分微元法的思想，能用定积分表达面积与体积。
2、要点与讲授内容
第一节 不定积分的概念及其性质
一、原函数和不定积分的概念
二、不定积分的基本性质
三、基本积分公式
第二节 定积分的概念和性质
一、两个引例
二、定积分的定义
三、定积分的几何意义
四、定积分的性质
第三节 微积分基本公式

读书以过目成诵为能，最是不济事。——郑板桥
一、积分上限的函数及其导数
二、牛顿-莱布尼兹公式
第四节 换元积分法
一、第一类换元法
二、第二类换元法
三、定积分的换元法
第五节 分部积分法
一、不定积分的分部积分法
二、定积分的分部积分法
第六节 广义积分
一、无限区间上的广义积分
二、有无穷间断点的广义积分
第七节 定积分的应用
一、定积分的元素法
二、定积分在几何上的应用（平面图

形的面积与旋转体的体积）
第六章 多元函数微积分学（16学时）
1、目的要求：理解空间直角坐标系的概念，掌握两点间的距离公式。了解平面的一般方程，球面、柱面、旋转曲面、常见二次曲面的方程和图形。理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续的概念，理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要和充分条件。掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。会求隐函数（由一个方程确定的）的偏导数。理解多元函数极值的概念，会求二元函数的极值，会利用拉格朗日乘数法求条件极值。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。
2、要点与讲授内容
第一节 多元函数
一、区域
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
第二节 偏导数与全微分
一、偏导数
二、高阶偏导数
三、全微分
第三节 多元复合函数与隐函数的求导法
一、多元复合函数的求导法
二、隐函数的求导法
第四节 多元函数的极值
一、多元函数的极值概念及求法
二、多元函数的最大值与最小值的应用
三、条件极值 拉格朗日乘数法
第五节 二重积分的概念和性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
第六节　二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
第四章 微分方程（4学时）
1、目的要求：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的方程、一阶线性方程的解法。会用微分方程解一些简单的几何和瞬时变化率问题。
2、要点与讲授内容
第一节 微分方程的基本概念
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的一阶微分方程
二、一阶齐次微分方程
第三节 一阶线性微分方程
习题课与总复习课（8学时）
（二）实验教学内容（无）







编写人：谢明芳，助教
2009.09

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读书以过目成诵为能，最是不济事。——郑板桥