西南交通大学_数学物理方程第一讲

这就是三维热传导方程。
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陈桂玲
注1. 如果热量的分布与高度无关，即在与 z 轴垂直的每一 个平面上温度分布相同的话，我们得到
u 0 z
于是得到二维热传导方程
2 2 u u u 2 a 2 2 f (t , x, y). t y x
注2. 考虑一根杆，如果这根杆上个点的温度分布不相同， 有热量的流动，假设杆的侧面与外面没有热交换，只是杆 的两头与外界有热交换，这种情况下我们得到了一维热传 导方程
2 u u 2 a f (t , x). 2 t x
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注3. 有类似机制的物理问题 1) 水中滴一滴红墨水 2) 半导体的生成
2. 理想化的假设：
1）介质是均匀分布的， 设密度为 为常数。 2）介质是各向同性的，设热传导系数 k ，比热 c 均为常数。
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3.建立坐标系：
z
y
x
选定研究对象 u(t , x, y, z ) 表示点 ( x, y, z ) 在
t 时刻的温度。
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4. 用微元分析法推导热传导方程 1)取微元：
注2：声音的传播（三维）
2 2 2 2u u u u 2 a 2 2 f (t , x, y, z ) 2 2 t y z x
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例2：热传导方程
1. 模型：各向同性的物体，内部有热源，与周围介质有热交
换，求物体内部的温度分布。
z
y
dz
dy
dx
x
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2）基本的物理定律： a) 能量守恒定律:
Q Q1 Q2
Q表示温度升高所需要的热量；Q1表示外界流入的热量；
Q2表示内部热源所产生的热量。
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b) Fourier 热传导定律
u dQ k ( x, y, z ) dSdt n
k ( x, y, z ) 为热传导系数，
u u nu F x, u, x ,..., x ,.... x 1 .......x 1 1 2 1 1
0
为偏微分方程的一般形式。
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注1：弹性膜（二维）
2 2 2u u u 2 a 2 f (t , x, y) 2 2 t y x
从而得到
2u 2u 2u u c k 2 2 g (t , x, y, z ) 2 t y z x
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即
u a 2 u f (t , x, y, z ) t
其中
k a , c
g (t , x, y, z ) f (t , x, y, z ) c
T2 u T1 x
T T1 T2 T1 1 u x T1
2 2 2
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由
ds
dx dy
2
2
u dx 1 dx x
2
根据 Hook 定律， 我们得到
T1 T T0
其中 T0 为常数。
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dtdydz
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通过前后平面流入的热量
Q前后
u k 2 dtdxdydz y
2
通过上下平面流入的热量
Q上下
u k 2 dtdxdydz z
2
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设热源密度为 g (t , x, y, z ) ，（单位时间单位体积放出的热量） 则由能量守恒定律我们得到
2u 2u 2u u c dtdxdydz k 2 2 dtdxdydz g (t , x, y, z )dtdxdydz 2 t y z x
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由上面几个式子，我们推导出了
u 2 u a f (t , x) 2 2 t x
2 2
其中 a
T0

,
f (t , x)
g (t , x)

这就是历史上第一个正规的偏微分方程。
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5.偏微分方程的一般形式：
设 u ( x) 为未知函数， x ( x1 , x2 ,..., xn ) 关系式
c)
d)
e)
f)
为ρ（kg/m)。 柔软的：柔软是指没有抗弯曲的张力，张力只是沿 切线方向。 弹性：张力满足Hook定律（张力与弦线的相对伸长 成正比）。 细：横截面的直径远小于弦线的长度。 u 微小：位移和相对位移都充分小（|u|<<1, x <<1 ）。 横振动：只有沿u方向的位移。
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研究数学物理方程的一般步骤：
第一步：将物理问题转化为数学问题，即建立数学模型，
从而导出偏微分方程。
第二步：求解方程。
第三步：把解带入物理问题中做一些物理解释。一方面，
看一下我们得到的解与我们观测到的物理现象、总结的物 理规律是否吻合。另一方面，通过解预测一下物理现象。
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g (t , x) 表示单位长度所受到的外力
x
x dx
x
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2) 基本的物理定律: 牛顿第二定律 （
F ma
）
x 方向：
T1 (t , x) T1 (t , x dx)
T1 0 x
T1 T1 t
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沿着 u方向，利用牛顿第二定律得到：
2u dx 2 T2 (t , x dx) T2 (t , x) g (t , x)dx t
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课程内容：研究数学物理方程的建立、求解方
法和解的物理意义分析。
方程的导出和定解问题
行波法
解析法
数学物理方法
分离变量法 Green 函数法
基本解法
数值法
积分变换法 差分法
有限元法
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课程简介：
数学物理方程，顾名思义，讨论的是物理问题里面的数学 方程，这个方程以偏微分方程为主，有时候也讨论常微分 方程，积分方程，差分方程，但总体来讲，主要讨论偏微 分方程，所以从严格意义上来讲，这门课程也叫数学物理 偏微分方程。
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第一章： 典型方程的导出、定解问题
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第一节：典型方程的导出
例1：弦振动方程
（1747年，达朗贝尔，偏微分方程的开始）
1.模型：
一根拉紧的柔软细弦，假定在外力的作用下， 弦在 平面上作微小横振动—振动方向与弦的平衡位置垂直。
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2.理想化的假设
a) 均匀的：弦是由同一种物质组成的，设弦的线密度 b)
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陈桂玲（博士）
荷兰莱顿大学(Leiden University）
Email:guilingmath@gmail.com QQ:258038632 Tel: 18583778569
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参考教材： 《数学物理方程》王明新 清华大学出版社 考试：
期末考试 70%（闭卷）+平时成绩30%
u 表示沿 方向温度的变化率。 n n
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温度升高所需要的热量
u Q c dtdxdydz t
通过左右平面流入的热量
Q左右
u u k ( t , x , y , z ) dtdydz k x x 2 u k 2 dtdxdydz x
( t , x dx, y , z )
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3. 选坐标系
选择平衡位置所在的直线为 x 轴， 确定未知函数为位移 u (t , x)
u (t , x)
x
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4.利用微元分析法推导方程
1) 取微元：
u
T (t , x)
g (t , x)
T (t , x dx)
T
2
(t , x dx)
M
M
1
2
T (t, x dx)
1