导数和微分的定义

C C lim x 0 x
0 .
(C ) 0.
f ( x ) ) 0 , 而 f ( x ) 表示函数 f ( x ) 在点 x x 处的导 . 注： ( 0 0 0
正弦函数的导数
例1. 设函数 f ( x ) sin x , 求 (sin x ) 及 (sin x ) .
若
f (x) f (x0) y lim lim x x0 x x0 x 0 x
y f( x ) f( x ) 0 xxx 0
存在, 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导, 并称此极限为
y f (x ) 在点 x 0 的导数. 记作: dy d f (x) y xx0 ; f (x ; 0); dx x x0 d x x x0 y y ( x ) lim 即 xx0 f 0 x 0 x
导数和微分 的定义
第一节 1.导数和微分的定义
一、导数的定义 二、单侧导数 三、函数的可导性与连续性的关系 四、导数的几何意义 五、微分
一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
sf( t)
则 t 0 到 t 的平均速度为
f( t ) f( t ) 0 v t t0 而在 t 0 时刻的瞬时速度为 f( t ) f( t ) 0 v lim t t0 t t0
0
x
分段函数在分段点的可导性
( x ), x x 0 设函数 f ( x ) , 讨论在点 x 的 0 ( x ), x x 0 可导性 .
f ( x0 )
( x x ) ( x ) f( x x )f( x ) l 0 0 0 0 i m l i m x 0 x 0 x x f( x x )f( x ) ( x x ) ( x ) 0 0 0 0 l i m l i m x 0 x x 0 x
简写为
f ( x0 ) 存在
(x0) f ( x0 ) f
(b) (a) 与 f 若函数 f ( x) 在开区间 (a , b)内可导, 且 f
都存在 , 则称 f ( x) 在闭区间 [ a , b ] 上可导.
四、 函数的可导性与连续性的关系
f (x )在点 x处连续 y 证: 设 yf( x )在点 x 处可导, 即 lim f (x ) x 0 x 存在 , 因此必有 y f (x), 其中 lim 0 x 0 x x 0 0 故 y f ( x ) x x
f( x ) f( x ) 0 x x0 割线 M N 的斜率 tan f( x ) f( x ) 0 k lim x x
x x 0
0

s f( t ) f( t ) o 0 t0 t 瞬时速度 v lim y t t0 t t0 y f (x ) N f ( x ) f ( x ) 0 切线斜率 k lim T M C x x0 x x 0 o x0 x x 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
y f( x ) f( x ) 0 xxx 0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x 0 不可导. y 若 lim , 也称 f ( x) 在 x 0 的导数为无穷大 . x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f (x) . ; 记作: y ; f ( x) ; dx dx 注意:
1 2 x)n1x0 (x x )n2x (x x )n3x l i m ( (x
x n 1 )
n x n 1
n 1 (x ) n x n
更一般地
1 ( x ) x ( R )
说明： 对一般幂函数 y x (
一些基本初等函数的导数
• • • • • 常数函数的导数 幂函数的导数 正（余）弦函数的导数 对数函数的导数 指数函数的导数
常数函数的导数
例2. 求函数 f ( x ) C ( C 为常数 ) 的导数 .
解
f( x x ) f( x ) f ( x ) l i m x 0 x
解
x f( 0 x )f( 0 ) , x x
y
y x
f ( 0 x ) f ( 0 ) x l i m l i m 1, x 0 h 0 x x
f ( 0 x ) f ( 0 ) x l i m l i m 1 . x 0 x 0 x x
)在点 x处可导 定理1. f (x

x )在点 x 连续 . 所以函数 yf(
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
3 ( x ) x 1 ,在 x 例1: 试证 f
1处连续但不可导 y 1处连续。
0
y
3
x 1
证
3 l i m x 1 0 f( 1 ) , 在 x x 1
例4. 求函数 y log x ( a 0 , a 1 ) 的导数 . a 解
1 (loga x)' xln a
1 ( ln x ) . x
指数函数的导数
x x
x a a 1 x a lim x0 x x
x 例5. 求函数 f ( x ) a ( a 0 , a 1 ) 的导数 .
x 4
同理可得
x 4
( c o s x ) s i n. x
cos x
2 . 2
幂函数的导数
( x ) x( n N )的导数 例3. 求函数 f
解: f ( x ) l i m
Fra Baidu bibliotek 0
n

x 0
n x x x f (x x) f (x) lim xa x x n
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
sin (0 h ) 0 f(0 ) lim 1 h0 h a (0 h ) 0 f(0 ) lim a h0 h 故 a 1 时 f ( , )都存在, 0 ) 1 , 此时 f ( x) 在 ( cos x , x 0 f (x) 1 , x 0
f ( x0 ) f (x) xx d f ( x 0 ) 0 dx
由定义求导数的步骤
( 1 ) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
yf ( x x ) f ( x ) ( 2 ) 算比值 ; x x
y ( 3 ) 求极限 y lim . x 0 x
1
x
3 f( 1 x )f( 1 ) x 0 又 l i m lim x 0 x 0 x x

在x
1处不可导。
y
1
1 x sin , x 0, x 例2: f ( x) x 0. 0,
－1/π
在 x 0 处的连续但不可导。
a x 解( lim a)
x 0
x
a x ln a.
ax 1 ln a ） （见1-4函数连续性的例3 lim x0 x
(ax) ax lna .
( e x ) e x .
五、 单侧导数
定义2 . 设函数 yf( x )在点 x 0 的某个右 (左) 邻域内 有定义, 若极限 f ( x x ) f ( x ) y 0 0 lim lim x x x 0 x 0 x x x x x
s i n ( x x )s i n x 解 ( s i n) x l i m x 0 x
x 4
x sin x 2 limcos( x ) cos x . x0 x 2 2
所以
( s i n x ) c o s x .
(sin x )
( x 0)
( x 0)
0
0
0
存在, 则称此极限值为 f ( x) 在 x 0 处的右 (左) 导数, 记作 (x f (x )) 0) (f 0 f( x x ) f( x ) 0 0 y ( x )lim 即 f 0 y x x x 0
f (t 0 )
f (t )
类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
变 化 率 问 题
二、导数的定义
) 在点 x 0 的某邻域内有定义 , 定义1 . 设函数 y f (x

(x0 ) f
若 f ( x ) ,f ( x ) 都存在且 f ( x ) f ( x ) a , 0 0 0 0
则 f ( x ) 在点 x 可导 , 且 f ' ( x ) a . 0 0
例6. 讨论函数 f ( x ) x 在 x 0 处的可导 .
x log a (1 ) l o g ( x x ) l o g x a x 1 y l i m a lim x 0 x 0 x x x x
x 1 1 1 1 x x lo g . lim lo g 1 ) a e a( x 0 x xlna x x
自由落体运动
2 1 s 2 gt
o
f (t 0 )
f (t )
t0
t
s
2. 曲线的切线斜率 曲线 C 在 M 点处的切线 :y f ( x )
y
割线 M N 的极限位置 M T 时) (当
切线 MT 的斜率
y f (x ) N
C M
T
o x0
x x
k tan lim tan
o
x
即 f ( 0 ) f ( 0 ), 函数 y f ( x ) 在 x 0 点不可 .
sin x, x0 7. 设 f (x , 问 a 取何值时, f ( x) 在 ) ax, x0 ( , )都存在 , 并求出 f (x) .
t0
t
s
曲线 C :y f ( x ) 在 M 点处的切线斜率
f( x )f( x ) 0 k lim x x0 x x 0
f ( x ) 0
y
y f (x ) N
C M
T
o
x0
x x
x x0
lim
f (x) f (x0 ) y lim x 0 x x x0
x ) x 在 x = 0 处有 例如, f( ( f 0 ) 1 f ( 0 ) 1 ,
o
x
x )在点 x 0 可导的充分必要条件 定理2. 函数 yf(
(x ( 是 f . x )f ( x ) 与 f ( x ) 存在 ,且 f 0) 0 0 0
f( x h ) f( x ) f( x x ) f( x ) 0 0 0 0 lim lim h 0 x 0 h x
t) 运动质点的位置函数 sf(
在 t 0 时刻的瞬时速度
o
f (t 0 )
f (t )
f( t)f ( t0) v lim f ( t ) 0 t t0 t t0
1 (x ) x
为常数)
（以后将证明）
( x ) ( x ) 例如，
1 2
1 2
x
1 2

1 2 x

(
1 1 1 1 1 2 ( x ) x x x
1 x x
)
3 7 3 4 4 ( x ) x
4
对数函数的导数