《一 二维形式的柯西不等式》教案

《一 二维形式的柯西不等式》教案

教学目标

认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重、难点

重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.

难点：理解几何意义.

教学过程

一、复习准备：

1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？

答案：(0,0)2

a b a b +>>及几种变式. 2.练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：(比较法)22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥

二、讲授新课：

1.柯西不等式：

①提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：(综合法)222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. (要点：展开→配方)

证法三：(向量法)设向量(,)m a b = ，(,)n c d = ，则||m = ||n .

∵ m n ac bd ∙=+ ，且||||cos ,m n m n m n ⋅=<> ，则||||||m n m n ⋅≤ .∴…..

证法四：(函数法)设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则

22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.

∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..

③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

||ac bd + 或||||ac bd +

ac bd ≥+.

④提出定理2：设,αβ 是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤ .

即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 )

→ 讨论：上面时候等号成立？(β 是零向量，或者,αβ 共线)

⑤练习：已知a 、b 、c 、d ≥证法：(分析法)平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？(构造三角形) 2.教学三角不等式：

① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈，分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

三、应用举例：

例1：已知a ，b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++

例2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。

课堂练习：1.证明: (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x +by 2)2

2.求函数x x y -+-=6453的最大值.

例3.设a ，b 是正实数，a +b =1，求证

411≥+b a 四、巩固练习：

1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式

2.已知x +2y =1， 求x 2+y 2的最小值.

五、课堂小结：

1.二维柯西不等式的代数形式、向量形式；

2.三角不等式的两种形式(两点、三点)