动力学中的临界极值问题

动力学中的临界极值问题

临界和极值问题是物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点。分析此类问题重在找临界条件，常见的临界条件有：

1.细线：拉直的临界条件为T=0，绷断的临界条件为T=Tmax

2.两物体脱离的临界条件为：接触面上的弹力为零

3.接触的物体发生相对运动的临界条件为：静摩擦力达到最大静摩擦

临界或极值条件的标志

(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，

而这些起止点往往就对应临界状态；

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值

点往往是临界点；

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度．

例3(2013·山东·22)如图5所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝

10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝

3

3.重力加速度g取10 m/s

2.

图5

(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小．

(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

解析(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得

L＝v0t＋1

2at

2 ①

v＝v0＋at ②

联立①②式，代入数据得

a＝3 m/s2 ③

v＝8 m/s ④

(2)设物块所受支持力为F N，所受摩擦力为F f，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得

F cos α－mg sin θ－F f＝ma ⑤

F sin α＋F N－mg cos θ＝0 ⑥

又F f＝μF N ⑦

联立⑤⑥⑦式得

F＝mg(sin θ＋μcos θ)＋ma

cos α＋μsin α

⑧

由数学知识得

cos α＋

3

3sin α＝

23

3sin(60°＋α) ⑨

由⑧⑨式可知对应最小F的夹角

α＝30°⑩联立③⑧⑩式，代入数据得F的最小值为

F min＝133

5N

答案(1)3 m/s28 m/s(2)30°133

5N

动力学中的典型临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0.

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：

静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等

于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T＝0.

(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为零时．

突破训练3如图6所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成θ角、斜向右上方的拉力F 的作用下沿水平地面运动．物体与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.求：

图6

(1)若物体在拉力F的作用下能始终沿水平面向右运动且不脱离地面，拉力F的大小范围；

(2)已知m＝10 kg，μ＝0.5，g＝10 m/s2，若F的方向可以改变，求使物体以恒定加速度a＝5 m/s2向右做匀

加速直线运动时，拉力F的最小值．

答案(1)μmg

cos θ＋μsin θ≤F≤

mg

sin θ(2)40 5 N

解析(1)要使物体运动时不离开水平面，应有：F sin θ≤mg 要使物体能一直向右运动，应有：

F cos θ≥μ(mg－F sin θ)

联立解得：μmg

cos θ＋μsin θ≤F≤

mg

sin θ

(2)根据牛顿第二定律得：F cos θ－μ(mg－F sin θ)＝ma

解得：F＝

μmg＋ma cos θ＋μsin θ

上式变形F＝

μmg＋ma

1＋μ2sin(θ＋α)

，

其中α＝sin－11

1＋μ2

，当sin(θ＋α)＝1时F有最小值

解得：F min＝μmg＋ma

1＋μ2

，

代入相关数据解得：F min＝40 5 N.

B组动力学中的临界极值问题

2．如图所示，一质量为0.2 kg的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面

上，绳与斜面平行，当斜面以10 m/s2加速度水平向右做匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力．(g ＝10 m/s2)

3．(2007江苏)如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg ．现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为（ ）

5mg 3μ B ．4mg 3μ C ．2mg

3μ D ．mg 3μ

例2．一根劲度系数为k 、质量不计的轻弹簧上端固定，下端系一质量为m 的物块，有一水平的木板将物块托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示．现让木板由静止开始以加速度a(a

跟踪训练2．如图所示，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上．A 、B 质量分别为6.0 kg 和2.0 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数为0.2.在物体A 上施加水平方向的拉力F ，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增大，在增大到45 N 的过程中，以下判断正确的是( )

A ．两物体间始终没有相对运动

B ．两物体间从受力开始就有相对运动

C ．当拉力F ＜12 N 时，两物体均保持静止状态

D ．两物体开始没有相对运动，当F ＞18 N 时，开始相对滑动