第八章 图与网络分析
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得出第二次就座方案是（1，3，5，7，2， 4，6，1），那么第三次就座方案就不允许这 些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边。
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得到第三次就座方案是（1，4，7，3， 6，2，5，1），那么第四次就座方案就 不允许这些顶点之间继续相邻，只能从 图中删去这些边，只留下7点孤立点，所 以该问题只有三个就座方案。
棵树，则称这个有向图为有向树。
定义 有向树T，恰有一个结点入次为0，其余 各点入次均为1，则称T为根树 根树中入次为0的点称为根，根树中出次为0 的点称为叶，其他顶点称为分枝点，由根到某一
顶点的道路长度称为点的层次
定义 在根树中，若每个顶点的出次小于或等于m， 称这棵树为m叉树。若每个顶点的出次恰好等于m或 零，则称这棵树为完全m叉树。当m=2时，称为二叉 树、完全二叉树。
(1) 深探法
1) 在点集V中任取一点v，给v以标号0， 2) 若某点u已得标号i，检查端点为u的各边另一端点是否均已 标号， 若有(u,w)边之w标号，则给w以标号i+1，记下边(u,w).令w代u， 重复2) 若这样的边的另一端点均已有标号，就退到标号为i-1的r点， 以r代u，重复2)，直到全部点得到标号为止。
(1) 深探法
(2) 广探法 1) 在点集V中任取一点v，给v以标号0， 2)令所有标号为i的点集为V，检查[V,V\V]中的边端点是否均 已标号，对所有未标号之点均标以i+1，记下这些边， 3)对标号i+1点重复步骤2)，直到全部点得到标号为止。
图的生成树不唯一
3. 最小生成树（支撑树）问题
边e是环。
若两个点之间有多于一条的边，称为多重边。
一个无环，无多重边的图称为简单图；一个
无环，但允许有多重边的图称为多重图。
有向图中两点之间有不同方向的两条边，不是多重边。 (a)，(b)为简单图， (c)，(d)为多重图
2. 顶点的次
定义5 以点v为端点的边数叫做点v的次，记作
deg(v)，简记为d(v)。 次为1的点称为悬挂点，连结悬挂点的边称为悬挂 边；次为零的点称为孤立点，次为奇数的点，称为奇 点，否则称为偶点。
其中
a 6 = v 4 ,v 5 ,a 7 = v 4 ,v 6 ,a 8 = v 5 ,v 3 ,a 9 v 5 ,v 4 , a 10 = v 5 ,v 6 , a 11 = v 6 ,v 7
图G中的边(弧)数记为m(G) =|E|，顶点个数记 为n(G) =|V| ，分别简记为m，n。 若图G中，一个边e的两个端点相同，则称此
i j
i j nn i
Leabharlann Baidu
,vj)
ai j
wi j 0
(v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
v1
3 v6 3 6
4 7 3
v2
2
v3 5
v1 0 v2 4 v3 0 A v4 6 v5 4 v6 3 v1 4 0 2 7 0 0 v2 0 2 0 5 0 3 6 7 5 0 2 0 4 0 0 2 0 3 3 0 3 0 3 0
1 1 2 k 1 k 1 k
且
e i [ v i ,v i ]
t t t 1
(t=1，2，…，k-1)
vi 和 vi
1 k
称这个点边序列为连接
的一条链。
点边列中没有重复的点 和重复的边者为初等链
三、图的矩阵表示 图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵等。 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 ( v 有权 w ，构造矩阵 A ( a ) ，其中：
定义7 图G=（V,E），若E´是E的子集， V´是V的子集，且E´中的边仅与V´中的顶点相关 联，称G´ =（V´,E´）是G的一个子图，若V´=V, G´ 称为G的生成子图（支撑子图）
v2
e1 v1 e6 v6 e7 e5 (a) v7 e8 e2 e9 e10 e11 v5 e4 v3 e3 v1 e6 e7 v7 v5 v2 e1 e8 v2 v3
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得到第一次就座方案是（1，2，3，4，5， 6，7，1），继续寻求第二次就座方案时就不 允许这些顶点之间继续相邻，因此需要从图中 删去这些边。
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第八章 图与网络分析
图论的起源：
哥尼斯堡七桥问题:哥尼斯堡城中有一条河叫 普雷格尔河，该河中有两个岛，河上有七座桥， 一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一 次，最后回到出发点。
图论的起源： 欧拉在1736年发表了图论方面的第一篇论文， 解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。 欧拉将此问题归结为图1 (b)所示图形的一笔画 问题。即能否从某一点开始，不重复地一笔画 出这个图形，最后回到出发点。欧拉证明了这 是不可能的。
有向图的例子
V v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v5 , v6 , v7 , A
a1 , a2 , a3 , a4
, a5 , a1 1 ,
a 1 = v 1 ,v 2 ,a 2 = v 1 ,v 3 ,a 3 = v 3 ,v 2 ,a 4 = v 3 ,v 4 ,a 5 = v 2 ,v 4 ,
§2 树
树：连通且不含圈的无向图，用T=(V,E),树中次为1
的点称树叶，次大于1的称分支点
2. 图的生成树(支撑树)：
若图G＝(V，E)的生成子图是一颗树，则称该
树为G的生成树(支撑树)，简称图G的树。
点不少，边少
图G有支撑树图←→G必是连通的
按照边的选法不同，找图生成树的方法有深探法和广探法
§3 最短路问题
最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以 直接应用于解决生产实际中的许多问题，如管道铺设、
线路安排、厂区布局、设备更新等，而且还经常作为
一个基本工具，用于解决其他优化问题。在一个赋权 有向图中寻求最短路的方法，实际上求从给定一个点 vs到任一个点vj的最短路。
一、Dijkstrsa 算法
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2 v3 5
v6 3 4 2 v5
v4
v3 v4
v5 v6
§2 树
已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要求任何 两个城市都可以互相通话(允许通过其他城市)，并且电话线 的根数最少。 用五个点v1，v2，v3，v4，v5代表五个城市，如果在某 两个城市之间架设电话线，则在相应的两个点之间连一条边， 这样一个电话线网就可以用一个图来表示。为了使任何两个 城市都可以通话，这样的图必须是连通的。其次，若图中有 圈的话，从圈上任意去掉一条边，余下的图仍是连通的，这 样可以省去一根电话线。因而，满足要求的电话线网所对应 的图必定是不含圈的连通图。
有7个人围桌而坐，如果要求每次相邻的人 都与以前完全不同，试问不同的就座方案共有多 少种？
用顶点表示人，用边表示两者相邻，因为最 初任何两个人都允许相邻，所以任何两点都可以 有边相连。
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e1 v1
e6 v6 (c) e7 v7
e9
e10
v4
v4
e11
v5
v6
e5 (b)
子图
支撑子图
4. 网络
点或边带有某种数量指标的图称为网络（赋 权图），与点或边有关的某些数量指标称为权， 权可以代表距离、费用和通过能力等。网络分为 无向网络和有向网络。
二、连通图
定义8 无向图G=(V,E)，若图G中某些点与边 的交替序列可以排成 ( v i ,e i ,v i , ,v i ,e i ,v i )
定义1： 一个图是由点集V={vi}和V中元素的无序
对的一个集合E={ek}所构成的二元组，记为G=
（V,E），V中的元素vi叫做顶点，E中的元素ek叫
做边。
当V,E为有限集合时，G称为有限图，否则， 称为无限图。两点之间不带箭头的连线称为边，带 箭头的连线称为弧（或有向边）。如果一个图G由 点及边所构成，则称之为无向图(简称为图)，如果
定义：连通图G=(V,E)，每条边上有非负权L(e)。 一棵生成树所有树枝上权的总和为这个生成树的 权。具有最小权的生成树，称为最小生成树。 求赋权图G的最小支撑树的方法也有两种， “避圈法”和“破圈法” 。 算法1:避圈法（Kruskal） 每步从未选的边中选取边e，使它与已选边不 构成圈，且e是未选边中的最小权边，直到选购n1条边为止。
一 图与网络的基本概念 1. 图及其分类
图：由点及点与点的连线构成，反映了实际生活
中某些对象之间的某些特定关系 点：代表研究的对象； 连线：表示两个对象之间特定的关系。 图：是反映对象之间关系的一种抽象 一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点 之间连线的长短曲直，对反映对象之间的关系 并不重要。
一个图D由点及弧所构成，则称为有向图，记为
D=(V，A)，
无向图的例子
V = v 1 , v 2 , v 3 , v4
E e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e5 , e6 , e7
其中
e 1 = v 1 , v 2 , e 2 = v1 , v 2 , e3 = v 2 , v3 , e4 = v3 , v4 , e 5 = v 1 , v 4 , , e6 = v1 , v3 , e7 v4 , v4
一、Dijkstrsa 算法
(1) 给vs以P标号，P(vs)=0,其余各点均给T标号，T (vi)=+∞
(2) 若vi点为刚得到P标号的点，考虑这样的点vj ；（）属于E，
且为T标号，对vj的T标号进行如下的更改 T (vj)=min[T (vj), P(vi) +lij] (3)比较所有具有T标号的点，把最小者改为P标号，即 P(vi)=min[T (vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全 部点均为P标号则停止，否则用 vi 代vi转回(2)。
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图论：运筹学的重要分支 主要应用领域：物理学、化学、控制论、信息论、 科学管理、计算机等 图论理论和方法应用实例 在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序 之间怎样衔接，才能使生产任务完成得既快又 好。 一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街 道，完成任务后回到邮局，应该按照怎样的路 线走，所走的路程最短。 各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分 布等问题，应用图论的方法求解都很简便。
2. 顶点的次
定理1 定理2 任何图中，顶点次数的总和等于边数的两倍。 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点 vi 的出次，用 表示 d
( v i )；以
vi 为终点的边数称为点vi 的入次，用 d
(v i )
表
示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。
3. 子图
4 2
v5 v4
v3 v4
v5 v6
设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个 矩阵
A ( a i j ) nn
，其中：
ai j 1 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1 3 6 3 4 v2
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 0 0 v2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
T=1+2+1+1+1+2+2+3=13
算法2:破圈法
（1）从图G中任选一棵树T1， （2）加上一条弦e1，T1+e1中立即生成一个圈。去掉此 圈中最大权边，得到新树T2，以T2代T1，重复（2）再 检查剩余的弦，直到全部弦检查完毕为止。
四、根树及其应用
定义 若一个有向图在不考虑边的方向时是一
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得出第二次就座方案是（1，3，5，7，2， 4，6，1），那么第三次就座方案就不允许这 些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边。
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得到第三次就座方案是（1，4，7，3， 6，2，5，1），那么第四次就座方案就 不允许这些顶点之间继续相邻，只能从 图中删去这些边，只留下7点孤立点，所 以该问题只有三个就座方案。
棵树，则称这个有向图为有向树。
定义 有向树T，恰有一个结点入次为0，其余 各点入次均为1，则称T为根树 根树中入次为0的点称为根，根树中出次为0 的点称为叶，其他顶点称为分枝点，由根到某一
顶点的道路长度称为点的层次
定义 在根树中，若每个顶点的出次小于或等于m， 称这棵树为m叉树。若每个顶点的出次恰好等于m或 零，则称这棵树为完全m叉树。当m=2时，称为二叉 树、完全二叉树。
(1) 深探法
1) 在点集V中任取一点v，给v以标号0， 2) 若某点u已得标号i，检查端点为u的各边另一端点是否均已 标号， 若有(u,w)边之w标号，则给w以标号i+1，记下边(u,w).令w代u， 重复2) 若这样的边的另一端点均已有标号，就退到标号为i-1的r点， 以r代u，重复2)，直到全部点得到标号为止。
(1) 深探法
(2) 广探法 1) 在点集V中任取一点v，给v以标号0， 2)令所有标号为i的点集为V，检查[V,V\V]中的边端点是否均 已标号，对所有未标号之点均标以i+1，记下这些边， 3)对标号i+1点重复步骤2)，直到全部点得到标号为止。
图的生成树不唯一
3. 最小生成树（支撑树）问题
边e是环。
若两个点之间有多于一条的边，称为多重边。
一个无环，无多重边的图称为简单图；一个
无环，但允许有多重边的图称为多重图。
有向图中两点之间有不同方向的两条边，不是多重边。 (a)，(b)为简单图， (c)，(d)为多重图
2. 顶点的次
定义5 以点v为端点的边数叫做点v的次，记作
deg(v)，简记为d(v)。 次为1的点称为悬挂点，连结悬挂点的边称为悬挂 边；次为零的点称为孤立点，次为奇数的点，称为奇 点，否则称为偶点。
其中
a 6 = v 4 ,v 5 ,a 7 = v 4 ,v 6 ,a 8 = v 5 ,v 3 ,a 9 v 5 ,v 4 , a 10 = v 5 ,v 6 , a 11 = v 6 ,v 7
图G中的边(弧)数记为m(G) =|E|，顶点个数记 为n(G) =|V| ，分别简记为m，n。 若图G中，一个边e的两个端点相同，则称此
i j
i j nn i
Leabharlann Baidu
,vj)
ai j
wi j 0
(v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
v1
3 v6 3 6
4 7 3
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v3 5
v1 0 v2 4 v3 0 A v4 6 v5 4 v6 3 v1 4 0 2 7 0 0 v2 0 2 0 5 0 3 6 7 5 0 2 0 4 0 0 2 0 3 3 0 3 0 3 0
1 1 2 k 1 k 1 k
且
e i [ v i ,v i ]
t t t 1
(t=1，2，…，k-1)
vi 和 vi
1 k
称这个点边序列为连接
的一条链。
点边列中没有重复的点 和重复的边者为初等链
三、图的矩阵表示 图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵等。 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 ( v 有权 w ，构造矩阵 A ( a ) ，其中：
定义7 图G=（V,E），若E´是E的子集， V´是V的子集，且E´中的边仅与V´中的顶点相关 联，称G´ =（V´,E´）是G的一个子图，若V´=V, G´ 称为G的生成子图（支撑子图）
v2
e1 v1 e6 v6 e7 e5 (a) v7 e8 e2 e9 e10 e11 v5 e4 v3 e3 v1 e6 e7 v7 v5 v2 e1 e8 v2 v3
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得到第一次就座方案是（1，2，3，4，5， 6，7，1），继续寻求第二次就座方案时就不 允许这些顶点之间继续相邻，因此需要从图中 删去这些边。
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第八章 图与网络分析
图论的起源：
哥尼斯堡七桥问题:哥尼斯堡城中有一条河叫 普雷格尔河，该河中有两个岛，河上有七座桥， 一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一 次，最后回到出发点。
图论的起源： 欧拉在1736年发表了图论方面的第一篇论文， 解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。 欧拉将此问题归结为图1 (b)所示图形的一笔画 问题。即能否从某一点开始，不重复地一笔画 出这个图形，最后回到出发点。欧拉证明了这 是不可能的。
有向图的例子
V v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v5 , v6 , v7 , A
a1 , a2 , a3 , a4
, a5 , a1 1 ,
a 1 = v 1 ,v 2 ,a 2 = v 1 ,v 3 ,a 3 = v 3 ,v 2 ,a 4 = v 3 ,v 4 ,a 5 = v 2 ,v 4 ,
§2 树
树：连通且不含圈的无向图，用T=(V,E),树中次为1
的点称树叶，次大于1的称分支点
2. 图的生成树(支撑树)：
若图G＝(V，E)的生成子图是一颗树，则称该
树为G的生成树(支撑树)，简称图G的树。
点不少，边少
图G有支撑树图←→G必是连通的
按照边的选法不同，找图生成树的方法有深探法和广探法
§3 最短路问题
最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以 直接应用于解决生产实际中的许多问题，如管道铺设、
线路安排、厂区布局、设备更新等，而且还经常作为
一个基本工具，用于解决其他优化问题。在一个赋权 有向图中寻求最短路的方法，实际上求从给定一个点 vs到任一个点vj的最短路。
一、Dijkstrsa 算法
7
2 v3 5
v6 3 4 2 v5
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v3 v4
v5 v6
§2 树
已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要求任何 两个城市都可以互相通话(允许通过其他城市)，并且电话线 的根数最少。 用五个点v1，v2，v3，v4，v5代表五个城市，如果在某 两个城市之间架设电话线，则在相应的两个点之间连一条边， 这样一个电话线网就可以用一个图来表示。为了使任何两个 城市都可以通话，这样的图必须是连通的。其次，若图中有 圈的话，从圈上任意去掉一条边，余下的图仍是连通的，这 样可以省去一根电话线。因而，满足要求的电话线网所对应 的图必定是不含圈的连通图。
有7个人围桌而坐，如果要求每次相邻的人 都与以前完全不同，试问不同的就座方案共有多 少种？
用顶点表示人，用边表示两者相邻，因为最 初任何两个人都允许相邻，所以任何两点都可以 有边相连。
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e6 v6 (c) e7 v7
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e5 (b)
子图
支撑子图
4. 网络
点或边带有某种数量指标的图称为网络（赋 权图），与点或边有关的某些数量指标称为权， 权可以代表距离、费用和通过能力等。网络分为 无向网络和有向网络。
二、连通图
定义8 无向图G=(V,E)，若图G中某些点与边 的交替序列可以排成 ( v i ,e i ,v i , ,v i ,e i ,v i )
定义1： 一个图是由点集V={vi}和V中元素的无序
对的一个集合E={ek}所构成的二元组，记为G=
（V,E），V中的元素vi叫做顶点，E中的元素ek叫
做边。
当V,E为有限集合时，G称为有限图，否则， 称为无限图。两点之间不带箭头的连线称为边，带 箭头的连线称为弧（或有向边）。如果一个图G由 点及边所构成，则称之为无向图(简称为图)，如果
定义：连通图G=(V,E)，每条边上有非负权L(e)。 一棵生成树所有树枝上权的总和为这个生成树的 权。具有最小权的生成树，称为最小生成树。 求赋权图G的最小支撑树的方法也有两种， “避圈法”和“破圈法” 。 算法1:避圈法（Kruskal） 每步从未选的边中选取边e，使它与已选边不 构成圈，且e是未选边中的最小权边，直到选购n1条边为止。
一 图与网络的基本概念 1. 图及其分类
图：由点及点与点的连线构成，反映了实际生活
中某些对象之间的某些特定关系 点：代表研究的对象； 连线：表示两个对象之间特定的关系。 图：是反映对象之间关系的一种抽象 一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点 之间连线的长短曲直，对反映对象之间的关系 并不重要。
一个图D由点及弧所构成，则称为有向图，记为
D=(V，A)，
无向图的例子
V = v 1 , v 2 , v 3 , v4
E e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e5 , e6 , e7
其中
e 1 = v 1 , v 2 , e 2 = v1 , v 2 , e3 = v 2 , v3 , e4 = v3 , v4 , e 5 = v 1 , v 4 , , e6 = v1 , v3 , e7 v4 , v4
一、Dijkstrsa 算法
(1) 给vs以P标号，P(vs)=0,其余各点均给T标号，T (vi)=+∞
(2) 若vi点为刚得到P标号的点，考虑这样的点vj ；（）属于E，
且为T标号，对vj的T标号进行如下的更改 T (vj)=min[T (vj), P(vi) +lij] (3)比较所有具有T标号的点，把最小者改为P标号，即 P(vi)=min[T (vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全 部点均为P标号则停止，否则用 vi 代vi转回(2)。
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4
图论：运筹学的重要分支 主要应用领域：物理学、化学、控制论、信息论、 科学管理、计算机等 图论理论和方法应用实例 在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序 之间怎样衔接，才能使生产任务完成得既快又 好。 一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街 道，完成任务后回到邮局，应该按照怎样的路 线走，所走的路程最短。 各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分 布等问题，应用图论的方法求解都很简便。
2. 顶点的次
定理1 定理2 任何图中，顶点次数的总和等于边数的两倍。 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点 vi 的出次，用 表示 d
( v i )；以
vi 为终点的边数称为点vi 的入次，用 d
(v i )
表
示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。
3. 子图
4 2
v5 v4
v3 v4
v5 v6
设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个 矩阵
A ( a i j ) nn
，其中：
ai j 1 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1 3 6 3 4 v2
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 0 0 v2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
T=1+2+1+1+1+2+2+3=13
算法2:破圈法
（1）从图G中任选一棵树T1， （2）加上一条弦e1，T1+e1中立即生成一个圈。去掉此 圈中最大权边，得到新树T2，以T2代T1，重复（2）再 检查剩余的弦，直到全部弦检查完毕为止。
四、根树及其应用
定义 若一个有向图在不考虑边的方向时是一