数列通项公式和前n项和求解方法(全)

关键是找出各项与项数n 的关系.）

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2)

,1716

4,1093

,542,21

1（3） ,52,21,32

,1（4） ,5

4

,43,32

,21-- 答案：（1）110-=n

n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1

)1(1+⋅

-=+n n

a n n .

公式法1：特殊数列

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2

，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1

例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n

(C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D)

例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n

n n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项

公式，只需求首项及公差公比.

公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1

,11n S S n s a n n

n .

例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）12

-=n s n

答案：（1）n a =3232+-n n ，（2）⎩

⎨

⎧≥-==)2(12)1(0

n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.

【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】

简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得

例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)

(52N n n a n ∈+=

例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n

n n a a 21+=+，求通项n a . 答案：n a =12+n

例7.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：n

a n 1

2-=

【 形如1+n a =f (n)·n a 型】

（1）当f(n)为常数，即：

q a a n

n =+1（其中q 是不为0的常数）

，此时数列为等比数列，n a =1

1-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.

例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}n a 中，3

1

1=

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a . . 答案：.)

12(12(1

-+=

n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.

分析：原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，累积得解.

构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0

时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.

方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得

)0(,1≠-=

c c

d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

-+1c d a n 构成以11

-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列.

例10：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a . 答案：12-=n

n a

构造2：相邻项的差为特殊数列

例11：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a .提示：变为)(3

1

112n n n n a a a a --=-+++. 构造3：倒数为特殊数列【形如s

ra pa a n n n +=

--11

】

例12： 已知数列｛n a ｝中11=a 且1

1+=+n n n a a a （N n ∈），

，求数列的通项公式. 答案 n b a n n 1

1==

例13：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n

解析：设1

)1(-+-+=n n bq

d n a c 建立方程组，解得. 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或

前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2

（b 、ｃ为常数）， 若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A

Aq s n

n .

例14：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.

解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ① 2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②

由①、②得⎩⎨⎧≥==2

,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式

（3）已知数列}{n a 中，,2

1

21,211+=

=+n n a a a 求通项n a . 八、【讨论法-了解】（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期

为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.

（2）形如)(1n f a a n n =⋅+型①若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一

个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例15： 数列{n a }满足01=a ,21=++n n a a ,求数列{a n }的通项公式.

专题二：数列求和方法详解（六种方法）