平面的表示法
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一、投影的垂直面 垂直于一个投影面， 垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的平面 称为投影面垂直面 投影面垂直面； 称为投影面垂直面； 1 铅垂面 2 正垂面 3 侧垂面
二、投影的平行面 平行于一个投影面的平面，称为投影面平行面 投影面平行面。 平行于一个投影面的平面，称为投影面平行面。 1 水平面 2 正平面 3 侧平面 三、一般位置平面 倾斜于三个投影面的平面称为一般位置平面 一般位置平面。 倾斜于三个投影面的平面称为一般位置平面。
§2-4-3 属于平面的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线 四、属于平面的最大斜度线
一、属于一般位置平面的点和直线
1 平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通 过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2 平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助 线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问 题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点 和直线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3
PH
f a b e
2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面
V a′ A b′ B P SV V a′ A b′ B S
a b H PH
a H
b
过一般位置直线AB 作H面的垂直面PH
过一般位置直线AB作V 面的垂直面SH
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法) e′ f′ m′ f n f e e′ (n′) f’
2.4 平面
基本要求
§2-4-1 平面的表示法 §2-4-2 各种位置平面的投影特性 §2-4-3 属于平面的点和直线
基本要求
1 掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹 线表示法。 2 熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法， 能由已知平面的两个投影求作其第三投影。 3 掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。 4 掌握平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的 投影特性和作图方法。
本节结束
黄石理工学院土 木建筑工程系
A P H AB 平行于W， MN垂直于AB
例题6 例题6
求作∆ ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。 求作∆
b′ d′ a′ e′ e a d c
c′
b
例题7 例题7
求∆ ABC平面与水平投影面的夹角α 。
b′
BE
d′ a′ e′
be
c′ α
e a d
c
b
例题8 例题8
求∆ ABC平面与正面投影面的夹角β 。
P D
A C
S
ϕ E1 α
E
α
a H
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
V F A B P H AB平行于 H， EF垂直于 AB W
E
（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
Biblioteka Baidu
V D B W A C H AB平行于V， CD垂直于 AB P
（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
V B N M W
属于平面的水平线和正平线
V PV
P
PH H
例题4 例题4
已知∆ ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平 给定一平面，
线，过点A作属于该平面 的水平线。
b′ m′ a′ n′ c′ b n m c
a
例题5 例题5
已知点E 在∆ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面 平面上， 15，
10，试求点E的投影。 10，
b′ d′ c′ a′ c d b e e′
a
二、属于特殊位置平面的点和直线
1 取属于垂直面的点和直线 2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3 过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面
1 取属于垂直面的点和直线
b′ a′ e′ f′ R V
3 、 侧平面
V c′ B b′ a′ A a b C Hc a″ c″ b″ W b′ a′ c′ a b c 投影特性： 1、 abc 、 a′b′c′ 积聚为一条线，具有积聚性 2 、 侧平面投影a″b″c″ 反映∆ ABC实形 a″ c″ b″
投影面平行面的投影特性
在所平行的投影面上的 投影反映实形，另外两投影积 投影反映实形， 聚为直线且平行于相应投影轴。 聚为直线且平行于相应投影轴 。
例４－２：找出图中所标 各面的第三投影， 各面的第三投影，并判断它们 的空间位置。 的空间位置。
1"
new
2"
3" 水平面
实形 2 侧平面
Ⅱ
Ⅲ
铅垂平面
三、一般位置平面
b′ a′ B b″ a′ c′ A b a C c a a″ c″ b c c″ b′ b″ a″
投影特性 1 、 abc 、 a′b′c′ 、 a″b″c″ 均为∆ ABC的类似形 2 、 不反映α、β、γ 的真实角度
（a ） 给题
e′ f′
f
e
（ b） 作正平面
PH f e
（c） 作正垂面
f e
（d） 作一般位置平面
f
三、属于平面的投影面平行线
平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所 属平面保持从属关系。 属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 （2）平面上对正面投影面的最大斜度线 （3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题6 例题7 例题8 例题9 例题10
属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度 线；最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对 投影面的角度
侧垂面的迹线表示法
Z S SH W X
O
V
β
SH α
Y
H
Y
投影面垂直面的投影特性
在所垂直的投影面上投 影积聚为一直线， 影积聚为一直线 ， 倾斜与投 影轴。 影轴。 另外两投影为平面图形 的类似形。 的类似形。
1、水平面
V a′ A b′ c ′ B a′ b″ a″ W b a H c c b′ c′ b″ a″ c″
e (m)
(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法) 迹线表示法)
SV b′ a′ b PH a QW b″ a″
(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)
m′（n′）
m′（n′）
PV
m′ （n′） SV QV
m′ （n′ ） RV
n
n
n
n
m
m
m
m
(2) 过正平线作平面
e′ f′ e′ f′ SH e′ f′ g′ g e
§2-4-1 平面的表示法
一、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式： 用几何元素表示平面有五种形式 ： 不在一直线 上的三个点； 一直线和直线外一点； 上的三个点 ； 一直线和直线外一点 ； 相交二直 平行二直线；任意平面图形。 线；平行二直线；任意平面图形。 二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位 置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条 边线来表示。 边线来表示。
b′ r′ e′ n′
15
m′ a′
X 10
s′ c′ b r e m n s c
a
四、属于平面的最大斜度线
1 2 3 平面上的投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直 线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。 平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相 互垂直。 平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投 影面及侧面投影面三组最大斜度线。
1
取属于平面的直线
b′
B E D C A F
e′ c′
f′
d′ a′
a d b e
c f
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过 属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
2
取属于平面的点
b′ d′
e′ c′
B E D C
a′ c d
a e b
A
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
b′ d′ a′ e′ e d
BE b′e′
c′
a
cβ
b
例题9
e′
过正平线作平面与水平投影面成 60°。
e′ a′ f′ AB b′ b 60° f′
e
f
ab e b a f
（a ）
给题
例题10 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。 e′ f′ e′ f′ a′
f e
f
给题
e
a
例题1 已知∆ ABC给定一平面，试判断点D是否属于 例题1 已知∆ 给定一平面， 该平面。 该平面。 b′
e′ a′ c a e b d d′
c′
例题2 例题2
已知点D在∆ ABC上，试求点D的水平投影 。
b′ e′ a′ c d e b d′ c′
a
例题3 例题3
已知点E在∆ ABC上，试求点E的正面投影 。
C b a
c″
投影特性： 1、 a′b′c′、 a″b″c″积聚为一条线积聚为一条线，具 有积聚性 2 、 水平投影abc反映∆ ABC实形
2 、正平面
V b′ a′ B A C b′ b″ W a″ c″ b a c b a c′ a′ b″ a″ c″
c′
c
H
投影特性： 1、abc 、 a″b″c″ 积聚为一条线，具有积聚性 2 、正平面投影a′b′c′反映∆ ABC实形
γ
2、 正垂面
V QV a′ c′ Q C a H b 投影特性：1、 a′b′c′ 积聚为一条线 2 、 abc、a″b″c″∆ ABC的类似形 3 、 a′b′c′与OX、 OZ的夹角反映α、γ 角的真 实大小 A B W a′ α b′ c′ b′ c″ a″ c b″
γ
正垂面的迹线表示法
一、用几何元素表示平面
b′ a′ a c b b a′ c′ a′ a b′ c′ c d′ b′ b d b c′ c a′ a c b b′ c′ a′ a b′ c′ c
a
二、平面的迹线表示法
V PV PV P
H V
PH QV
PH QV
Q QH QH
H
§2-4-2 各种位置平面的投影特性
V QV QV W Q α γ
H
3 、侧垂面
V S B SW b″ W c″ a″ H b c a′ b′ c′ b″ β c″ α a″
C A
a 投影特性：1、 a″b″c″积聚为一条线 2 、 abc、 a′b′c′为∆ ABC的类似形 3 、 a″b″c″与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
1、 铅垂面
V P B A a b H C PH c a W a′ b′ c′ a″ b″ c″
β
c
γ
b 投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 a′b′c′、 a″b″c″为∆ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OY的夹角反映β、γ角的真实大小
铅垂面迹线表示法
V P W
β
PH H PH
二、投影的平行面 平行于一个投影面的平面，称为投影面平行面 投影面平行面。 平行于一个投影面的平面，称为投影面平行面。 1 水平面 2 正平面 3 侧平面 三、一般位置平面 倾斜于三个投影面的平面称为一般位置平面 一般位置平面。 倾斜于三个投影面的平面称为一般位置平面。
§2-4-3 属于平面的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线 四、属于平面的最大斜度线
一、属于一般位置平面的点和直线
1 平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通 过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2 平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助 线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问 题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点 和直线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3
PH
f a b e
2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面
V a′ A b′ B P SV V a′ A b′ B S
a b H PH
a H
b
过一般位置直线AB 作H面的垂直面PH
过一般位置直线AB作V 面的垂直面SH
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法) e′ f′ m′ f n f e e′ (n′) f’
2.4 平面
基本要求
§2-4-1 平面的表示法 §2-4-2 各种位置平面的投影特性 §2-4-3 属于平面的点和直线
基本要求
1 掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹 线表示法。 2 熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法， 能由已知平面的两个投影求作其第三投影。 3 掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。 4 掌握平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的 投影特性和作图方法。
本节结束
黄石理工学院土 木建筑工程系
A P H AB 平行于W， MN垂直于AB
例题6 例题6
求作∆ ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。 求作∆
b′ d′ a′ e′ e a d c
c′
b
例题7 例题7
求∆ ABC平面与水平投影面的夹角α 。
b′
BE
d′ a′ e′
be
c′ α
e a d
c
b
例题8 例题8
求∆ ABC平面与正面投影面的夹角β 。
P D
A C
S
ϕ E1 α
E
α
a H
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
V F A B P H AB平行于 H， EF垂直于 AB W
E
（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
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V D B W A C H AB平行于V， CD垂直于 AB P
（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
V B N M W
属于平面的水平线和正平线
V PV
P
PH H
例题4 例题4
已知∆ ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平 给定一平面，
线，过点A作属于该平面 的水平线。
b′ m′ a′ n′ c′ b n m c
a
例题5 例题5
已知点E 在∆ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面 平面上， 15，
10，试求点E的投影。 10，
b′ d′ c′ a′ c d b e e′
a
二、属于特殊位置平面的点和直线
1 取属于垂直面的点和直线 2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3 过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面
1 取属于垂直面的点和直线
b′ a′ e′ f′ R V
3 、 侧平面
V c′ B b′ a′ A a b C Hc a″ c″ b″ W b′ a′ c′ a b c 投影特性： 1、 abc 、 a′b′c′ 积聚为一条线，具有积聚性 2 、 侧平面投影a″b″c″ 反映∆ ABC实形 a″ c″ b″
投影面平行面的投影特性
在所平行的投影面上的 投影反映实形，另外两投影积 投影反映实形， 聚为直线且平行于相应投影轴。 聚为直线且平行于相应投影轴 。
例４－２：找出图中所标 各面的第三投影， 各面的第三投影，并判断它们 的空间位置。 的空间位置。
1"
new
2"
3" 水平面
实形 2 侧平面
Ⅱ
Ⅲ
铅垂平面
三、一般位置平面
b′ a′ B b″ a′ c′ A b a C c a a″ c″ b c c″ b′ b″ a″
投影特性 1 、 abc 、 a′b′c′ 、 a″b″c″ 均为∆ ABC的类似形 2 、 不反映α、β、γ 的真实角度
（a ） 给题
e′ f′
f
e
（ b） 作正平面
PH f e
（c） 作正垂面
f e
（d） 作一般位置平面
f
三、属于平面的投影面平行线
平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所 属平面保持从属关系。 属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 （2）平面上对正面投影面的最大斜度线 （3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题6 例题7 例题8 例题9 例题10
属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度 线；最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对 投影面的角度
侧垂面的迹线表示法
Z S SH W X
O
V
β
SH α
Y
H
Y
投影面垂直面的投影特性
在所垂直的投影面上投 影积聚为一直线， 影积聚为一直线 ， 倾斜与投 影轴。 影轴。 另外两投影为平面图形 的类似形。 的类似形。
1、水平面
V a′ A b′ c ′ B a′ b″ a″ W b a H c c b′ c′ b″ a″ c″
e (m)
(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法) 迹线表示法)
SV b′ a′ b PH a QW b″ a″
(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)
m′（n′）
m′（n′）
PV
m′ （n′） SV QV
m′ （n′ ） RV
n
n
n
n
m
m
m
m
(2) 过正平线作平面
e′ f′ e′ f′ SH e′ f′ g′ g e
§2-4-1 平面的表示法
一、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式： 用几何元素表示平面有五种形式 ： 不在一直线 上的三个点； 一直线和直线外一点； 上的三个点 ； 一直线和直线外一点 ； 相交二直 平行二直线；任意平面图形。 线；平行二直线；任意平面图形。 二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位 置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条 边线来表示。 边线来表示。
b′ r′ e′ n′
15
m′ a′
X 10
s′ c′ b r e m n s c
a
四、属于平面的最大斜度线
1 2 3 平面上的投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直 线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。 平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相 互垂直。 平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投 影面及侧面投影面三组最大斜度线。
1
取属于平面的直线
b′
B E D C A F
e′ c′
f′
d′ a′
a d b e
c f
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过 属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
2
取属于平面的点
b′ d′
e′ c′
B E D C
a′ c d
a e b
A
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
b′ d′ a′ e′ e d
BE b′e′
c′
a
cβ
b
例题9
e′
过正平线作平面与水平投影面成 60°。
e′ a′ f′ AB b′ b 60° f′
e
f
ab e b a f
（a ）
给题
例题10 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。 e′ f′ e′ f′ a′
f e
f
给题
e
a
例题1 已知∆ ABC给定一平面，试判断点D是否属于 例题1 已知∆ 给定一平面， 该平面。 该平面。 b′
e′ a′ c a e b d d′
c′
例题2 例题2
已知点D在∆ ABC上，试求点D的水平投影 。
b′ e′ a′ c d e b d′ c′
a
例题3 例题3
已知点E在∆ ABC上，试求点E的正面投影 。
C b a
c″
投影特性： 1、 a′b′c′、 a″b″c″积聚为一条线积聚为一条线，具 有积聚性 2 、 水平投影abc反映∆ ABC实形
2 、正平面
V b′ a′ B A C b′ b″ W a″ c″ b a c b a c′ a′ b″ a″ c″
c′
c
H
投影特性： 1、abc 、 a″b″c″ 积聚为一条线，具有积聚性 2 、正平面投影a′b′c′反映∆ ABC实形
γ
2、 正垂面
V QV a′ c′ Q C a H b 投影特性：1、 a′b′c′ 积聚为一条线 2 、 abc、a″b″c″∆ ABC的类似形 3 、 a′b′c′与OX、 OZ的夹角反映α、γ 角的真 实大小 A B W a′ α b′ c′ b′ c″ a″ c b″
γ
正垂面的迹线表示法
一、用几何元素表示平面
b′ a′ a c b b a′ c′ a′ a b′ c′ c d′ b′ b d b c′ c a′ a c b b′ c′ a′ a b′ c′ c
a
二、平面的迹线表示法
V PV PV P
H V
PH QV
PH QV
Q QH QH
H
§2-4-2 各种位置平面的投影特性
V QV QV W Q α γ
H
3 、侧垂面
V S B SW b″ W c″ a″ H b c a′ b′ c′ b″ β c″ α a″
C A
a 投影特性：1、 a″b″c″积聚为一条线 2 、 abc、 a′b′c′为∆ ABC的类似形 3 、 a″b″c″与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
1、 铅垂面
V P B A a b H C PH c a W a′ b′ c′ a″ b″ c″
β
c
γ
b 投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 a′b′c′、 a″b″c″为∆ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OY的夹角反映β、γ角的真实大小
铅垂面迹线表示法
V P W
β
PH H PH