全国中学生物理竞赛课件6：曲线运动速度、加速度、位移

v0 vt A v
A
h cos
h cos t

2 v0 cos sin sin lim 0 h tan sin sin 2 2 3 2 2 v0 h cos v0 h sin 2 v0 2 cot 3 3 h s h sin sin s
v1 t tan L
由加速度定义，猎犬 加速度
v L 2
A
D
B
v v 2 a lim lim t 0 t t 0 t
v2
v

v2
v1v2 a L
赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1 s内 速度由10.0m／s加大到10.5 m／s，那么该赛车在半径为30 m的环形公路段行驶中， 要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度 就不可能增大到超过10 m/s？（公路的路面是水平的）
点的瞬时加速度，通常将其分解为 法向加速度an与切向加速度at． A
B

vn
♠
曲线运动的加速度
vB
v
vt
A点曲率圆半径 A点曲率圆
vn
O
v A AB aAn lim vt AB t t0 at lim t t 0 t 2 v A AB v lim an t 0 t
v A v n
a
在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳 的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？
专题7-例1
船及与船相系的绳端A的实际运动 v0 是水平向左的，这可看作是绳之A vn 端一方面沿绳方向向“前方”滑 h A 轮处“收短”，同时以滑轮为圆 v 心转动而成，即将实际速度v分解 s vt 成沿绳方向“收短”的分速度vn和 垂直于绳方向的转动分速度vt; 注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速 v n v0 率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn: 由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：
vt
h tan v0 cos
2
如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率 均匀增大的运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s 所对的圆心角为β，试确定α与β间的关系．
专题7-例2
质点沿圆周做速度大小、方向均变化 的运动．每个瞬时的加速度均可分解为 切向加速度at与法向加速度an，前者反映 质点速率变化快慢，后者反映质点速度 2 方向变化快慢． 2 s vA , an 由题给条件 at 2 R 而
将M点加速度沿切向与法向进行分解!
M

A
v at
法向加速度
v an a sin R 2 v a R sin
l 而 sin = 2R
2
l
O
a an
2v a l
2
如图所示，曲柄OA长40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O 轴反时针方向转动．由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直 方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C的加速度．
a Ay
a Ax
u r u t t u lim lim t 0 t t 0 t
v y
r
读题 2
r ut ut r v x lim lim t 0 t t 0 t
O
s
β

A a
at vA
an
2 vA
at t , s R
2
t
则an
又
at2 t 2
an tan at
an at t 2 2st 2 at R t R R
2
2
tan 2
如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为v， 作加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大小．
A
aA aB
专题7-例5
用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径. y 平抛规 设质点以速度v0做平抛运动 2
律
x v0 t 在 1 2 中消去t得 y gt 2
v 对轨迹上的P点: g cos O 2 2 2 式中 v v0 2 gh v0 2 gh
பைடு நூலகம்
牵连加速度
2u
1
aA
r
2
4u
2
方向与x成 tan
y
r
2u
相对中介参考系的加速度 a相对 牵连加速度
a牵连 r
2

A
a科 2 u
由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而 产生的，方向指向u沿ω方向转过90°的方向
2u
aA
2r
O
x 试手 返回
如图所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面内 以等角速度ω绕顶点O转动，某一点M以等相对速度沿AB边运动，当 三角形转了一周时，M点走过了AB，如已知AB＝b，试求M点在A时 的速度与加速度．
引入中介参照系-三角形OAB b 质点对轴O的速度（相对速度） v MA 2 三角形A点对轴的速度（牵连速度） A 2b v
直线加速时车的加速度 :
v0 a0 当轨道半径令法向加速度大小等于a0: Rm
900 t
无切向加速度，赛车速率不会增加
v an 2 2 R an at2 a0 v t v0 切向加速度 at 4 t 10.5 0.25 代入数据 2 25 t 0.15 2
在环形公路上，法向加速度
y
v x u sin t r ut cos t r
注意到Δt→0时
在Δt时间内，质点沿x方向速度增量为


B u A
t
B
r u t
cos t 1 sin t t 2 t 0
ωr
O
续解 x
杆上A点加速度
aA l
2
B ω aA O θ θ A aC aAy
C
a Ay
1 2 a A sin l 2
杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度 !
此即滑杆C的加速度 aC a Ay
代入数据得滑杆C的加速度
aB 0.05 m/s
2
有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一猎 犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F 处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD＝L，如图．试求此时猎犬的加速 度的大小． Fv t 1 v 1 B 设Δt时间内，v2方向变化Δθ, Δθ→0时:A
求船的速度 依据实际运动效果分解船的运动：
h vt v0 cot v0 s v0 则v sin
h s v0 s
2 2
续解
在一小段时间Δt内,船头位置 从A移A′，绳绕滑轮转过一小 角度Δθ→0: v0 v sin 1 1 v v0 sin sin
用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径, 已知长半轴与短半轴为a和b.
专题7-例4
b cos 对椭圆长轴端的A点: a
1
设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平 面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角 v M
2
aA
v2
A v
Bv v2 b A 对A点投影A1点: a A1 A1 aA1 aB a M1 b B1 b 2 2 又 a A1 a A cos a A v cos v a 2 aB 椭圆短轴端B点的曲率半径由 B b a B b
cos v0
g y2 2 p x 2
s 2
2
2 v0
y 2 px
h
p
P
p 2
O
x
s

2 v0
2 gh
2 vp 1 0 1 g g
g
33 2 gh 2x 2 2 2 v0 p
v0
2 v0
P

2 2 v0 v0 , g 2g
专题7-例3
本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成 质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起 转动两者之合运动． uA 设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置A 经Δt时间，质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt 的 O ′ 位置B ，盘转过了角度ωΔt，故质点实际应在位置B 在Δt时间内，质点沿y方向速度增量为 v u cos t r ut sin t u y
由加速度定义得： 由几何关系得：
求船的加速度
读题

v0
v t v

1 1 v0 sin sin 则a lim h 0 tan v0 cos
2 v0 cos lim 0 h tan
v a lim t 0 t
n
vi2
vi vi 1 R lim n i 1 vi 1vi
n
1 1 R v0 v
若速率从v0减小, 有
Rv0 v R v0T
Rv0 v R v0T
如图所示，圆盘半径为R，以角速度ω绕盘心O转动，一质 点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度．
2 gh

v0



2 v0
2 gh gv0
一、曲线运动的发生条件
合外力方向与速度方向不在一直线
切向力改变速度大小
法向力改变速度方向
二、曲线运动的特点
速度方向一定变化
Ft
v
F
Fn
三、求解曲线运动问题的运动学基本方法
矢量的合成与分解 微元法
v 质点的瞬时加速度定义为 a lim t 0 t 为求一般的做曲线运动质点在任一
vt vn at lim an lim t 0 t t 0 t
t i 0 n i 1
vi vi 1 v lim ti 0 ti Rv v
2 i
n i
i 1
1 1 R 1 1 1 1 1 1 R lim v0 v1 v1 v2 vn 1 v n vi i 1 vi 1


2b 2 2 2 1
方向与AO夹角 tan
1
1 2 1
♠
曲线运动轨迹的曲率

曲线的弯曲程度用曲率描述
曲线上某点的曲率定义为
K lim t 0 s
圆周上各点曲率相同:
s
1 K R R
R


曲线上各点对应的半径为该点 曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该 圆圆心称曲线该点的曲率中心!
1
2 2 1
续解
求质点的加速度
规律
a M a MA a A a科
相对中介参考系的加速度 a MA 0
牵连加速度
a科 aM
ω
AM
a A 2 2b b a科 2 2
2

aA
O B
aM

2
2b

2
b b 2 2 2 2b 2 2 cos 45 2
质点对轴O的速度（绝对速度）vM 三速度关系为
2 2
求质点的速度
AM
? v M v A v MA

vA
vMA
O ω
45
vM
b b 2 2 2b 2 2b cos 45 2 2 4
B
vM
b 8 2 4 1 2
方向与AB夹角 tan
v t v0 2 a0 5m/s t0
2 t
Rm 20 m
质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为 v0．在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经 时间T质点的速度v． 设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间Δt，由题意有
本题用微元法
则 T lim t i R lim