【2020年整理】5.5充分统计量

第五章 统计量及其分布
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进一步，我们指出这个统计量与 (x, s2 )
是一一对应的，这说明在正态总体场合
常用的 ( x , s2 ) 是充分统计量。
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第五章 统计量及其分布
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补充结论：
设 T=T(x1,… xn) 为θ的充分统计量， f (t)是单值 可逆函数，则 f (T ) 也是从分统计量。
第五章 统计量及其分布
第5页
定义5.5.1 设 x1, x2, …, xn 是来自某个总体
的样本，总体分布函数为F ( x ; )，统计 量 T = T(x1, x2, …, xn) 称为 的充分统计
量，如果在给定T 的取值后，x1, x2,…, xn
的条件分布与 无关.
说明：参数θ和充分统计量 T = T(x1, x2, …, xn)并不 一定是一维的。
本并且不损失任何有关 的信息时，也就
是期望抽样分布 FT(t) 像 F(x) 一样概括了
有关 的一切信息，这即是说在统计量
T 的取值为 t 的情况下样本 x 的条件分布
F(x|T=t) 已不含 的信息，这正是统计量
具有充分性的含义。
充分性统计量是Fisher于1922年提出的概念。
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这一点我们在后面的例5.5.5中就能看到。
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例5.5.2 （P279）
设总体X服从0-1分布 b(1,θ)， x1, x2, …, xn 是来自
该总体的容量为n的样本，则统计量样本均值 T x
为充分统计量。
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第五章 统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
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第五章 统计量及其分布
§5.1 总体与样本 §5.2 样本数据的整理与显示 §5.3 统计量及其分布 §5.4 三大抽样分布 §5.5 充分统计量
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§5.5 充分统计量
5.5.1 充分性的概念
例5.5.1 为研究某个运动员的打靶命中率，我们 对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的 观测结果包含了两种信息：
但该充分统计量对我们没有 任何帮助，他没 有对样本作任何加工，没有对数据的处理作任何 的简化。
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第五章 统计量及其分布
什么样的充分统计量才是最有价值的呢？
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显然，充分统计量的维数越小就越有价值，因为我们 用尽可能少的量概括了样本中提供的信息。
在大多数情形下，我们都能看到： 维数与未知参数 维数相等的充分统计量是存在的，即我们经常都能 对T = (x1, x2, …, xn) 作降维处理。但在某些场合，降 维的充分统计量并不存在。如著名的威布尔分布
例5.5.5 设x1, x2, …, xn 是取自总体N(, 2)的样
本， =(, 2)是未知的，则联合密度函数为
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p(x1,
,
xn
;
)
(2
2
)
n
/
2
exp
1
2
2
n
( xi
i 1
)2
(2
)2 n / 2
exp
n 2 2 2
exp
p(x1;)…p(xn;)= 0,
其它
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由于诸xi0，所以我们可将上式改写为
p(x1;)…p(xn;) = (1/)nIx(n) 取T =x(n)，并令 g(t ; )= (1/)nIt, h(x)=1， 由因子分解定理知T =x(n) 是 的充分统计量。
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定理5.5.1 设总体概率函数为 p(x ; )， x1, …, xn
为样本，则 T=T(x1,… xn) 为充分统计量的充分
必要条件是：存在两个函数g(t; )和h(x1, …, xn)， 使得对任意的 和任一组观测值 x1, x2,…, xn，有
p(x1, x2,…, xn; ) =g(T(x1,x2,…,xn); )h(x1,x2,…,xn)
由因子分解定理，该结论是显然的。
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思考：
对于某总体F ( x ; )，设 x1, x2, …, xn 是来自该总体
的样本。令T = T(x1, x2, …, xn) = (x1, x2, …, xn) ，那么 T是否是充分统计量？
可以看到，由容量为n的样本自己所构成的随机 向量总是充分统计量。
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1
2
2
n i 1
xi2
2
n i2
xi
取 t1= xi , t2= xi2, 并令
g(t1, t2, ) = (22)−n/2exp−n 2/(22) exp(t22 t1)/(22) ,
其中 h(x)=1， 由因子分解定理，T=(xi , xi2) 是充分统计量。
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(1) 打靶10次命中8次； (2) 2次不命中分别出现在第3次和第6次
打靶上。
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第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮 助的。一般地，设我们对该运动员进行n 次观测， 得到 x1, x2,…, xn，每个xj 取值非0即1，命中为1，不 命中为0。令 T = x1+…+xn ，T为观测到的命中次数。
(5.5.1)
其中g(t, )是通过统计量 T 的取值而依赖于样本的。
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例5.5.4 设x1, x2, …, xn是取自总体U(0, )的样本，
即总体的密度函数为
1/ , 0 x
p(x ; )=
0,
其他
于是样本的联合密度函数为
(1/)n, 0minximaxxi
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5.5.2 因子分解定理
充分性原则： 在统计学中有一个 基本原则-在充分统计量存在的场合，任何统计推断都 可以基于充分统计量进行，这可以简化统计 推断的程序。
充分性原则和另外一个完备性原则在我们寻求对 总体中的未知参数作统计推断时扮演者重要角色。
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第五章 统计量及其分布
在这种场合仅仅记录使用T 不会丢失任何与命中率
有关的信息，统计上将这种“样本加工不损失信息” 称为“充分性”。
样本 x=(x1,x2,…,xn) 有一个样本分布F (x)，
这个分布包含了样本中一切有关的信息。
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统计量T =T (x1,x2,…,xn) 也有一个抽样分布 FT(t) ，当我们期望用统计量T 代替原始样
当 n 3 时，不存在任何低于n维的充分统计量。
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第五章 统计量及其分布
注意理解充分统计量的概念和作用， 并掌握因子分解定理
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充分统计量总是针对我们所关 心的总体的具体参数而言的
充分统计量并不是唯一的
作业：习题5.5
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