弹弓

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题目是： B

所属学校（请填写完整的全名）

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2013 年 8 月 31 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

评阅编号（由训练部教务处评阅前进行编号）：

评阅记录（评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

如何制作高性能弹弓问题

摘要

本文研究钢球在不同型号以及不同形式弹弓下的弹射的初速度问题。解释了在忽略钢球质量的情况下，钢球初速维持在同一水平和在当前的市场测试中钢球初速始终在55-75m/s之间的原因。接着，本文分析了鸡尾酒弹弓弹射的钢球初速高于普通弹弓的原因并且确定了鸡尾酒弹弓的最佳组合。

问题一，我们根据当前有的7组市场测试数据，从能量守恒的角度建立力学模型并在其中引入能量利用率的概念，采用非线性拟合的方法求出能量利用率中的参数。利用力学模型求出在9mm和6mm钢球下，不同型号弹弓弹射钢球的初速度即9mm钢球的初速度在51-63m/s之间，6mm钢球初速度在65-75m/s之间，所以市场测试中钢球初速始终在55-75m/s左右。在忽略钢球质量的情况下，根据能量守恒公式，弹弓型号和股数对总能量的贡献非常小，所以钢球的初速度可以认为维持在同一水平上。

问题二，针对皮筋型号多且股数变化较多，使鸡尾酒皮筋的组合太多。为了解释鸡尾酒皮筋比普通皮筋初速度快和更方便的选出最优组合，我们采用了物理运动中整体法和微元法的概念。建立皮筋在每一个微元的运动方程，并引入了回阻系数的概念，从而可以精确求解每种皮筋的回缩速度和时间。通过求解我们发现：环形面积越大，皮筋的收缩速度也就越快，相应的阻力系数也就越大。所以粗细皮筋搭配的时候，收缩的开始阶段，粗皮筋收缩的快，细皮筋收缩的慢，可以认为粗皮筋先收缩而细皮筋后收缩，这里有个收缩的时间差，因为粗皮筋拉力大，所以拉力有个均衡的过程，细皮筋对钢珠做功的距离长于普通的皮筋。鸡尾酒皮筋增速的关键是具有弹簧压缩力量逐级递增的性质，具有明显的初速度加速表现。根据每种皮筋的收缩速度我们确立了组和条件，再通过优化求解，最终确定了最优组和方式，并给出了合理的长度搭配。

关键词：能量守恒非线性拟合能量利用率微元法回阻系数力量逐级递增

1.问题重述

弹弓的历史很久远，可以追溯到中国古代，原本是民间的一种玩具，随着社会发展，弹弓经过改良之后已经成为一种体育竞技工具。

弹丸的初速主要由皮筋拉满之后收缩得到的，弹丸的初速不可能大于皮筋的收缩速度，也就是弹丸质量忽略不计时其初速与皮筋拉力无关而与皮筋的收缩速度相关，况且实际上还要扣除弹丸自身的重量引起的回弹初速上限减低的问题，所以弹丸的初速只能无限接近皮筋的回弹速度。

目前市场上的皮筋拉满之后击发，弹丸的初速在55-75m/s之间。有网友用测速仪测得各种皮筋击发的弹丸的初速。

目前流行一种鸡尾酒式皮筋组，即把不同规格的皮筋（即不同粗细）组合起来使用的皮筋组。这种皮筋击发弹丸时可以使弹丸得到更高的初速。

问题1：请建立模型解释以下现象：

（1）忽略弹丸质量的时候，用不同型号的皮筋击发弹丸时初速相差不大，维持在一个比较接近的水平；

（2）目前弹弓弹丸初速在55-75m/s之间这一事实。

问题2：请建立模型解决以下问题：

（1）解释鸡尾酒式皮筋组显著提高弹丸初速的原理；

（2）给出鸡尾酒皮筋组效果更佳的组合（包括两段皮筋的规格、粗细差别），并尝试寻找两种型号上的最优组合和两段皮筋所占长度的最优解。

2.模型假设

1.皮筋拉伸过程中各段截面积相等；

2.制造各种型号的皮筋所用材料相同；

3.皮筋运动过程中较小的距离内钢球的加速度保持不变；

4.鸡尾酒皮筋组运动时，运动大致看成粗皮筋先收缩完全，而后细皮筋开

始收缩。

3.符号说明

符号说明

m皮筋的质量1

m鸡尾酒皮筋组中粗皮筋的质量11

m鸡尾酒皮筋组中细皮筋的质量12

m皮兜的质量2

m钢珠的质量3

l皮筋的原长度

S皮筋的原面积

v钢珠的初速度

F拉力

E动能

k

E皮筋的应变能y

E弹性模量

σ正应力

ε应变

4.问题分析

问题一的分析：

弹丸的初速主要由皮筋拉满之后收缩得到的，弹丸的初速不可能大于皮筋的收缩速度，也就是弹丸质量忽略不计时其初速与皮筋拉力无关而与皮筋的收缩速度相关，本文要求解释忽略钢球质量时，用不同型号的皮筋击发钢球时初速相差不大，其次为什么目前钢球初速在55-75m/s之间。

首先，钢球的弹射是满足能量守恒定律的，钢球弹射的动能最终来源于皮筋拉伸时所积蓄的应变能。单股皮筋拉伸的应变能只与其体积和材料有关，应变能在皮筋的收缩过程中转化为，钢球的动能，皮筋收缩的动能，皮兜的动能，其余的能量被皮筋自身的阻力所消耗。

其次，皮筋自身的阻力主要来源于皮筋极限收缩速度的限制，所以应变能只有一部分转化为动能，这里存在一个应变能利用率的问题。皮筋阻力消耗的能量应与皮筋自然长度和皮筋纵向的截面积有关。

问题二的分析：

我们选取不同粗细、不同长短的两段皮筋，分别用表达式求解两段皮筋的运动。我们知道弹弓皮筋的延伸性是有限的，所以出去的力道，也和弹弓皮筋的型号有着非常大的关系，在制作鸡尾酒弹弓皮筋的时候，因为弓门的地方，采用了比较粗的弹弓皮筋，所以不容易被拉开，然后靠近皮筋的地方使用了轻型号的皮筋，就使得弹弓皮筋有了非常好的延伸性和初速。其原理在于鸡尾酒皮筋组具有弹簧压缩力量逐级递增的性质，具有明显的初速度加速表现。从而解释鸡尾酒皮筋增速的原因，然后尝试把两段皮筋粗细、长短都设为变量来求取最优解。

前后段不同粗细的皮筋组因为收缩时间的先后差异造成了动力的有效叠加。后手释放瞬间，粗皮筋先行收缩做功，做功对象是整段细皮筋组和皮兜以及钢*，带动它们加速前行。粗细皮筋的搭配，理论上来说它们的拉力相差越大，那么收缩时间的先后差异就越明显，动力就叠加的更好，但同时要考虑细皮筋的承受能力。