复变函数习题总汇与参考问题详解

复变函数习题总汇与参考答案

第1章 复数与复变函数

一、单项选择题

1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad)

2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z|R

3、若z=x+iy, 则y=(D)

A B C D

4、若A= ，则 |A|=（C ）

A 3

B 0

C 1

D 2

二、填空题

1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）

2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）

3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充

2z

z +2z z -i z z 2+i

z z 2-)1)(4()

1)(4(i i i i +--++∞

→n lim

+∞

→n lim

分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题

1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=

2、写出复数-i 的三角式。

解：

3、写出复数 的代数式。 解：

4、求根式 的值。

解： ππ4

5

|11|

arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限Θπ

π23

sin 23cos i i +=-i i i i

i i

i i i i i i

i i i

2

12312

1

21)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-+

+-+=

-+

-i

i

i i -+-113

27

-)27arg(3

273

π

=-=Θ

四、证明题

1、证明若 ，则a 2+b 2=1。

证明：

而

bi a yi

x yi

x +=+-bi

a yi x yi x +=+-Θ||

||yi

x yi

x bi a +-=+∴2

2||b a bi a +=+1

1

1

2

2222

2

22=+∴=+∴=++=

+-∴b a b a y

x y x yi x yi x

3、证明：

证明：

)

Re(2212

2212

2

1z z z z z z +++=+∴

=+=--++-++=-++-+=+∴-=+=-=+=+++=+++=++=++=+)Re(2)(2)()())(())(()

)(())((211221*********

22

112212************

21z z by ax i ay bx by ax i ay bx by ax bi a yi x yi x bi a z z z z yi

x z yi x z bi a z bi a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 则则设)

Re(2212

22

12

21z z z z z z ⋅++=+

第2章 解析函数

一、单项选择题

1．若f(z)= x 2-y 2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D ）

A B

C D

3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C ） A 仅在点z=0解析 B 无处解析

C 处处解析

D 在z=0不解析且在z ≠0解析 4、若f （z ）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C ）

A 解析

B 可导

C 连续

D 不连续 二、填空题

1、若f(z)在点a 不解析，则称a 为f(z)的奇点。

2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。

3、若f(z)=z 2+2z+1，则

4、若 ，则 不存在。 )

()(D z f ='y

v x v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且x

v x u x v y u ∂∂=

∂∂∂∂-=∂∂且y

v x

v y

u x

u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且x

v

y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂且2

2)(+='z z f )

2)(1(7

)(--=z z z f =')1(f

三、计算题：

1、设f(z)=zRe(z), 求 解： =

2、设f(z)=e x cosy+ie x siny,求

解：f(z)=e x cosy+ie x siny=e z ,z=x+iy u=e x cosy v=e x siny f(z)=u+iv

∴f(z)在复平面解析，且 =e x cosy+ie x siny

3、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=x 3-3xy 2， f(i)=0,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=3x 2-3y 2

则V （x1y ）=3x 2y-y 3+c(c 为常数)

故f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x 3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic =z 3+ic ，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时， f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0

∆Z

-∆Z +→∆)

0()0(lim

f f z ∆Z

-∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z ∆Z ∆Z →∆)Re(lim 0z 0

)Re(lim 0

=∆Z =→∆z )(z f 'y e y v

x u x cos =∂∂=∂∂Θy e y

v y u x sin =∂∂-=∂∂ie

y e z f x +='cos )()(z f 'c

x Q xy uy x Q xy v x Q y y x dy y x v x =∴=-='+=∴+-=-=∴⎰)(6)(6)(3)33(3222