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(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结(2)

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f (z)在z 0解析. ( ) 2。
有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5。
若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
( ) 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f (z)的可去奇点。
( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9。
若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10。
若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数。
( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2。
=+z z 22cos sin _________. 3。
函数z sin 的周期为___________.4。
设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6。
若函数f (z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________。
8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ 。
10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三。
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---《复变函数》考试试题(一)一、判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则f ( z) C(常数) 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . ()二. 填空题( 20 分)1、|z z 0 |dz__________. ( n 为自然数)1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11,则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Res(e z8.n,0)________,其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 in1 2.1 ;3. 2k , ( k z) ;4.z i ; 5.11.n;16. 整函数;7. ; 1 ; 9. 0; 10..8.(n 1)!三.计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一. 判断题 . (20 分)1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析,则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点,则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导,则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ,则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ,则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n( n 为自然数)---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1,则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分: I| z | dz,积分路径为(1)单位圆( | z | 1)i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一.判断题 .1.√2.×3.√4.√ 5.× 6.×7.×8.√9.× 10.× .二.填空题---1.1 ,, i ;2. 3(1sin 2)i ;3.2 i n14. 1;5. m 1 . 0n;216.2k i ,( k z) .7. 0;8. i;9.R ;10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ,则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n( n 为自然数)_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1,则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题(一) 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z I d ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ,则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数 复习资料

《复变函数》试卷一、单项选择题1. 以下命题正确的是[ A ]A .1z iz i =B .零的辐角为零C .3i i <D .对任意复数z 有sin 1z ≤2.若1(3)153x i y i i++-=++,则[ D ] A .1,11x y =-=- B .1,11x y =-=C .1,11x y ==-D .1,11x y ==3.设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则[ B ]A .()u v f z i x y ∂∂'=+∂∂B .()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ C .()u v f z i y y ∂∂'=+∂∂ D .()u v f z i y x ∂∂'=+∂∂ 4.下列说法正确的是[ C ]A .如果0()f z '存在,则()f z 在0z 处解析B .如果(,)u x y 和(,)v x y 在区域D 内可微,则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析C .如果()f z 在区域D 内处处可导,则()f z 在区域D 内解析D .如果()f z 在区域D 内解析,则()f z 在区域D 内一定不解析5.下列等式中不正确的是[ B ]A .(1)(21)Ln k i π-=+ (k 为整数)B .2Lnz Lnz Lnz +=C .2z k i z e e π+= (k 为整数)D .22sin cos 1i i +=6.设2222()(2)f z x axy y i bx xy y =+-+++在复平面内处处解析(其中,a b 为常数),则[ C ]A .2,1a b ==B .1,2a b ==C .2,1a b ==-D .1,2a b =-=7.设Γ为单位圆周1z =,则积分Im zdz Γ⎰的值为[ D ]A .i πB .i π-C .πD .π-8.级数1!nn n n z n ∞=∑的收敛圆为[ A ] A .1z e<B .z e <C .1z <D .2e z <9.0z =是函数2()(1)z f z z e =-的[ C ] A .一级零点 B .二级零点C .三级零点D .四级零点10.设51()sin ,f z z z=则[]Re (),0s f z =[ D ] A .1 B .15!C .1-D .011.函数2)(z z f =在复平面上 ( C )A.处处不连续B.处处连续,处处不可导C.处处连续,仅在点0=z 处可导D.处处连续,仅在点0=z 处解析12.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则ba b a --1的值 ( B ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大13、设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( B )A.i 1+B.iC.1-D.014、设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=⎰dz z z C n ,则整数n 等于 ( D )A.1-B.0C.1D.215、0=z 是21)(ze zf z -=的 ( A ) A.1阶极点 B.2阶极点 C.可去奇点 D.本性奇点二、填空题(每空4分,共20分)11.Arg = 223k ππ-+ 12.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是_____整函数_____。
复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z),求在1. 设22sinz,cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,,,,3712,f(z)fzd,()z,1C,{z:|z|,3}f'(1,i).,C4.设,则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设,其中,试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z,14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz,,...,1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数,f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若,则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________,其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点,则.13sin(2z)1. 设,则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设,则f(z),(x,2xy),i(1,sin(x,y),,z,x,iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1,i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:,积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0,则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z,3z,8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设,则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1,z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设,则f(z)的定义域为___________. 42z,1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n,21n,,z,,i(1,)3. 若,则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz,cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:,其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z,z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设,则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z,1z数,那么它在D内为常数. 8. 设,则. z,___e,,12. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数f(z)z9. 若是的极点,则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M,使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|, z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数期末考试复习题及答案详解

最新范本,供参考!《复变函数》考试试题(一) 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)最新范本,供参考!1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z I d ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.最新范本,供参考!3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ,则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
(完整版)复变函数试题及答案

2、下列命题正确的是()
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是()
A函数 在 平面上处处连续
B 如果 存在,那么 在 解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式 的值之一是()
1、 的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1,则积分
4、若 是 的共轭调和函数,那么 的共轭调和函数是
5、设 为函数 = 的m阶零点,则m =
6、设 为函数 的n阶极点,那么 =
7、幂级数 的收敛半径R=
8、 是函数 的奇点
9、方程 的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题(每小题2分)
1 2 3 4 5
四 计算题(每小题6分,共36分)
1解: , 分
…5分
解得: 分
2解:被积函数在圆周的 内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解:
= …4分
( <2)…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数 ,在以 为中心的圆环内的洛朗展式
有m个,则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为()
A B
C D
8、在下列函数中, 的是()
A B
C D
9、设a ,C: =1,则 ()
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【最新整理,下载后即可编辑】【最新整理,下载后即可编辑】《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题(一)1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________. 3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)【最新整理,下载后即可编辑】4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1.求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值. 3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni nn z )11(12++-+=,则=∞→nz n lim __________. 4.=+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .【最新整理,下载后即可编辑】三. 计算题. (40分) 1. 将函数12()zf z ze=在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分)1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)二. 填空题. (20分)1. 设iz -=11,则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→nz z z nn ...lim 21______________. 3. 函数e z 的周期为__________.4. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为__________5. 若函数f (z )在复平面上处处解析,则称它是___________.6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内的_____________.7. 设1|:|=z C ,则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. =)0,(Res n zze _____________.三. 计算题. (40分) 1. 解方程013=+z . 2. 设1)(2-=z e z f z,求).),((Re ∞z f s3. .))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z.【最新整理,下载后即可编辑】4. 函数()f z =z e z 111--有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数). 四. 证明题. (20分)1.证明:若函数)(z f 在上半平面解析,则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题(五)二. 填空题.(20分) 1. 设i z 31-=,则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时,ze 为实数.3. 设1-=ze ,则___=z .4. ze 的周期为___.5. 设1|:|=z C ,则___)1(=-⎰Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z .7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内的_____________。
8. 函数211)(z z f +=的幂级数展开式为_________.9. zz sin 的孤立奇点为________.10. 设C 是以为a 心,r 为半径的圆周,则___)(1=-⎰C n dz a z .(n 为自然数)三. 计算题. (40分)1. 求复数11+-z z 的实部与虚部.2. 计算积分:z z I Ld Re ⎰=,在这里L 表示连接原点到1i +的直线段.3. 求积分:I =⎰+-πθθ202cos 21aa d ,其中0<a<1. 4. 应用儒歇定理求方程)(z z ϕ=,在|z|<1内根的个数,在这里)(z ϕ在1||≤z 上解析,并且1|)(|<z ϕ.【最新整理,下载后即可编辑】四. 证明题. (20分)1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外,处处不可微. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题(六)1.一、 填空题(20分) 1. 若21(1)1n n n z i n n+=++-,则lim n z =___________. 2. 设21()1f z z =+,则()f z 的定义域为____________________________.3. 函数sin z 的周期为_______________________.4. 22sin cos z z +=_______________________.5. 幂级数0n n nz +∞=∑的收敛半径为________________.6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >,则0z 是()f z '的____________零点.7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析,则称它是______________.8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.9. 方程532380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.10. 公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 二、 计算题(30分)1、2lim 6nn i →∞-⎛⎫⎪⎝⎭.2、设2371()Cf z d z λλλλ++=-⎰,其中{}:3C z z ==,试求(1)f i '+. 3、设2()1ze f z z =+,求Re ((),)s f z i .4、求函数36sin z z在0z <<∞内的罗朗展式.5、求复数11z w z -=+的实部与虚部.6、求3i e π-的值.三、 证明题(20分)1、 方程7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,(,)v x y 等于常数,则()f z 在D 恒等于常数.3、 若0z 是()f z 的m 阶零点,则0z 是1()f z 的m 阶极点.【最新整理,下载后即可编辑】6.计算下列积分.(8分) (1)22sin ()2z zdz z π=-⎰;(2)2242(3)z z dz z z =--⎰.7.计算积分2053cos d πθθ+⎰.(6分)8.求下列幂级数的收敛半径.(6分)(1) 1(1)nnn i z∞=+∑; (2)21(!)nn n n z n ∞=∑. 9.设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数,试确定l ,m ,n 的值.(6分) 三、证明题.1.设函数()f z 在区域D 内解析,()f z 在区域D 内也解析,证明()f z 必为常数.(5分)2.试证明0az az b ++=的轨迹是一直线,其中a 为复常数,b 为实常数.(5分) 试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题(一)参考答案二.填空题 1. 211i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±;5. 16. 整函数;7. ξ;8.1(1)!n -; 9.0; 10. ∞. 三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑. 2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z zπππ==-==+=⎰.3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,()()2()c f z dz i z zϕλπϕλ==-⎰. 所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+.4. 解 令z a bi =+, 则【最新整理,下载后即可编辑】222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b z a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x xyy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得,22()0x u v v +=.1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2)若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =.所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.2. 证明()f z =的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题(二)参考答案二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3.2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4.1; 5. 1m -.6. 2k i π,()k z ∈.7. 0;8. i ±;9. R ; 10. 0. 三. 计算题 1. 解3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =. 所以4()if i e π=.【最新整理,下载后即可编辑】3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i i z dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数).令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====.即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0n n n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z在:C z R =上时, 有111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)参考答案二.填空题.1.{},z z i z C ≠±∈且;2. 2()k i k z π∈;3. 1ei -+;4. 1;5.2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 6. 1; 7. i ±; 8.(21)z k i π=+; 9.∞;10.1(1)!n -. 三. 计算题. 1. 解 12222011(1)2!!n zn z z e z z z n -+∞==+++⋅⋅⋅=∑.2. 解11!(1)11lim lim lim()lim(1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=⋅==+=+. 所以收敛半径为e .【最新整理,下载后即可编辑】3. 解 令22()(9)ze f z z z =-,则2001Re ()99z z z e s f z z ====--. 故原式022Re ()9z ii s f z ππ===-. 4. 解 令 962()22f z z z z =-+-, ()8z z ϕ=-.则在:C 1z =上()()f z z ϕ与均解析, 且()6()8f z z ϕ≤<=, 故由儒歇定理有(,)(,)1N f C N f C ϕϕ+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根. 四. 证明题.1. 证明 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则. 两边分别对,x y 求偏导数, 得0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩ 因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为0x x xx uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得,22()0x u v v +=.1) 220u v +=,则 ()0f z = 为常数.2)若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =,0y v =.所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时,()1!()!(0)2nk k kz rk f z k Mr fdz z r π+=≤≤⎰.于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)0k f =. 故0()nn n k f z c z ==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.《复变函数》考试试题(四)参考答案.二. 填空题. 1.12,12; 2. ξ; 3.2()k ik z π∈;4. 20(1)(1)n nn z z ∞=-<∑;5. 整函数;6. 亚纯函数;7. 0;8. 0z =;9. ∞;10.1(1)!n +. 三. 计算题. 1.i i z i z ii z k k i k z z 232135sin 35cos1sin cos 23213sin 3cos 2,1,032sin 32cos1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解【最新整理,下载后即可编辑】2. 解11Re ()12z z z e e s f z z ====+, 111Re ()12z z z e e s f z z -=-=-==+-.故原式1112(Re ()Re ())()z z i s f z s f z i e e ππ-==-=+=-. 3. 解 原式22Re()295z iz izi s f z i z πππ=-=-===-.4. 解ze z 111--=)1(1-+-z z e z e z ,令0)1(=-z e z ,得i k z z π2,0==,,2,1±±=k而zz zz z z z z z ze e e z e e z z e +--=-+-=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 00021lim 0-=++-=→z z z z z ze e e e0=∴z 为可去奇点 当i k z π2=时,01),0(≠+-≠zez k而[]0212)1(≠=+-=='-i k z ze ei k z zezzzππ i k z π2=∴为一阶极点. 四. 证明题.1. 证明 设()()F z f z =, 在下半平面内任取一点0z , z 是下半平面内异于0z 的点, 考虑000000000()()()()()()lim lim lim z z z z z z F z F z f z f z f z f z z z z z z z →→→---==---. 而0z ,z在上半平面内, 已知()f z 在上半平面解析, 因此00()()F z f z ''=, 从而()()F z f z =在下半平面内解析.2. 证明 令()63f z z =-+, 4()z z ϕ=, 则()f z 与()z ϕ在全平面解析,且在1:2C z =上, ()15()16f z z ϕ≤<=, 故在2z <内11(,)(,)4N f C N C ϕϕ+==. 在2:1C z =上, ()3()1f z z ϕ≥>=, 故在1z <内22(,)(,)1N f C N f C ϕ+==.所以f ϕ+在12z <<内仅有三个零点, 即原方程在12z <<内仅有三个根.《复变函数》考试试题(五)参考答案一. 判断题.1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 10.√. 二. 填空题.1.2,3π-, 1+; 2. 2(,)a k i k z a π+∈为任意实数; 3. (21)k i π+, ()k z ∈; 4. 2,()k i k z π∈; 5. 0;【最新整理,下载后即可编辑】6. 0;7. 亚纯函数; 8. 20(1)(1)n n n z z ∞=-<∑; 9. 0;10. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩. 三. 计算题.1. 解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 2. 解 连接原点及1i +的直线段的参数方程为 (1)01z i tt =+≤≤,故{}11001Re Re[(1)](1)(1)2c izdz i t i dt i tdt +=++=+=⎰⎰⎰. 3. 令i z e θ=,则dzd izθ=.当0a ≠时212()(1)12cos 1()z a az a a a z z a zθ----+=-++=,故11()(1)z dzI i z a az ==--⎰, 且在圆1z <内1()()(1)f z z a az =--只以z a=为一级极点, 在1z =上无奇点, 故211Re (),(01)11z a z as f z a aza ====<<--, 由残数定理有2122Re (),(01)1z a I i s f z a i aππ===≤<-. 4. 解 令(),f z z =- 则(),()f z z ϕ在1z ≤内解析, 且在:C 1z =上,()1()z f z ϕ<=, 所以在1z <内, (,)(,)1N f C N f C ϕ+==, 即原方程在 1z <内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 因为22(,),(,)0u x y x y v x y =+≡, 故2,2,0x y x y u x u y v v ====. 这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在0z =处满足..C R -条件, 故()f z 只在除了0z =外处处不可微. 2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时,()1!()!(0)2nk k kz rk f z k Mr fdz z r π+=≤≤⎰.于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)0k f =. 故0()nn n k f z c z ==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.《复变函数》考试试题(六)参考答案二、填空题:1. 1ei -+ 2. 1z ≠± 3. 2π 4. 1 5. 16. 1m -阶7. 整函数8. 9. 0 10. 欧拉公式【最新整理,下载后即可编辑】三、计算题:1.解:因为21,6i -==<故2lim()06nn i →∞-=. 2. 解:13,i +=< 1()()2C f f z d i zλλπλ∴=-⎰2371.Cd zλλλλ++=-⎰ 因此 2()2(371)f i λπλλ=++ 故2()2(371)f z i z z π=++1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.3.解:211()12z z e e z z i z i =⋅+++- Re ((),).2ie sf z i ∴=4.解:3213(1)()sin ,(21)!n n n z z n +∞=-=+∑36360sin (1).(21)!n n n z z z n ∞-=-∴=+∑ 5.解:设z x iy =+, 则222211(1)211(1)z x iy x y yiw z z iy x y--++-+===+++++.22222212Re ,Im .(1)(1)x y yw w x yx y+-∴==++++ 6.解:31cos()sin()(1).332iei πππ-=-+-=四、1. 证明:设673()9,()61,f z z z z z ϕ==+-则在1z =上,()9,()1618,f z z ϕ=≤++= 即有()()f z z ϕ>. 根据儒歇定理,()f z 与()()f z z ϕ+在单位圆内有相同个数的零点,而()f z 的零点个数为6,故7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.2.证明:设(,)v x y a bi =+,则0x y v v ==, 由于()f z u iv =+在内D 解析,因此(,)x y D ∀∈有 0x y u v ==, 0y x u v =-=. 于是(,)u x y c di ≡+故()()()f z a c b d i =+++,即()f z 在内D 恒为常数.3.证明:由于0z 是()f z 的m 阶零点,从而可设 0()()()m f z z z g z =-, 其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠, 于是0111()()()mf z z zg z =⋅- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ,在1D 内恒有()0g z ≠,因此1()g z 在内1D 解析,故0z 为1()f z 的m 阶极点.。