第讲最短路问题

上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意 义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization）问题； 二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络 （network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多数网络优化问 题是以网络上的流（flow）为研究的对象，因此网络优化又常常被称为网络流 （network flows）或网络流规划等
G 的图解如图.
定义
在图 G 中，与 V 中的有序偶<vi，vj>对应的边 e，称为图的有向边 （或弧），而与 V 中顶点的无序偶(vi，vj)相对应的边 e，称为图的 无向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向
边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
假定每个产地的产量和家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂的运费 已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？
狼、羊、白菜过河问题 猎人要把一只狼、一头羊和一篮白菜从河的左岸带到右岸，但他的渡船太小，
一次只能带一样。因为狼要吃羊，羊会吃白菜，所以狼和羊，羊和白菜不能在无人 监视的情况下相处。问猎人怎样才能达到目的？
公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从
其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任 意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路， 使得总成本最小？
指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每人一项。由于各员工的特点不同，
不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总 回报最大？
中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线
（从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是 我国管梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
旅行商问题（TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路
线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十 分悠久，通常称之为旅行商问题。
运输问题（transportation problem） 某种原材料有个产地，现在需要将原材料从产地运往个使用这些原材料的工厂。
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1、图的定义 2、顶点的次数 3、子图
二、 图 的 矩 阵 表 示 1、 关联矩阵
2、 邻接矩阵
返回
图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图.
[1] V={v1, v2 , , vn } 是有穷非空集，称为顶点集，
其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边.
图与网络优化的一些基本问题
最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地
的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车 的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。
[3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素
偶对的集合的映射，称为关联函数. 例1 设 G=(V,E, )，其中 V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
(e1) v1v2 , (e2 ) v1v3, (e3 ) v1v4 , (e4 ) v1v4 , (e5 ) v3v3 .
• 在这一时间，还有许多诸如迷宫问题、博弈问题以及棋盘上马的 行走路线之类的游戏难题，吸引了许多学者。这些看起来似乎无 足轻重的游戏却引出了许多有实用意义的新问题，开辟了新学科。
图wenku.baidu.com应用
图论的第一本专著是匈牙利数学家O Koing 写的“有限图与无限图的理论”，发表于1936 年。从1736年欧拉的第一篇论文到这本专著， 前后经历了200年之久，总的来讲这一时期图论 的发展是缓慢的。直到20世纪中期，电子计算 机的发展以及离散数学问题具有越来越重要的 地位，使得作为提供离散数学模型的图论得以 迅速发展，成为运筹学中十分活跃的重要分支。 目前图论被广泛地应用于管理科学、计算机科 学、信息论、控制论、物理、化学、生物、心 理学等各个领域，并取得了丰硕的成果。
第1讲
一、图论的基本概念 二、固定起点的最短路 三、任意两点的最短路 四、最短路算法的应用
图论
18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河。河上游七座桥连接 着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于 这样的游戏：一个游人怎样才能一次连续走过这七座桥 而每座桥只走一次，回到原出发点。没有人想出这种走 法，又无法说明走法不存在，这就是著名的“七桥”难 题。欧拉将这个问题归结图论的问题。他用A,B,C,D四 点表示河的两岸和小岛，用两点间的连线表示桥。七桥 问题变为：从A,B,C,D任意点出发，能否通过每条边一 次且 仅一次，再回到原点？欧拉证明了这样的走法不 存在，并给出了这类问题的一般结论。
• 1857年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏，他用一个实心正12 面体象征地球，正12面体的20个定点分别表示世界上20座名城， 要求游戏者从任一城市出发，寻找一条可经由每个城市一次且仅 一次再回到原出发点的路，这就是“环球旅行”问题。
• 七桥问题与“环球旅行”问题不同，前者要在图中找一条经过每 边且仅一次的路统称欧拉回路，而后者是要在图中找一条经过每 个点一次且仅一次的路，能成为哈密尔顿回路。