矩阵的秩概念2

矩阵→matrix

《存在和任意的数学符号：∀∃》

矩阵的秩，（矩阵一个重要的特征）

矩阵的秩在线性代数中的一些应用，包括方阵是否可逆的判定，线性方程组解存在性的判定，向量组相关性的判定，二次型是否正定的判定。线性方程组问题是线性代数的核心问题。1：求矩阵的秩的方法

2：应用矩阵秩解决方程是否有解，解的个数情况，以及如何求解。

高等代数定义5.3.2 设n阶方阵

A=（a11

由矩阵A的行列式|A|（也记为det A）中的元素a ij的代数余子式A ij构成的如下n阶（a11 称为矩阵A的伴随矩阵，A*有时也记为adjA。

方阵A*=

定理 5.3.1 n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且当A可逆时，

A-1=1/|A|A*

其中A*是A的伴随矩阵。

定义 4.1.2 矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换：

1.交换矩阵两行（列）的位置。

2.用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）：

3.用一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）上。

行列式的性质 1：行列式与它的转置行列式相等。即：D(T)=D. 2：（提公因式性质）用一个数K乘行列式，等于将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以这个数。

3：（变号性质）交换行列式的任意两行（列），行列式改变符号，等于D→D1，有D=- D1。

4：（线性性质）若行列式的某一行（列）每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两行列式之和。

5：（值不变性质）把行列式的第j行（列）元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

自然数 1.2.3。。。。n组成一个有序数组称为一个n阶排列，记为i1i2…in.一般n阶排列共有n！个。

定理3.2.1 一次对换改变排列的奇偶性。 1.2.3.。。。n是偶排列。任意一个n阶排列所作的对换次数与排列具有相同的奇偶性。

定义 4.2.2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数，叫做这个矩阵的秩，如果一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为零。矩阵A的秩记为：秩（A）或R（A）。且有R（Amn）≦min{m,n},秩（A）=秩（AT）。

在A中任取K行K列（K≦m,K≦n）,位于这些行和列的交点处的元素所构成的K阶行列式叫做这个矩阵的一个K阶子式。

说明：矩阵的K阶子式是一个行列式，而不是一个矩阵。

定理4.2.1 初等矩阵不改变矩阵的秩。

定理4.2.1 告诉我们，不必求出矩阵A的各阶子式，只要对A作行初等变换，将它化为行阶梯形，然后数一数这个行阶梯形矩阵中有几个非零行，就可以很直接的求出A的秩。

定理 4.2.2 （线性方程组可解判别法）线性方程组（1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。

比如：R（A）=R（A¯）=r

定理 4.2.3 （解的个数定理）设线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r，那么这个线性方程组

（1）当r=方程组所含未知量个数n时，有唯一解。

（2）当r

求线性方程组的一般解的步骤归纳如下：

（1）写出线性方程组的增广矩阵A¯

（2）用行初等变换把增广矩阵A化成阶梯形矩阵，求出R（A¯）与R （A），从而判断是否有解。

（3）如果R（A¯）=R（A）=方程组所含未知量个数n时，则线性方程组有唯一解；如果（A¯）=R（A）<方程组所含未知量个数n 时，则线性方程组有无穷多个解，此时先确定自由未知量，然后用自由未知量表示出其他未知量，得到一般解。

（4）如此，线性方程组有解时，要么r=m,要么r

应用篇：

齐次线性方程组定义：如果线性方程组的常数项都等于零，那么此线性方程组叫做其齐线性方程组。

X1=0，X2=0，X3=0，…Xn=0是齐次线性方程组的一个解。这个解叫做零解，如果齐次线性方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解。说明：齐次线性方程组总是有解的。

定理 4.2.4 一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的的系数矩阵的Rank小于方程组所含未知量的个数。

推论4.2.5 一个齐次线性方程组的方程个数m小于方程组所含未知量的个数n，那么，这个方程组必有非零解。

推论 4.2.6 如果齐次线性方程组的方程个数m等于方程组所含未知量的个数n，那么，这个方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数行列式等于零，|A|=0.

|A|=0不能作为线性方程组∃解的充分条件。

定义6.3.5 向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的rank.

矩阵的转置就是行变列，列变行。

矩阵进行初等行变换后，形式是变了，但是它的许多特征没有变化，任然保留。

每行第一个非0元素逐行右移的矩阵称为阶梯形矩阵。

任何一个矩阵，经过初等行变换，总可以把它变成阶梯形矩阵（结果可以是不同的阶梯形矩阵）

【中央广播电视大学经济数学基础第30讲】定义9.10 ：

矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r(A)。

求一个矩阵的秩，首先要把它变成阶梯形矩阵。

A→（初等行变换）I＜＝＞A可逆

I---阶梯形矩阵，它非0行的行数就是A的阶数

n阶可逆矩阵A可逆＜＝＞秩（A）=n（A为满秩矩阵）