逆推与图解(李白喝酒)

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三、较复杂的还原问题
【例1】一本文艺书，小明第一天看了全书的 1/3，第 二天看了余下的 3/5 ，还剩下 48 页，这本书共有多少 页？
【练习一】 第1题 某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员 中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室。这个班共有多少名少先队 员？ 第2题 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的3/8，第二天走 了余下的 2/3，第三天走了 250 千米到达乙地。甲乙两地间的路程 是多少千米？ 第3题 把一堆苹果分给4个人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余 下的2/5 ，丙拿走了这时所剩的 3/4，丁拿走最后剩下的 15个。这 堆苹果共有多少个？
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3.一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出 瓶中酒精的5/9 ，第三次倒出180 克，瓶中剩下 60克。原来瓶中有 多少克酒精？
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【例4】甲乙丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出 与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数 给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样 甲乙丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元？
3.一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了余下的1/3少 2吨，还剩下16吨。原来这批水泥有多少吨？
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【练习】有一堆乒乓球，把它分成四等份后剩下一个， 取走三份又一个，剩下的再四等份后又剩下一个，再 取走三份又一个，最后剩下的再四等份后还是剩下一 个，问这堆乒乓球原来有多少个？
第10只猴子正好分到10个 根据条件“猴9拿走了猴8剩下的1/2”，把猴8剩下的桃子平均分成两 份，猴9拿走1份，剩下1份，根据剩下的这份是10个，可推知猴9拿走的也 是10个。 根据条件“猴8拿走了猴7剩下的1/3”，把猴7剩下的桃子平均分成 3 份，猴8拿走1份剩下2份，根据剩下的2份是20个，可推知猴8拿走的那一 份应该是10个。 ...... 每只猴子都是拿了10个，所以这堆桃子有100个。
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【例4】李白喝酒诗
李白街上走，
提壶去打酒。 遇店加一倍， 遇花喝一斗。 三遇店和花， 喝光壶中酒。 试问酒壶中， 原有多少酒？
（唐代天文学家张遂根据李白喜欢喝酒这个故事编出来的数学诗歌 ）
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问题1.画图表示三遇店和花，逆推原有多少酒？
乙
24千克 24÷4/5=30千克 48-27=21千克
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【例 9】某水果店进一批水果，运进的是原来的 一半，原有的蔬菜卖出去一半后，恰好与现在的水 果同样多。已知原有的水果800千克。求原有的蔬菜 多少千克？
＝
原有蔬菜的一半 800+800÷2=1200（千克） 原有蔬菜 1200×2=2400（千克）
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问题3. 以上10种情况都是求原有多少酒？答案 是不是一样呢？请自选两种情况算一算，看看你 有什么发现？壶中酒最多是多少？最少呢？
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问题4. 以上10种情况，李白各喝了多少酒？
李白街上走，
提壶去打酒。 遇店加一倍， 遇花喝一斗。 三遇店和花，
②第二棵树原有小鸟 8-4+5=9(只)或8＋(5-4)=9(只)
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【例8】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后， 又从乙桶中倒出 1/5 给甲桶，这时两桶油各有 24 千克， 原来甲乙两个桶中各有多少千克油？
甲
最后 乙桶中倒出1/5给 甲桶之前 甲桶中倒出1/3给 乙桶之前 24千克 48-32=18千克 18÷2/3=27千克
【练习4】 1.甲乙丙三个班各有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数 给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班，再从丙班调出 与这时甲班相同的人数给甲班，这样甲乙丙三个班的人数相等。 原来甲班比乙班多多少人？ 2.甲乙丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再 从乙盒拿出8个放入丙盒，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒 比丙盒多多少个球？ 3. 甲乙丙三个仓库面粉袋数的比是 6:9:5 ，如果从乙仓库拿出 400 袋平均分给甲丙两仓库，则甲乙两个仓库的数量相等。这三个仓 库共有面粉多少袋？
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【例 2】有一根绳子，第一次用去全长的一半，第二 次用去余下的一半多4米，还剩9米。这根绳子全长多 少米？
顺序画图，倒序列式
ห้องสมุดไป่ตู้
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【例3】有一群猴子分一堆桃子，第一只猴子分了全
部桃子的1/10,第二只猴子分了剩下桃子的 1/9，第三 只猴子分了这时剩下的 1/8 ，„„第九只猴子分了第 八只猴子分后剩下的桃子的 1/2 ，最后第十只猴子正 好分到10个桃子。这堆桃子有多少个？
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二、双变量的还原问题
【例6】原来甲杯和乙杯各有多少毫升？
甲杯倒入乙杯 40毫升
两杯果汁共400毫升
现在两杯果汁同样多
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【例7】三颗树上停着24只鸟，如果从第一棵树上飞4 只鸟到第二棵树上去，再从第二棵树上飞 5 只鸟到第 三棵树上去，那么三棵树上的小鸟的只数都相等。第 二棵树上原来停留了多少只鸟？ ①最后三棵树上小鸟只数相等， 每棵树都有小鸟24÷3=8(只)
老师年龄 http://www.1ppt.com/
×3
-15
÷2
+8
38
逆推法
有些应用题，叙述某一个未知量，经过一系列的 变化后，告诉你最后的结果是多少，而要求原来的未 知量。解答这类问题的关键在于“还原”，即从最后 结果出发，根据题中所说的变化，逐步逆推回去。原 题中说是加了的，逆推时就用减；原题中说是减了的， 逆推时就用加；原题中说是乘了的，逆推时就用除以； 原题中说是除以的，逆推时就用乘。直至推出所要求 的未知数为止。这种解决问题的方法叫做逆推法，也 叫还原法。
用逆推法解题时，先按顺序画好框，再逆着往回 填，每一步都是逆运算。
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一、单变量的还原问题
【例1】杨老师有一张卡，先刷卡消费了钱的一半，又
存入了200元，接着取款700元，现在还剩500元。卡上 原有多少钱？
顺序画图，倒序列式
原有钱 ÷2 +200 -700 500
喝光壶中酒。
试问酒壶中， 原有多少酒？
结论：不管壶中原有多少酒，最终喝了都是3斗酒。
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【例5】抢30游戏
游戏规则： 1.两个人参加比赛 2. 每个人每次数一个数或两个数，从 1 开 始，谁先数到30谁就胜。 制胜秘诀： 1.争取让对方先数 2.每次要抢到3的倍数，即3、6、9、12、 15、18、21、24、27、30。
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【例3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后， 又从乙桶中倒出 1/5 给甲桶，这时两桶油各有 24 千克， 原来甲乙两个桶中各有多少千克油？
【练习3】 1.小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现有的画片中 拿出1/4给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少 张？ 2. 甲乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5 给乙后，乙又拿出 1/4 给甲，这时他们各有90元。他们原来各有多少元？
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【例5】甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲运出1/4 到乙，又从乙运出 1/4 到甲，这时甲乙两仓库的粮食 储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
【练习5】 1.甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后， 又从乙仓库运出1/3到甲仓库，这时甲乙两仓库的粮食储量相等， 原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？ 2.甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/5到乙仓库后， 又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲乙两仓库的粮食储量相等， 原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？ 3. 甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/3到乙仓库后， 又从乙仓库运出2/5到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的9/10， 原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
逆推与图解
金华职业技术学院师范学院 周佩青
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猜年龄
【引例】有一次，李老师带着37个学生去郊外春游， 休息时学生问老师：“老师你今年多少岁了？”老师说： “我的年龄乘 3 ，减 15 后，再除以 2 ，加上 8 ，结果恰好 是我们今天参加活动的总人数”。猜一猜，李老师今年 多少岁？
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【例 2】筑路队修一段路，第一天修了全长的 1/5 又 100 米，第二天修了余下的 2/7 ，还剩 500 米，这段公 路全长多少米？
【练习2】 1.一堆煤，上午运走2/7，下午运的是上午余下的1/3还多6吨，最 后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？ 2. 用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的 1/3又3公顷，第二天 耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷。这块地共有多少公顷？
解析：这一题的答案不唯一。 “最后剩下的再四等份后还是剩下一个”，这时每份最少是一个 球，也可能是2个、3个„„。当最后每份是1个球时，这堆乒乓球 最少。我们先求出这堆乒乓球最少有多少个。 假设最后每份1个球，则第二次分之后剩下球：1×4+1=5（个）； 第二次剩下的5个球也就是第二次四等份时，其中的一份。所以， 第一次分之后剩下球：5×4+1=21（个）； 第一次剩下的21个球也就是第一次四等份时其中的一份。所以这 堆乒乓球原有21×4+1=85个 所以，这堆乒乓球最少85个，当我们假设最后每份是2个、3个 „„时，可以得到不同的答案。
-1 -1 -1
喝光
×2
×2
×2
原有
0 ÷2 +1 ÷2 +1 ÷2 1
7 8
7 4
3 4
3 2
1 2
+1
0
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-1
原有
-1
×2
×2
×2
-1
喝光
0 +1
1
2
1 8
1 8
+1
1 8
÷2
1 4
÷2
1 2
÷2 1
+1 0
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问题2.三遇店和花没有规定顺序，只要遇到三次 店和三次花都可以，此题还有哪些可能？