材料结构和基本性能

交换律，即
ai ·bj=bj ·ai
两个群的直接积G以 G G AGB 表示：
G G AG B {a1b1, a1b2 ,...a1bm ,...a2bm ,...anbm}
G是n×m阶群。群的直接积是扩大群的一种最简单的方法。
子群、母群及生殖元素
子群：若群GA的全部元素是群G中的元素，并且两者的结合律 相同，称GA是群G的子群，而G是群GA的母群。如果对称元素GA和 GB能够得到G的全部对称元素，则称这两个对称元素为群G中的两 个生殖元素(Generating Element).
这种点群符号和其对称操作符号相同。因为C1-1 点群只有 一种单一对称操作，所以，尽管点群符号和对称操作符号相同 也不会引起混乱。这种点群的生殖对称元素就是C1(E)，生殖 矩阵就是恒等操作的变换矩阵。这种点群的极射投影图如附图 1(a)所示。
附图1
在图中没有标出对称元素的投影，因为 任何方向都可以是1次轴，故不能标出它的位 置。投影图中的一般位置点的等效点只有一 个点，因为经对称操作后这个点仍在原来位 置。
附图1
除了上述两种点群，我们不可能再 增加任何对称操作而使物体仍属于三斜 晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有 两种。 Ci-1点群的对称操作最多(不严 格地说它具有最高的对称性)，称这种 点群为该晶系的全对称点群。
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置 的正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同，即与点群 的阶数相同。
上述的两种导出方法有一个共同的缺点，就是导出点群后， 还要再确定每一种点群分属于哪一种晶系。
C)用推导7种晶系的方法也可以推导出32种点群。对每一种晶 系在保证晶系的对称性不变的前提下，加入可能的对称操 作，这种导出方法的优点在于使点群与晶系的关系十分明 确。
下面将用这种方法导出32种点群。 在导出点群时应该注意到在每一个点群中都有主导生
立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴， 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等 效点系共有48个点。
5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看 到立方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另 外，立方晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的 点群D4h-4／mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就 比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
材料结构和基本性能
第三章点群、空间群和晶ห้องสมุดไป่ตู้结构
引言
群(Group）是某些具有相互联系规律的元素的组合.晶体对称 操作符合一定规律的组合，这种群即是对称群（Symmetry Group ）。晶体外形是一个有限对称图象，对其进行对称操作时，至少 保持一点不动，即这些操作是点对称操作，它们组成点对称群， 称为点群（Point Group）。 讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。
3.2点群的描述及图示
一组变换矩阵表示
点群 极射投影
该点群所有元素的极射投影以及一般位置点的正规点系 (Regular Point System,RPS)的极射投影。
一般位置点指不处在对称元素上的点；正规点系是指某一点 经过点群所有对称操作导出的全部点的集合。
一般位置点的正规点系的总点数（又称等效位置点数）和点 群的阶数相等。
在垂直于循环群对称轴的方向加上2次对称轴；在垂直于循环 轴的方向或包含循环轴加上镜面；用非真旋转轴代替真旋转轴等。 用这些操作或者这些操作的某一种组合可能会得出一些新的点群。
B) 首先找出仅由真旋转构成的所有群，这种纯旋转结晶学点群 共有11种。然后在这11种点群的基础上，把每一种都加上反演对 称操作，又获得11种点群。由这11种中心对称点群，又可以找出 与11种纯旋转点群不同的10种非中心对称子群，最后导出了32种 点群，是一种最快和最好的方法。
2)如果物体有1(E)和1(i)对称操作，这个点 群是2阶的：{E，i}或{1，1}。点群的熊夫利斯 符号是Ci，国际简略符号是1，即点群的符号 是Ci-1。这个点群的生殖对称元素是1，生殖 矩阵就是反演操作的变换矩阵。这种点群的极 射投影图如附图l(b)所示：在图中心标出对称 中心。一般位置点的等效点系是一个在上半球 (用●表示)，另一个在下半球(用○表示)的2个等 效点。
3.1 群的概念和基本性质
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可 以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质：
封闭性（Closure）
群G的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自 身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。
在极射投影时，点群中所有对称操作都经过投影基圆中心。
3.3点群的推导方法
通过对晶体外形的研究，人们发现共有32种晶态，每一种晶态 对应着一种点群。可以用不同方法导出32种点群。
A)从五种循环群1(C1)、2(C2)、3(C3)、4(C4)、6(C6)开始，再在 每种循环群上加进各种新的对称操作，最终导出32种点群。 例如：
殖对称元素，群内其它对称元素可以由主导生殖对称元素 组合增殖生成。如果由一组矩阵表示点群，则生殖对称元 素的变换矩阵就是点群的生成矩阵。
三斜晶系
三斜晶系单胞的棱长及其夹角不受任何限制。它可能的对称 操作是1(C1)或1(i)。这晶系可以有2个点群。
1) 如果物体只有一个1(C1)恒等操作，它所属的点群是1阶 的{C1)或{1}。其熊夫利斯符号是C1，国际简略符号是l，即点 群符号是C1-1。
有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素 本身。
群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element）使 得两者相乘为其本身。
以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性 质。
两个独立群的直接积
设有两个独立群GA和GB，其中GA是n阶群，GB是m阶群。两个 群中除了恒等元素外，没有其它共有元素，两个群的元素间相乘有