信道编码

2. 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。发 端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传 输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备 较复杂。
3. 混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC 和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错 能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的
现传输中的一位错误。如果是(3,1)重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判 为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检出两个错误。
码的最小距离d0 直接关系着码的检错和纠错能力；任 一(n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小 距离d0≥t+e+1。
2.3.5 恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。
由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比
码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元 中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。
目前我国电传通信中普遍采用 3∶2 码，又称“5 中取 3”
S3指示23-1种不同的错误图样，校正子与错码位置的对应关 系如表2-5所示。
表2-5 校正子与错码位置的对应关系
S1 S2 S3 001 010 100 011
错码位置 a0 a1 a2 a3
S1 S2 S3 101 110 111 000
的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。这时可能 编成的不同码组数目等于从 5 中取 3 的组合数 10，这 10 个许 用码组恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如表 7 - 1 所示。而每个 汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后， 我国汉字电报的差错率大为降低。
表 2-3 3∶2 恒比码
2.3简单分组码
2.3.1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码 组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元， 码重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为奇
监督码和偶监督码。
设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
an1 an2 a1 a0 0
纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力，
但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具 有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此， 近年来得到广泛应用。
另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三 类：随机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信 道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错 误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发
a4 a4 a4
(2-４)
表2-4（7，3）分组码的八个码字
序号 0 1 2 000 001 010 码 元 信息元 监督元 0000 1101 0111
3
4 5 6 7
011
100 101 110 111
1010
1110 0011 1001 0100
我们可以把(n，k)线性分组码看成一个n维线性空间， 每一个码字就是这个空间的一个矢量。n维线性空间长度为 n的码组共有2n个，但线性分组码的码字共有2k个，k<n。显 然，这2k个分组码构成了n维线性空间的K维线性子空间，
差错控制编码
2.1 概述 2.2 检错与纠错原理 2.3 简单分组码
2.4 线性分组码
2.5 循环码
2.6 卷积码
2.7级联码和TCM
2.1 概 述
2.1.1 信源编码与信道编码
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和
信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使
模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率，
它是线性分组码的许用码组，剩余的空间构成的码组是禁
用码组。
2.4.2汉明(Hamming)码 汉明码是一种用来纠正单个错误的线性分组码，已作为差 错控制码广泛用于数字通信和数据存储系统中。 一般来说，若码长为n，信息位为k，则监督元为r=n-k。
如果求用r个监督位构造出r个监督方程能纠正一位或一位以上
设分组码中信息位k=4，又假设该码能纠正一位错码， 这时d0≥3，要满足2r-1≥n，取r≤3时，当r=3时，n=k+r=7，这 样就构成了（7，4）汉明码。这里用A=［a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0］ 表示码字，其中前4位是信息元，后3位是监督元，用S1，S2，
S3表示由3个监督方程得到的3个校正子。3个校正子S1，S2，
图2-1 差错控制方式的系统构成
1. 检错重发方式 检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判 决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这
一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息
再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信 道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。
提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生 误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低 接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外， 还可以采用信道编码技术。
2.1.2 差错控制方式 常用的差错控制方式有三种：检错重发、前向纠错和 混合纠错。它们的系统构成如图2-1所示, 图中有斜线的方 框图表示在该端检出错误。
(2-2)
奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数， 即 满足条件
an1 an2 a0 1
而检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为
(2-3)
R (n 1) / n
2.3.2
水平奇偶监督码
为了提高奇偶监督码的检错能力，特别是克服其不能检
测突发错误的缺点，可以将经过奇偶监督的码元序列按行排 成方阵，每行为一组奇偶监督码，如表2-1所示。发送时按 列的顺序传输，接收时仍将码元序列还原为发送时的方阵形 式，然后按行进行奇偶校验。
这种码具有较强的检测能力，适于检测突发错误，还可用
于纠错。
表2-2 (66,50)行列监督码
1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
2.4 线 性 分 组 码
2.4.1基本概念 在(n,k)分组码中，若每一个监督元都是码组中某些信息元 按模二加而得到的，即监督元是按线性关系相加而得到的， 则称为线性分组码。或者说，可用线性方程组表述码规律性 的分组码称为线性分组码。线性分组码是一类重要的纠错码，
应用很广泛。现以（7，3）分组码为例说明线性分组码的意
分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码
元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，
简称码长。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，
分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元， 组成长为n的码字。在二进制情况下，共有2k个不同的信息 组，相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。
在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量， 简 称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码 组的汉明(Hamming)距离， 简称码距。例如 11000 与 10011之 间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为 码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数，
它是衡量码检错、纠错能力的依据。
2. 检错和纠错能力 若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的 简单重复， 则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检错 码， 并有一定的纠错能力。例如(2,1)重复码，两个许用码组是
00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，可以发
义和特点。
现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码 字为A=［a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0］，其中前 4 位是信息元，后 3 位是监督元， 可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监 督元。
a3 a 2 a1 a 0
a6 a6 a6 a5 a5 a5
表2-1水平奇偶监督码 信息码元 1110011000 1101001101 1000011101 0001000010 1100111011 监督码元 1 0 1 0 1
2.3.3 行列监督码 奇偶监督码不能发现偶数个错误。为了改善这种情况，引 入行列监督码。这种码不仅对水平(行)方向的码元，而且对垂直 (列)方向的码元实施奇偶监督。这种码既可以逐行传输，也可 以逐列传输。一般地，L×M个信息元附加L+M+1个监督元，组成 (LM+L+M+1,LM)行列监督码的一个码字(L+1行，M+1列)。图 2 是(66,50)行列监督码的一个码字。 2-
(2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。 分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不 仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若干组的信息元有关。 (3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
2.2.2检错与纠错的原理 1. 分组码
信道， 错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错
误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子， 随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信 道，应采用不同的差错控制方式。
2.2 检错与纠错原理
2.2.1纠错码的分类
(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。
0 0 1 0 1 0
2.3.4群计数码 把信息码元中“1”的个数用二进制数字表示，并作为监
督码元放在信息码元的后面，这样构成的码称为群计数码。
例如，一码组的信息码元为1010111，其中“1”的个数为5， 用二进制数字表示为“101”，将它作为监督码元附加在信息 码元之后，即传输的码组为1010111101。群ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数码有较强 的检错能力，除了同时出现码组中“1”变“0”和“0”变“1” 的成对错误外，它能纠正所有形式的错误。
3. 编码效率 用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有效
性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:
k R def n
其中, k是信息元的个数，n为码长。
（2-1）
对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码 效率尽量高；编码规律尽量简单。 际中要根据具体指标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编码效率，并且易于实现。
错误的线性码，则必须有
2r-1≥n
现以(n,k)汉明码为例来说明线性分组码的特点。
（2-5）
在前面讨论奇偶监督码时，如考虑偶监督，则用式（22）作为监督方程，而在接收端译码时，实际是按下式计算 的：
S an1 an2 a1 a0
(2-6)
若S=0，就认为无错；若S=1，就认为有错，我们称上式为监督 方程，S校正子（校验子），又称伴随式。如果增加一位监督 元，就可以写出两个监督方程，计算出两个校正子S1和S2。S1S2 为00时，表示无错；S1S2为01、10、11时，指示3种不同的错误 图样。由此可见，若有r位监督元，就可以构成r个监督方程， 计算得到的校正子有r位，可用来指示2r-1种不同的错误图样，r 位校正子为全零时，表示无错。