全等三角形整章内容绝对经典

A
D
B
C
找出下列全等三角形 的对应边、对应角
A △ABC≌△ADE
B D
E C
找出下列全等三角形的 对应边、对应角
△ADE≌△CBF
A
E
B
D
F
C
找出下列全等三角形 的对应边、对应角 △ABN≌△ACM
A
B
M
N
C
如图△ABD≌△EBC
1、请找出对应边和对应角。 AB和EB、BC和BD、AD和EC
即AE=CF ∵BE∥DF（已知）
D
C
∴∠DFC=∠AEB（两直线平行内错角相等）
在△ABE和△CDF中
AE=CF(已证)
∠DFC=∠AEB(已证)
BE=DF(已知)
∴△ABE≌△CDF（SAS）
如图有一池塘,要测池塘两端A、B的距离， 可先在平地上取一个可以直接到达A和B的 点C，连接AC并延长到D,使CA=CD；连接 BC并延长到E，使CE=CB,连接DE,量出DE 的长就是A、B的距离，为什么？
A
A'
B
C B'
C'
在△ABC与△A'B'C'中， ∵AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C' ∴ △ABC≌△A'B'C'
如图,△ABC是一个钢架AB=AC,AD 是连接点A与BC中点D的支架。 求证△ABD≌△ACD
A
B D
C
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
A
在△ABD与△ACD中
3.“全等”用符号“ ≌”来表示，读
作“全等于 ” 4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等 5.书写全等式时要求把对应字母放在 对应的位置上
全等三角形
2全等三角形的判定
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等， 对应角相等
反过来成立吗？
如果两个三角形的对应边相等， 对应角相等，那么这两个三角 形全等？
先任意画一个△ABC，再画一个 △A’B’C’，使A’B’=AB， ∠A’= ∠A，AC=A’C’，(即使 有两边和它们的夹角对应相等)， 把画好的△A’B’C’ 剪下，放 到△ABC上，它们全等吗？
画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，
C
A’C’=AC，
C’
∠A’= ∠A ；
A
B A’
B’
1、画∠DA’E= ∠A ；
D.3∠C=2(∠1+∠2) E
F
C
把四边形ABCD纸片沿EF折叠使点C落在四边形ABCD
内部，如图,则∠C与∠1+∠2之间的一种数量关系始终
保持不变，这个规律是( )
由题可知∠CEF=∠C'EF
∠CFE=∠C'FE
A
∴∠1=180-2∠CEF
∠2=180-2∠CFE ∵∠C=180-（∠CEF+∠CFE） B ∴∠CEF+∠CFE=180-∠C
解：∵△EFG ≌ △NMH ∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.3
∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2
△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°， ∠B=30°，说出△ACE中各角的大小？
解：∵ △ABD≌△ACE， ∴∠AEC= ∠ADB=1000 ，
∠C= ∠B=300， 又
∵∠A+∠AEC+∠C=180° ∴∠A=1800- ∠AEC- ∠C
2、如果AB=3cm,BC=5cm,
C
求BE、BD的长.
解：∵△ABD ≌ △EBC ∴AB=EB，BC=BD ∵AB=3cm,BC=5cm ∴BE=3cm,BD=5cm
DE
B
A
已知△EFG≌△NMH E H
M
F
G
1.请找出对应边和对应角。 N
2.如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,
HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
﹛AB=AC，(已知) B BD=CD，(已证)
D
C
AD=AD，(公共边)
∴ △ABD≌ △ACD(SSS）
从例题中可以看出，证明 是由题设(已知)出发，经 过一步步推理，最后推出 结论(求证)正确的过程。
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F 在一条直线上，AD=FB。要用“边边 边 ”证明△ABD≌ △FDE，除了已知中的 AC=FE，BC=DE以还应该有什么条件？ 怎样才能得到这个条件？
分析：如果能证明△ABC≌△DEC，
就可以得到AB__=__DE
在△ABC与△DEC中，CA=CD， CB=CE，△ABC≌△DEC还差一个条
件是： ∠1=∠2
证明： 在△ABC与△DEF 中 CA=CD， (已知) ∠1=∠2 ， (对顶角相等) CB=CE， (已知)
∴ △ABC≌△DEF(SAS）
4.对应角所对的边是对应边，对应 边所对的角是对应角． 5.在两个全等三角形中最长边对最 长边，最短边对最短边，最大角对 最大角，最小角对最小角。
找出下列全等三角形的对 应边、对应角
A
△ABD≌△CBD
B
D
C
找出下列全等三角形
的对应边、对应角
△AOD≌△COD
D
A O
C B
全等三角形的判定 △ABD≌△CDB 找出图中相等的角和线段？ 判断AD与BC的关系？
反过来如果 ABC与A' B' C' 满足 AB A' B', BC B'C', CA C' A', A A', B B', C C', 就能保证ABC A' B'C'吗？ ABC与A' B'C'满足六个条件 中的一部分是否也能判 定这两 个三角形全等呢？
本节就来讨论这个问题
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A’B’C’，使△ABC与△A’B’C’满足 上六个条件中的一个或两个。你画出 的△A’B’C’与△ABC一定全等吗？
对应角？
记两个三角形全等时， 注意 通常把表示对应顶点的
字母写在对应的位置上。
A
E
B
CF
D
ABC≌ DEF
ABC≌ ΔEFD
两个全等三角形的位置变化了，对 应边、对应角的大小有没有变化？ 由此你能得到什么结论？
A
D
B
A
C EM
SF
C
O
O B
D
N
T
全等三角形的对应边相等，全 等三角形的对应角相等.
A D
E
C
B F
∵AD=FB ∴AD+BD=BF+BD A
即AB=DF
D
在△ABC和△FDE中 AC=EF（已知）
E
BC=DE（已知）
AB=DF（已证）
∴△ABC≌△FDE(SSS)
C
B F
工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如 下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB 上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相 同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射 线OC便是∠AOB的平分线.为什么？
=1800-1000-300=500
如图,已知△AOC ≌△BOD 求证：AC∥BD
把四边形ABCD纸片沿EF折叠使点C
落在四边形ABCD内部，如图,则∠C
与∠1+∠2之间的一种数量关系始终保
B 持不变，这个规律是( ) A
A.∠C=∠1+∠2
B.2∠C=∠1+∠2 B C.3∠C=∠1+∠2
1 C′ 2 D
A
如图：∵△ABC≌ △DFE
B
C
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE
D
∵△ABC≌ △DFE
F
E
∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E
如图, △ABC≌△DCB，
指出所有的对应边和 A
D
对应角。
O
B
C
解：∵△ABC≌△DCB
∴AB与DC，BC与CB，
AC与BD是对应边
∠A与∠ D，∠ABC与∠DCB，
两个图形全等,它们的形状 一定相同,大小一定相等！
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
E
D
A
B
C
下列两三角形是怎样由
一个三角形得到另一个
三角形？它们有什么特
点？ A
B
D
A
B
C
D
C
E
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
一个三角形经过平移、 旋转、翻折后所得到的三角 形与原三角形全等。
规律三：有公共角的，公共角是对应角
F D
先写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角
A
∵△ABC≌△FDE
∴AB=FD,AC=FE,
BC=DE
B
∴∠A=∠F,
∠B=∠D,
∠ACB=∠FED.
C
E
1.有公共边的，公共边一定是对应 边。 2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
如图,已知点A,F,E,C在同一条直线 上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.AB与CD相等吗？ 请说明理由.
A
B
F Ｅ
D
C
如图,已知点A,F,E,C在同一条直线
上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.AB与CD相等吗？请说
明理由.
A
B
解：AB=CD
理由 ∵AF=CE(已知)
F Ｅ
∴AF+FE=CE+FE（等量加等量仍相等）
1 C′ 2 D
∵∠1+∠2=360-2∠CEF-2∠CFE E
F
∴∠1+∠2=360-2（∠CEF+∠CFE） C
∴∠CEF+∠CFE=180-½（∠1+∠2）
即180-∠C=180-½（∠1+∠2）
化简得2∠C=∠1+∠2
如图,AB⊥BC,△ABE≌△ECD判断AE与
DE的关系,并说明理由。
AE=DE且AE⊥DE 理由
两个直角三角形，有一个角相等， 它们全等吗？
有一条边相等的两个三角形全等 吗？
一边、一角相等的两个三角形全 等吗？
通过画图我们可以发现，满足上述六个 条件中的一个或两个，△ABC与△A'B'C' 不一定全等。满足三个条件呢？能保证 他们全等吗？我们来分情况讨论。
先任意画一个△ABC再画一个△A'B'C'使 A'B'=AB，B'C'=BC,C'A'=CA把画好的 △A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
1、能够完全重合的两个
三角形,叫全等三角形
A
D
B
C
E
F
对应顶点是点A和点D， 对应角是∠A和∠D，
点B和点E，点C和点F；∠B和∠E,∠C和∠F
A
D
B
CE
F
“全等”用符号“≌ ”表示
图中的你△能A否BC直和接△D从E记F全作等， ∆A记B作C:△≌ A∆BDCE≌F△中D判EF断出所 有读的作对:△应A顶BC点全、等于对△应D边EF和
∴AB=DF, CB=EF,AC=DE.
∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C=∠DEF.
先写出全等式，再指出 C 它们的对应边和对应角
A
B
∵△ABC≌△ABD D ∴AB=AB,BC=BD,
AC=AD. ∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD
∠C= ∠D.
规律一：有公共边的，公共边是对应边
先写出全等式，再指出它
从例题中可以看出，证明线 段相等或角相等，常用的方 法是证明两个三角形全等。 也就是说把线段或者角放入 到所属的三角形中，利用三 角形全等来证明。
2、在射线A’D上截取A’B’=AB，在 射线A’E上截取A’C’=AC；
3、连接线段B’C’；
探究3反应了什么规律？
全等三角形判定公理2
两边和它们的夹角对应相等 的两个三角形全等(可简写 成SAS)
C
C’
A
B A’
B’
在△ABC与△A’B’C’中， ∵AB=A’B’，AC=A’C’， ∠A’= ∠A ∴ △ABC≌ △A’B’C’
画一个△A'B'C'，
使A'B'=AB，
A
A'
A'C'=AC，
B'C'=BC；
B
C B'
C'
1、画线段B'C'=BC； 2、分别以B'、C'为圆心，线段AB，
AC为半径画弧，两弧交于点A'；
3、连接线段A'B’，A'C'；
探究2反应了什么规律？
全等三角形判定公理1
三边对应相等的两个三 角形全等. (可简写成SSS)
A
DLeabharlann Baidu
∵AB⊥BC
∴∠B=90°
∵△ABE≌△ECD
∴∠ACE==∠DBE=9∠0A°=∠DECB
E
C
在Rt△ABE中∠A+∠AEB=90
∴∠DEC+∠AEB=90
∴∠AED=90即AE⊥DE
课堂小结
1.能够完全重合的两个图形叫做 全等形 。 其中：互相重合的顶点叫做＿对＿应＿顶点
互相重合的边叫做＿对＿应＿边＿ 互相重合的角叫做＿对＿应＿角 2.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
们的对应边和对应角
D
B
o
∵△AOC≌△BOD
∴AO=BO,AC=BD,OC=OAD.
C
∴∠A=∠B,∠C=∠D,
∠AOC= ∠BOD.
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
先写出全等式，再 指出它们的对应边 A 和对应角
∵△ABC≌△ADE
E
C
∴AB=AD,AC=AE, BC=DE
B
D
∴∠A=∠A,∠B=∠D, ∠ACB= ∠AED.
全等三角形
1全等三角形概念及性质
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
每组的两个图形有 什么特点?
完全重合
• 形状、大小相同的图形放在一 起能够完全重合。
• 能够完全重合的两个图形叫做 全等形
• 能够完全重合的两个三角形叫 做全等三角形
下面三组图形，它们是不是全 等图形？为什么？
形状相同
大小相同
∠ACB与∠DBC是对应角
例题讲解，掌握新知
图中
A
D
△ABO≌△DCO，
O
试写出这两个三
角形中相等的边 和相等的角。
B
C
解：∵△ABO≌△DCO ∴AB=DC，BO=CO，AO=DO ∠A=∠ D，∠ABO=∠DCO， ∠AOB=∠DOC
先写出全等式，再指出它 们的对应边和对应角
A
D
C
E
B
F
∵△ACB≌△DEF