高考数学归纳法知识点精华总结
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数学归纳法
(1)数学归纳法的基本形式
设P (n )是关于自然数n 的命题,若 1°P (n 0)成立(奠基)
2°假设P (k )成立(k ≥n 0),可以推出P (k +1)成立(归纳),则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立 典型题例示范讲解
例3是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12
)
1(+n n (an 2+bn +c ) 解 假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立,
这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪
⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧++=++=++=10
113 3970)24(2122)(614c b a c
b a
c b a c b a
于是,对n =1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n (n +1)2=
)10113(12
)
1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2
设n =k 时上式成立,即S k =12)
1(+k k (3k 2+11k +10)
那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2
)
1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2
=12
)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)
=12
)2)(1(++k k [3(k +1)2+11(k +1)+10]
也就是说,等式对n =k +1也成立
综上所述,当a =3,b =11,c =10时,题设对一切自然数n 均成立
学生巩固练习
1 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n ),则最大的m 的值为( )
A 30
B 26
C 36
D 6
2 用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除,其中n ∈N *
3 已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+
n
b 1
)(其中a >0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和,试比较S n 与
3
1
log a b n +1的大小,并证明你的结论 4 设实数q 满足|q |<1,数列{a n }满足 a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=-q n ,求a n 表达式,又如果
lim ∞
→n S 2n <3,求q 的取值范围
参考答案
1 解析 ∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除,猜想f (n )能被36整除 证明 n =1,2时,由上得证,设n =k (k ≥2)时, f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除,则n =k +1时, f (k +1)-f (k )=(2k +9)·3k +1-(2k +7)·3k =(6k +27)·3k -(2k +7)·3k
=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k -
2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除
∵f (1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m 值等于36 答案 C
2 证明 (1)当n =1时,42×
1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n =k 时,42k +1+3k +2能被13整除,则当n =k +1时, 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3-42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)
∵42k +1·13能被13整除,42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立
由①②知,当n ∈N *时,42n +1+3n +2能被13整除 3 (1)解 设数列{b n }的公差为d ,
由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=311452)
110(10101
111d b d b b ,∴b n =3n -2 (2)证明 由b n =3n -2知
S n =log a (1+1)+log a (1+
41)+…+log a (1+231
-n ) =log a [(1+1)(1+41)…(1+ 2
31
-n )]
而31log a b n +1=log a 313+n ,于是,比较S n 与3
1
log a b n +1
的大小
⇔比较(1+1)(1+
41)…(1+2
31-n )与313+n 的大小 取n =1,有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2,有(1+1)(1+33312378)4
1+⨯=>>
推测 (1+1)(1+
41)…(1+2
31-n )>313+n (*) ①当n =1时,已验证(*)式成立
②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+41)…(1+2
31
-k )>313+k
则当n =k +1时,
)1
31
1(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k
3
131
323+++=
k k k
333
2
2233
333
1)1(343)23(1
31
30)
13(49)13()13)(43()23()43()131
323(
++=+>+++∴
>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k 31)1(3)1
31
1)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,
即当n =k +1时,(*)式成立
由①②知,(*)式对任意正整数n 都成立
于是,当a >1时,S n >31
log a b n +1,
当 0<a <1时,S n <3
1
log a b n +1
4 解 ∵a 1·a 2=-q ,a 1=2,a 2≠0,
∴q ≠0,a 2=-2
9
,
∵a n ·a n +1=-q n ,a n +1·a n +2=-q n +1
两式相除,得
q
a a n n 1
2=+,即a n +2=q ·a n 于是,a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想 a 2n +1=-
2
1q n
(n =1,2,3,…)