矩阵分析

《矩阵分析》作业布置

第三章 章末习题：3-1，3-30，3-25，3-12，3-13，3-14，3-27，3-20，3-19，3-28（1）（2） 3-26，3-22，3-9，3-3（1），3-16，3-23 注：题3-261λ2

应改为1

λ 2

补充题：

#3*1 试证：向量长度的齐次性，即,,.n k k

k C C ααα=∀∈∈

#3*2 试证：在任意酉空间V 中成立广义商高定理： 2

2

2

,&(,)0V αβαβαβ

αβ∈=⇒+=+

#3*3令()()()1231,1,1,1,3,3,1,1,2,0,6,8T

T

T

ααα==--=-。求12,3{,}Span ααα的一个标准正交基。

#3*4 试证下列矩阵是酉矩阵：（i

）0000

1⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪

⎪⎝

⎭

（ii ）0i 000i i 00⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪-⎝⎭，

#3*5 用归纳法证明下列结论：（i ） 对任意正整数n 成立1+3+5+……+（2n-1）=2

n .(ii)对任意正整数k 成立：

2

22

11k

1&(,)0,k i j k

V i j αααααααα∈=∀≠⇒+=+………………

#3*6 试证：A=001

0001i

i i ⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪+⎝⎭

，(i =为正规矩阵。试问：A 是否为H 矩阵，反H 矩阵，或酉矩阵？为什么？

#3*7 试证：对正定矩阵A 存在正定矩阵S 使得k

S A =，其中k 为任意正整数。

第四章 章末习题：4-1（1）（2）；4-2 （其中矩阵A 代之以101001⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

）

补充题： #4*1 ***,,,,,m n

m m n n A B C

A UBV U U V U ∈=∈∈若则称

B 与A 酉等价。

试证：B 与A 酉等价当且仅当B 与A 有相同奇异值集。 #4*2 设***A ,,m n m m n n r C U U V U ∈∈∈使得*

1r 0,(,00U AV diag b Λ⎛⎫

=Λ=

⎪⎝⎭

……，b），

试证：1r b ,b ……，为A 的全部非零奇异值。

#4*3 令A 的非零奇异值为1r ,σσ……求1,,T A A A -（当A 满秩时）的非零奇异值。

第五章 章末习题：5-1（2），5-2（2），5-3，5-4，5-6，5-7，5-9（改为11218110

k

k

∞

⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑） 补充题： #5*1 已知：A=1,0.0a a a ⎛⎫>

⎪⎝⎭

（i ）给出k

A 的一般公式（用归纳法）

。 （ii ）求1

(),,k

k k

A A

A ρ∞

。（iii ）求2

k A

#5*2 试证：若

1

k

k A

∞

=∑绝对收敛且()

(),k k ij

ij

a b

≥,,,i j k ∀则1

k k B ∞

=∑绝对收敛。

#5*3 已知：121211A -⎛⎫

= ⎪

-⎝⎭

。幂级数0k k A ∞

=∑是否收敛？若收敛，又收敛于什么矩阵？ #5*4 试证：0(2)!

k k A k ∞

=∑对一切*n n

A C ∈绝对收敛。

#5*5 下列矩阵幂级数是否绝对收敛？

（i ）011,02k k A A ∞

=⎛⎫= ⎪

⎝⎭∑ （ii ）00

0.30.80.70.10.10.20.40k

k A A k ∞

=-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

∑， （iii ）0 1.20.5, 1.10.82k

k k A A ∞

=⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑

章末习题：6-5（1）（4） 6-6

补充题：

#6*1 已知: 43121110

200111,()21,()443113A p f λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪==-+-=-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭

求 P(A)与f(A)

#6*2 已知：3243A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭

，求A 的Jordan 标准型与变换矩阵。并计算: ,sin tA

e A .

第八章 章末习题：8-1 改A=210003211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

。8-2只求A +

。8-4（3）（6）

补充题：

8*1 求112223A -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的形如（8.14）的减号逆

#8*2 试证：*m n

A C

∈的减号逆是*n m

C

的任一矩阵当且仅当A 是零矩阵。

#8*3 已知：A -

为*m n

A C ∈的任一减号逆，*,n m V W C ∈

试证：()()m n X A V E AA E A A W ---=+-+- 是A 的减号逆 #8*4 试证：定理8.2.1

#8*5 已知：111001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，试用两种方法求A +