矩阵分析与计算试题(备用)答案
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
矩阵分析习题参考答案
第三章1、已知A = (aj)是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间C n中向量0=(x,x2，川,4), P =(y i,y2,l||,y n)定义内积为3,B) =(X A B H(1)证明在上述定义下，c n是酉空间；(2)写出C n中的Canchy-Schwarz不等式。
.2 1-11-32、已知A = | [求N(A)的标傕正交基。
」1 1-10 1提示：即求方程AX =0的基础解系再正交化单位化。
3、已知3 0 8：]-1 -2 6(1)A= 3-16, (2)A= -103「2 0 -5_ --1 -1 4_试求酉矩阵U，使得U H AU是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子4、试证：在C n上的任何一个正交投影矩阵P是半正定的Hermite矩阵。
5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ,使U H AU为对角矩阵，已知__1_ 3V2 761i627311273 2 1i 4 3i 4i -6 -2i10 , (3)A=- -4i 4-3i -2-6i 90 6+2i -2-6i 0-16、试求正交矩阵Q, 使Q T AQ为对角矩阵，已知13I 13/2 i卜、」6d)A =(2) A =1H T7、试求矢I 阵P ,使P AP = E (或P AP = E ),已知i 1 i 2 2-20 1 , (2)A= 2 5 -412_ 「2 H 5 _18、设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于 —1 ,试证：矩阵E +U 满秩，且H = i(E-U)(E+U)是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E + iH 满秩，且U = (E + iH )(E — iH )」 是酉矩阵。
证明：若|E +U |=0,观察恨E-U|=0知-1为U 的特征值，矛盾，所以矩阵 E+U 满H 1秩。
H H =( ( E- U( E U =( 一 i E) U ( H E,段 H H = H ,只要口」 口 .-i E U (E U ) i W U -E) (U 1 )— H H=(E U 旧 U ) E= U E (U -)— H H=U U U U-故 H H = H由E+iH = —i(iE —H) =0知i 为H 的特征值。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵分析课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。
通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。
下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。
1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。
解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。
2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。
解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。
3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。
解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。
特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。
解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。
特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。
特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。
4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。
解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。
计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。
矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。
对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
(完整版)矩阵练习(带答案详解)
6.设A二、判断题(每小题 2分，共12分)kk k1.设A 、B 均为n 阶方阵，则 (AB) A B (k 为正整数)。
..........................(x )2•设 A,B,C 为 n 阶方阵，若 ABC I ，则 C 1 B 1A 1。
........................... ( x ) 3. 设A 、B 为n 阶方阵，若 AB 不可逆，贝U A, B 都不可逆。
................. (x ) 4. 设A 、B 为n 阶方阵，且AB 0,其中A 0,则B 0。
............................ ( x ) 5•设 A 、B 、C 都是 n 阶矩阵，且 AB I ,CA I ，贝U B C 。
...................................... ( V )、填空题:1.若A , B 为同阶方阵，则 (A B)(A B) A 2 B 2的 充分必要条件2. 3. 4. 5.AB BA 。
若n 阶方阵A , B , C 满足ABC 设A = B 都是n 阶可逆矩阵，若 为n 阶单位矩阵,B ,则CAB 。
2B7.设矩阵-1,B, A T 为A 的转置, 1则 A T B =28. A 3B 为秩等于2 的三阶方阵，贝U AB 的秩等于_26. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB AC，贝U B也是n阶对角矩阵。
••• ( x )7. 两个矩阵A与B，如果秩(A)等于秩(B),那么A与B等价。
.................... (x )8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵A T的秩相等。
................................. (V )三、选择题(每小题3分,共12分)1. 设A为3 x 4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3A T的秩等于(B )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的(C )(A) ABC A(BC) (B) kAB A( kB)(C)AB BA (D) C(A B) CA CB3.已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是( A )(A) AB BA (B) (AB)C A(BC)(C) (A B)C AC BC (D) C(A B) CA CB4.设PAQ I ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D )(A) A 1P 1Q 1(B) A 1Q 1P 1(C) A 1PQ (D) A 1QP5. 设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB BA，那么A必定是(B )(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵6. 两个n阶初等矩阵的乘积为( C )(A)初等矩阵(B)单位矩阵(C)可逆矩阵(D)不可逆矩阵7. 有矩阵A3 2 , B2 3 , C3 3，下列哪一个运算不可行(A )(A) AC (B) BC(C) ABC (D) AB C8.设A与B为矩阵且AC CB ,C为m n的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D )(A) n m m n (B) m n n m(C) n n mm (D) m m n n9. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列不正确的是 (B)2A 可逆(A ) A 0或 B 0(B) 代B 都不可逆13. 若A,B 都是n 阶方阵，且A,B 都可逆，则下述错误的是(14. A, B 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是(B ) A B(D ) BAB(A ) AB B (B ) AB BA(C )AA I(D )A 1 I16.设A,B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是(D )(A) 若A 和B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵 (B) 若 A 0 且 B 0 ,则 AB 0(C) 若AB 是奇异矩阵，则 A 和B 都是奇异矩阵 (D) 若AB 是可逆矩阵，则 A 和B 都是可逆矩阵 17. 若A 与B 均为n 阶非零矩阵，且 AB 0,则(A )(A) A 1可逆 (B)I A 可逆10. A,B 均n 阶为方阵, F 面等式成立的是(A ) AB BA (B ) (A B)T A T B T(C ) (A B) 1A 1B 11(D ) (AB) A1B 111.设A,B 都是n 阶矩阵，且AB 0，则下列一定成立的是((C )代B 中至少有一个不可逆 (D ) A12.设A,B 是两个n 阶可逆方阵，则 AB T1等于T 1 T 1(A) A T B T(B) B T 1 A T 1(C ) B 1 T (A 1)T(D )A T 1(A ) A B 也可逆 (B ) AB 也可逆(C ) B 1也可逆(D )1B 1也可逆(C) 2A 可逆(D)(A) AB (C ) BA 15•设A, B 均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是实用标准文档(A) R(A) n(C ) R(A) 0(B ) R(A) n(D) R( B) 0四、解答题:1 1 11 2 31.给定矩阵A2 13 ，B2 2 1求B T A 及A 13443 4 3解：1 23 1 1 14 95B T A2 2 4 2 13 6 12 8 ............................ ..(53 133444 8 6分）1 0 1 解：1100 1 111 0 1 1 1 0 0 1 140 111 1 1 A- — — 2 2 2 5 1 12221 0 1 1 2.求解矩阵方程1 1 0 X 40 1 111 3 32 2 5(5分)1 1 1 1 1 1 3.求解矩阵方程XA B，其中A 02 2 , B 1 1 01 1 02 1 1解：因为 A 6 所以A 可逆（4分）0 10 1 0 0 1 4 34.求解下F 面矩f 阵方程中 卞的矩i 阵 X : 10 0 X 0 0 1 2 0 10 10 1 01 2 0解:0 11 0 01 4 3令A1 0 0 ,B0 0 1 7 C2 0 1，则 A,B 均可逆，且0 010 1 0120 1 01 0 0A 11 0 0 , B 10 0 10 0 10 1 02 1 1所以XA 1 CB 11 3 41 024 2 35.设矩 阵A1 1 0 ，求矩阵 B : ，使其满足矩阵方程 AB A 2B.1 12 3解: ABA 2B 即（A2I ）B A........ 2分21231 4 3而（A 12I ）1 1 0 1 53 .......3分12 11 64.（2 分）1-34-313 5-6••（41 4 3 42 3所以B (A 2I ) 1A 1 5 3 1 1 01 6 4 12 33 8 6=2 9 6 . ....3分2 12 9五、证明题1.若A是反对称阵，证明A是对称阵。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
矩阵分析参考答案
矩阵分析参考答案矩阵分析参考答案矩阵分析是线性代数中的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算。
在实际应用中，矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将从矩阵分析的基本概念、性质和运算等方面，为读者提供一份参考答案。
首先，我们来介绍一些矩阵分析的基本概念。
矩阵是由数个数构成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12等表示矩阵中的元素。
矩阵的元素可以是实数、复数或其他数值类型。
矩阵的性质包括可逆性、对称性、正定性等。
一个矩阵如果存在逆矩阵，即乘以其逆矩阵后得到单位矩阵，那么该矩阵就是可逆的。
对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身，即A = A^T。
正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零。
接下来，我们来介绍一些矩阵的运算。
矩阵的加法和减法是按照对应元素相加和相减的规则进行的。
例如，对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的加法可以表示为C = A + B，其中C的元素为A和B对应元素的和。
矩阵的乘法是按照矩阵乘法的规则进行的。
例如，对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘法可以表示为C = AB，其中C为一个m行p列的矩阵，C的元素为A的行向量与B的列向量的内积。
除了基本的矩阵运算外，矩阵还有一些特殊的运算。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，即A的转置为A^T。
矩阵的迹是指矩阵主对角线上的元素之和，用Tr(A)表示。
矩阵的行列式是一个标量，用det(A)表示，它可以用来判断一个矩阵是否可逆。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的性质和变换。
最后，我们来讨论一些矩阵分析的应用。
矩阵分析与计算试题
六、(10 分)求矩阵 A
0
2
1
-
1
的满秩分解。
1 0 2 1
20 5 0 . 8
七、(10 分)
已知矩阵 A
4
10
1
，
用盖尔圆分离特征值
A
。
1 2 10 i
1 3 2 八、(12 分)用 Householder 变换求矩阵 A 2 - 2 3 的 QR 分解。
2 2 2
九、(10 分) 已知 Cnn 中的两种范数 a 与 b ，对于 A Cnn ，证明：
A
A
a
AH
b 是 Cnn 中的矩阵范数。
3 1 -1
十、(10 分) 计算矩阵 A 1 2 -1 的 Jordan 标准型。 21 0
矩阵分析与计算试题（备用题）
（2018-2019 学年第二学期硕士研究生期末考试）
一、(8 分) 设 T 是数域 C 上的线性空间，已知线性变换 T 在 V3 的基 x1, x2 , x3 下的
3 1 0
矩阵为 A - 4
-1
0，计算线性变换T Nhomakorabea的特征值和特征向量。
4 - 8 - 2
二、(8 分) 设 R 22 A aij 22 aij R （数域 R 上的二阶实方阵按照通常矩
Ak 的收敛性，其中 A k
2
k
k 1
0
3 4 1
k k
k
1
，
1 0 0
1
五、(12 分)
已知 A
0
1
0
，
bt
0
。 计算
1 - 2 2
et
1 eAt 。
矩阵分析复习题
矩阵分析复习题矩阵分析复习题矩阵分析是线性代数中的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算。
在实际应用中，矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
为了更好地掌握矩阵分析的知识，我们需要进行一些复习题的训练。
下面，我将给大家提供一些矩阵分析的复习题，希望能够帮助大家巩固知识。
1. 矩阵的转置运算是指将矩阵的行和列互换。
请问，对于一个m×n的矩阵A，它的转置矩阵AT是多少？答案：AT是一个n×m的矩阵，它的第i行第j列的元素等于原矩阵A的第j行第i列的元素。
2. 矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加得到一个新的矩阵。
请问，对于两个m×n的矩阵A和B，它们的和矩阵C是多少？答案：C是一个m×n的矩阵，它的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行第j列的元素加上矩阵B的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的乘法运算是指将两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵。
请问，对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积矩阵C是多少？答案：C是一个m×p的矩阵，它的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的元素的乘积之和。
4. 矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
请问，对于一个2×2的可逆矩阵A，它的逆矩阵A-1是多少？答案：设A=[a b; c d]，其中a、b、c、d是矩阵A的元素。
如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵A-1=[d/|A| -b/|A|; -c/|A| a/|A|]，其中|A|=ad-bc。
5. 矩阵的特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念。
请问，对于一个n×n的矩阵A，它的特征值和特征向量的定义是什么？答案：设矩阵A的特征值为λ，特征向量为x，则有Ax=λx。
特征值λ是一个标量，特征向量x是一个非零向量。
通过以上的复习题，我们可以巩固矩阵分析的基本知识。
矩阵的测试题及答案
矩阵的测试题及答案一、选择题1. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为矩阵C，若矩阵A是3x2矩阵，矩阵B是2x4矩阵，矩阵C的维度是：A. 3x2B. 3x4C. 2x4D. 4x3答案：B2. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [2 0; 0 2]D. [0 1; 1 0]答案：C3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的：A. 行数B. 列数C. 行列式D. 秩答案：B二、填空题4. 若矩阵A的行列式为3，矩阵B是A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式为______。
答案：95. 对于任意矩阵A，其逆矩阵A^-1与A的乘积结果是______。
答案：单位矩阵I三、简答题6. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3x3矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
答案：矩阵的特征值是指能使得线性方程组(A - λI)v = 0有非零解的标量λ，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵，v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。
对于一个3x3矩阵A，计算其特征值通常需要求解特征多项式det(A - λI) = 0，得到特征值λ后，将λ代入(A - λI)v = 0，求解线性方程组得到特征向量v。
四、计算题7. 给定两个矩阵A和B，其中A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算矩阵A和B的和以及A和B的乘积。
答案：矩阵A和B的和为 [6 8; 10 12]，矩阵A和B的乘积为[19 22; 43 50]。
8. 若矩阵C = [1 0; 0 1]，求矩阵C的100次幂。
答案：矩阵C的100次幂仍然是 [1 0; 0 1]，因为C是单位矩阵，其任何次幂都是其自身。
五、论述题9. 讨论矩阵的秩在解决线性方程组中的应用，并举例说明。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。
在线性方程组中，系数矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，则方程组有无穷多解。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
矩阵的运算与性质练习题及解析
矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。
表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。
例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。
规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。
逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
矩阵分析习题附答案
一、空题（每小题5分，共30分）1、若矩阵A =0110101002103202211010352234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的满秩分解为A =BC ，则 B =⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎦，C =⎡⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎦。
解：由初等行变换A =0110101002103202211010352234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→01101011300112200011010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1310100222133001022200011010000000⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 知：B =110021221352⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C =13101002221330010222110001⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
2、矩阵A =101010403-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的最小多项式为()ϕλ= 。
解：由于[]()()()21011011000100100140300314001I A λλλλλλλλλλ⎡⎤+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 知A 的初等因子为（λ—1），（λ—1）2，故A 的最小多项式为()ϕλ=（λ—1）2。
3、设1010221202A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则N （A ）的一个标准正交基为。
解：由于1213531235452101020222212020x x x x x Ax x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦等价于 135252020x x x x x ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，而其解空间的一个基为 α1=（-1，0，1，0，0）T ，α2=（0，0，0，1，0）T ，α3=（-2，2，0，0，1）T对其作标准正交化即得其一个标准正交基为（0，0，0）T ，（0，0，0，1，0）T ，（0，T 4、设12121121,;,2013e e e e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤''====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦为2R 的两个基，T 为2R 的线性变换，且1213(),()21T e T e ⎡⎤⎡⎤''==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则T 在基12,e e 下的矩阵为A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
矩阵分析课后习题答案
矩阵分析课后习题答案矩阵分析是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和经济学等。
通过矩阵分析，我们可以更好地理解和解决实际问题。
然而，学习矩阵分析过程中，经常会遇到各种复杂的习题，给学生带来困扰。
在这篇文章中，我将为大家提供一些常见矩阵分析课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。
1. 矩阵乘法的性质矩阵乘法是矩阵分析中的基础概念，了解其性质对于解决复杂的习题非常重要。
下面是几个常见的矩阵乘法性质的答案：- 乘法结合律：对于三个矩阵A、B和C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。
- 乘法分配律：对于三个矩阵A、B和C，满足A*(B+C) = A*B + A*C。
- 乘法单位元：对于任意矩阵A，满足A*I = I*A = A，其中I为单位矩阵。
2. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置和逆矩阵是矩阵分析中常见的概念，它们在解决线性方程组和求解特征值等问题中起到重要作用。
以下是一些常见的矩阵转置和逆矩阵的答案：- 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，即将A的行变为列，列变为行。
- 逆矩阵的存在性：如果一个n阶矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么AA^-1 =A^-1A = I，其中I为单位矩阵。
- 逆矩阵的计算：对于2阶矩阵A = [a b; c d]，如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵为A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]。
3. 矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在解决线性方程组和矩阵对角化等问题中起到关键作用。
以下是一些常见的特征值和特征向量的答案：- 特征值和特征向量的定义：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。
- 特征值的计算：特征值可以通过解方程|A-λI|=0来计算，其中I为单位矩阵。
- 特征向量的计算：对于给定的特征值λ，可以通过求解(A-λI)x=0来计算对应的特征向量。
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AHA，AAH [6],
3 分
由于非零特征值相同，故 A 2 6. 可得
B max - i 1，2 0,3 i 4， 1
B max - i 2 3，1 0 i 6，故
5 分
2 2i 4i
BHB
-
2i
4
6
，det
I - BHB
-
82
13
- 8 - 2 13
1 0 0
从而 J 0
2
1
。
10
分
0 0 2
1 ，R 0
- 2
0
4 0
0，即A QR。 12 分 1
九、(12 分)证明：（1）非负性。
A 0时，A a
0,
AH
0,从而 A
b
0，当A 0时，A a
0,
AH
b
0,从而 A
0.
3 分
（2）齐次性。 kA kA a kAH b k A . 5 分
（3）三角不等式。
AB
AB
A 的最小多项式 m 1 2 。 4 分
设
f
et
m g
a
b
,
则
f
f 1 et 2 e2t
a a
b, 2b,
a 2et
b
e2t
e2t , et ,
6
分
则
et
e At
at
bA
0
e2t et
0 et 2et 2e2t
0
0
， 8
分
e2t
有
xt eAt x0
a
AH BH
b
A
a
B a
AH
b
BH
b
A
B 。 8 分
（4）相容性。
AB AB BHAH A B BH AH A AH B BH A B .
a
b
aa
b
b
a
b
a
b
12 分
) 十、(10 分 解：特征多项式为：
det( I A ) ( 1)( 2 ) 2 3 分
由于 rank ( 2 I A ) 2 , 可知 ( 2 ) 2 有 1个初等因子， 6分 故 A 的初等因子为 ( 1), ( 2 ) 2 , 8分
特征值 3 -2，对应得特征向量为： 3 k0, 0, 1T . k 0 5 分
故线性变换 T 的特征值与特征向量为：
特征值 1 2 1，对应的特征向量为： k3x1 6x2 20x3 . k 0
特征值 3 -2，对应得特征向量为： kx3. k 0 8 分
二、（8 分）解：设 A aij 22 , B bij 22 V ，则有 a11 a22 0, b11 b22 0 。
1 3
2
2
1 -2
- 2， H1A 0
1
0
0 4
1， 4 分 0
令
A1
0 4
1 0
，则
2
-
2
e1
0 4
1 40
1
4
1
, ห้องสมุดไป่ตู้
可得 u 2
1 2
-11， 6
分
H2
I
-
2
u
2
u
T 2
0 1
1 0 ，H 2 A1
4 0
10， 8 分
1 2 2
3 1 4
则
Q
H1
1 0
0 H2
1 3
2 2
-2 1
3 分
因为 A B aij bij 22 , a11 b11 a22 b22 0, 5 分
kA kaij 22 , ka11 ka22 0,
7 分
所以 A B V，kA V，即 V 是 R 22 的子空间。 8 分
三、（10 分）解：
A 1 max - 1，2,1 2，A 1 2 1 4, 2分
,
- 4i 6 10
故
B 2
8 2 13 . 10 分
四、(10 分)解：因为
N 1
SN
N
A k
k 1
2k
k 1
0
N
k 1 3 4k
N1
k1 k k 1
1
1 2 0
N
9
1N 4
N
4 分
N 1
所以
S lim SN 1
N
0
9 1
.
10 分
五、(12 分)因为 detI A -12 - 2。由于 A - IA - 2I 0， 2 分
t e Asbsds
e
At
1 0
1 et 0
1 0
. 12 分
0
1 2
1 2
1 e2t
1 2
et
：
六、(10 分)解：
1 0 2 1
A
行
0
0
1 0
1 2 0
-1 2 0
B ，
3分
rankB 2,且B中第一列和第一列为单位矩阵的前两列6分
1
A
0
1
矩阵分析与计算试题（备用题）
答案与评分标准
（2018-2019 学年第二学期硕士研究生期末考试）
一、（8 分）解：矩阵 A 的特征多项式为：A -12 2，特征值
1 2 1，3 -2， 2 分
特征值 1 2 1，对应的特征向量为：1 2 k3, 6, 20T . k 0 3 分
G 、1：Z - 20 5 .4， G 、2：Z - 10 4 .5， G 、3：Z - 1 0 i 6， 10
分
1 1 1
-1
八、(12 分)解：由于， 1 - 1 e1 2 30 2 1 , 2 0 1
可得 u1
1 3
1 1
， 2
分
1 2 2
3 1 4
H1
I
-
2
u
1u
T 1
2 2 0
1 0
0 1
2 1 2
1
-
1 2
。
10
分
七、(10 分)解：
1 G 1：Z - 20 5 .8， G 2：Z - 10 5， G 3：Z - 1 0 i 3，4 分
1 0 0
20 5 0.4
对A，取D 0
1
0，则B
DAD -1
4
10
0.5。 6 分
0 0 2
2 4 10i