感应电动势的两种表达式及其关系

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (2)

1．感应电动势的两种表达式 (2)

1.1感应电动势的第一种表达式——通量法则 (2)

1.2感应电动势的另一种表达式 (2)

2．两种表达式的一致性 (3)

3．通量法则的例外情形 (5)

4．矛盾如何消除，矛盾能否消除 (6)

5．两种表达式之间的关系 (8)

结束语 (10)

参考文献 (11)

感应电动势的两种表达式及其关系

王军伟

指导老师：张献图职称：教授

摘要：本文分别对感应电动势的两种表示法进行分析、讨论，说明其一致性，并用实例验证。通过举例可验证在一般情况下，感应电动势的两种表示法是一致的。但也存在例外，即处在变化的磁场中并且不能够构成闭合回路时，就会导致感应电动势的两种表示法不一致。

关键词：感应电动势；动生电动势和感生电动势；通量法则；回路构成法

Abstract：This paper will discuss and analyze the two representations of induction electromotive force. At the same time, this paper will prove its consistency through the formula by using examples. Under normal circumstances, it can be proved through discussion and taking example that the two representations of induction electromotive force are the same. Closing circuit on the time, it will lead to the two representations of induction electromotive force inconsistent. That is not the constant magnetic field and can not constitute a closed circuit there were exceptions.

Key words：Induction electromotive force; Motional electromotive force and induced electromotive force; Flux principle; Return circuit rule.

引言

感应电动有两种表达式。通常情况下用这两种表达式所求得的结果是一样的，两种表达法之间很少出现什么矛盾。但有时用这两种方法所得的结果不一样，这时通量法则就存在反例。这个问题曾在国内杂志上引起了激烈的争论，其中部分文章见[1]—[8]。通过这场争论我们对电磁感应定律有了更好的认识，这对我们深入理解电磁感应定律是十分有益的。

1．感应电动势的两种表达式

1.1感应电动势的第一种表达式——通量法则

1831年Faraday 发现了电磁感应现象，并紧接着进行了深入的研究，提出感应电动势的概念。但是Faraday 并未给出定量描述电磁感应现象所遵循的数学表达式。1845年德国物理学家Neumann 运用Ampere 电动力学导出了电磁感应定律，从而第一次确立了后来以Faraday 的名字命名的电磁感应定律，即闭合回路的感应电动势为

s

d d B dS dt dt εΦ=-=-⋅⎰⎰ （1） 式中的Φ是通过闭合回路l 为周界的曲面S 的磁通量。Feynman 把决定感应电动势的（1）式称为通量法则，也就是感应电动势的第一种表达式。

1.2感应电动势的另一种表达式

感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。前者是导体相对磁场运动（切割磁力线）引起的，产生动生电动势的非静电力是Lorenz 力，后者是由于磁场随时间变化引起的，产生感生电动势的非静电力是涡旋电场力。显然二者的物理本质不同。一般情况下同时存在动生和感生两种电动势。感应电动势又可表为

(l l E dl v B dl

ε=⋅+⨯⋅⎰⎰涡旋） （2）

式中的积分沿闭合回路l 。（2）式右端第一项中的E 涡旋是由于磁场变化而产生的涡旋电场，由Maxwell 方程 B E t

∂∇⨯=-

∂涡旋

再利用Stokes 公式，（2）式右端第一项可改写为

l s B E dl d S t

∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰涡旋 这是感应电动势的感生部分。（2）式右端第二项是由于导线相对磁场运动所引起的动生电动势，其中v 是导线的运动速度。利用上式，可将（2）式改写为如下形式：

()s l

B dS v B dl t ε∂=-⋅+⨯⋅∂⎰⎰⎰ （3） 式中的S 是以闭合回路l 为周界的曲面。顺便指出，公式（2）同样适用于不构成闭合回路的导线段，此时，有

()l l E dl v B dl ε=⋅+⨯⋅⎰⎰涡旋 （4）

表达式（2）或（3）式是感应电动势的另一种表达式。

2．两种表达式的一致性 可以证明，对于闭合回路，感应电

动势ε的两种表示法（1）式和（3）是

一致的或等效的。我们只需证明下式成

立即可：

()d B B d S d S v B dl dt t ∂⋅=⋅-⨯⋅∂⎰⎰⎰⎰⎰ 如图1所示、设从t 到()t t +∆的时间间 图（1）

隔内，闭合线形回路从1l 变到2l ，两回路的绕行方向已在图1中标明，回路的变化可以包括平动、转动、形变等。与此同时，空间的磁场分布从()()B t B t t +∆变为（为了简单起见，略去了B 的坐标参量）。在t 时刻，通过闭合线形回路1l 所包面积1S 的磁通量为 11()()s t B t dS Φ=⋅⎰⎰

式中1S 是以1l 为周界的曲面，1dS 的正方向与1l 的绕行方向构成右手螺旋关系。同样，在()t t +∆的时刻，通过闭合线形回路2l 所包面积2S 的磁通量为 dl 3dS vdt l 1

S