9.第十二章导体与电介质存在时的静电场1(导体)

◆ 导体壳的结构特点： 两区域： 腔内、腔外 两表面： 内表面、外表面
腔外 腔内
◆ 理论上需说明的问题是： 1) 腔内、外表面电荷分布特征 2) 腔内、腔外空间电场特征
讨论的思路: 从特例开始, 得出结论
内表面 外表面
一、腔内无带电体时场的特征
结论：内表面处处没有电荷腔内无电场.
即 E腔内 0
E腔内 0
内表面上 q 0 (只表明 q 0)
++ + +
+ +
+
S+
+ +
S +
+ + +
●证明: 设内表面上有等量异号电荷 画一条电场线 电 场线首尾处电势不等这是不可能的（和导体等势相矛盾） 内表面不可能有电荷.
●结论： 无论对实心或空腔导体，电荷只能分布在表面上, 体内部
（包括内表面）净电荷处处为零 E腔内 0
UAB
UA
UB
1
4 0
(
q R1
q R2
)
（4）用导线连接两球，电荷重新分布：
导体球表面： 0 导体球壳： 内表面： 0
外表面：Q q
UA
UB
Qq
4 0R3
,
U AB
0
（5）导体球壳接地，电荷重新分布：
导体球表面： q
导体球壳： 内表面： q
外表面 ： 0
Qq
R1 R2
R3
q
q R1
R2 R3
n
,
表面向外；
0,
E
n
,
表面指向导体.
证明: 由静电平衡条件: 表面附近场强垂直导体表面，
E dS S
E dS
上底
下底 Eint dS
E dS
侧面
E dS E ΔS ΔS
上底
0
E
S
E
0
E n
(10.32)
0
导体表面外附近的场强
E
0
E 仅由 S 处电荷产生而与其它电荷无关吗？为什么？
UB
4
q
0 R3
q Q q Q q
4 0 R3 4 0 R3 4 0R3
1
4 0
Q (R2 R1) R1R2 ( R2 R1)R3
, UAB UA UB UB
例3 (补) 接地导体球附近有一点电荷q,如图所示.
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地, 即 U 0
设:感应电量为Q 由导体是个等势体知
导线
R2
Q1
证明: 用导线连接两导体球 则
R2
Q2
UR1 UR2
即
Q1 Q2
4 0 R1 4 0 R2
1 4R12 2 4R22 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
三、导体外紧邻导体表面附近的场强
导体表面外附近的场强与该处表面的电荷面密度成正比：
ES外 0 n
0, E
1. 静电平衡时，导体所带电荷只能分布在导体表面.
导体：体内处处不带电.
证明：实心导体 — 在导体内任取高斯面S
由高斯定理
E dS 0 S
qi
S内
dV 0
V
高斯面任取 0
++ + +
+ +
Eint 0
+ +
+ +
+
+S + +
对有空腔的导体— 腔内无其他带电体时，在导体内部任
取高斯面，因面上场强处处为零
加上外电场后
+ +
+ E外
+ + +
导体的静电感应过程
+ + + +
+ E外
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程
加上外电场后
+ + +
+
+ +
E外
+ +
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
+ + +
+
+ +
E外
+ +
+
+
导体达到静电平衡
E感
E内 E外 E感 0
+ + +
+
+
+ E外
+ +
+
+
一、导体的静电平衡条件
1. 静电感应 (electrostatic induction) — 在外电场作用下, 自由电子做宏观定向移动, 电荷在导体上重新分布.
◆ 静电感应的结果：
（1）导体上的电荷重新分布；
q
（2）空间电场重新分布. (10-14～10-13s)
导体
E
2. 静电平衡 (Electrostatic equilibrium) — 导体内部和表面都没有电荷宏观移动的状态.
第12章 有导体和电介质存在时静电场
§12-1 静电场中的导体 §12-2 有导体存在时静电场场量的计算 §12-3 导体壳与静电屏蔽 §12-4 电容器及电容 §12-5 电介质及其极化 §12-6 电位移矢量及高斯定理 §12-7 静电场的能量
一、本章研究的问题
仍然是静电场 所以场量仍是
EU
导体球壳的电势UB
UB
E dr
R3
R3
(Q
4
q)
0r 2
dr
1
4 0
Qq R3
方法二：电势叠加法：
导体组可看成三层均匀带电球面
UA
4
q
0
R1
4
q
0 R2
4
Qq
0 R3
Q q q
q R1
R2 R3
UB
4
q
0
R3
4
q
0 R3
Q
4
q
0 R3
1
4 0
Qq
R3
(3) 两球的电势差：
l
R
o
q
O点的电势为0, 由电势叠加原理 有关系式：
Q
q
0
4 0 R 4 0l
Q Rq l
其中导体球上的感应电荷产生的电势为
Q
4 0 R
§13-3 导体壳与静电屏蔽
一、腔内无带电体时场的特征 二、腔内有带电体时场的特征 三、静电屏蔽的装置---接地导体壳 四、静电学边值问题的唯一性定理
§12-3 导体壳与静电屏蔽
UA
4
q
0R1
q
4 0R2
,
UB 0 , U A U AB
（6）内球接地，UA 0 , 电荷重新分布：
导体球表面： q
导体球壳： 内表面： q
外表面：Q q
UA
4
q
0 R1
4
q
0 R2
4
Q
q
0 R3
0
Q q q
q
R1
R2 R3
得：
q
Q R1R2
R1R2 ( R2 R1 )R3
★ 注意：
导体表面外侧附近的场强 E 是空间所有电荷共同激发的！
例：
q
P
Eint 0
q
Q
P Eint 0
EP
4
q
0R2
0
E
P
0
由 q 共同激发.
Q
◆ 尖端放电 (point discharge)
对于有尖端的带电导体, 由于曲率越大电荷面密度越大，在 尖端处的场强特别强. 空气中残留的离子在强电场作用下将剧烈运 动，并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的离子.
S
或说 腔内电势处处相等.
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面 S
因为导体体内场强处处为零, 所以 E dS 0 S
由高斯定理得高斯面内电量代数和
为零, 即
qint 0
i
由于空腔内无带电体, 所以
Q内表面 0
Q内表面 0 1）处处不带电 即处处无净电荷 2）一部分带正电荷, 一部分带等量负电荷 还需排除第2种情况 用反证法证明
例2(补) ：已知内外球分别带电q、Q
解：（1）各球面所带的电荷：
导体球表面： q
内表面： q
导体球壳：
（电荷守恒）
外表面：Q q
Q q q
q R1
R2 R3
（2）先用高斯定理求场强分布，再用积分求电势.
由高斯定理：E
0
q
4 0r 2
0
(r R1)
(R1 r R2 )
(R2 r R3 )
求：①A、B上的电荷分布及空间的电场分布
将B 板接地，求电荷分布
解：①由静电平衡条件 Eint 0
a点 1 2 3 4 0
2 0 2 0 2 0 2 0
b点
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
AB
1 2 3 4
a
E4 E3 E2 E1
由电荷守恒定律
A 板 1S 2S Q B板 3S 4S 0
a点
1 2 3 0 2 0 2 0 2 0
b点
1 2 3 0 2 0 2 0 2 0
A 板 1S 2S Q
电荷分布
1 0
2
3
Q S
1
A 2
B
3
a
E3 E2 E1
1 2 3
b
E1 E2 E3
AB
电荷分布
1 0
2
3
Q S
A
B
1 2 3
场
两板之间
E Q
强
0S
E
分
布 两板之外 E 0
+
E外
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
加上外电场后
+ +
+ E外
+ +
导体的静电感应过程
+
+ E外
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
加上外电场后
+ +
+ E外
+ +
导体的静电感应过程
加上外电场后
+ +
+ E外
+ +
导体的静电感应过程
+ + +
+ E外
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程
基本性质方程仍是
qint
E dS i
S
0
E dl 0
L
思路：物质的电性质对电场的影响 解出场量 E U
二、 导体 绝缘体
1.导体 (conductor) 存在大量的可自由移动的电荷-电子. 例铜的自由电子密度约为8×1028m-3
2.绝缘体 (dielectric)
理论上认为无自由移动的电荷也称电介质
带电粒子的运动过程就好像是尖端上的电荷不断地向空气 中释放一样.
雷电
雷击草地
金属尖端的强电场的应用一例
金属
场离子显微镜 (FIM)
尖端
原理：
样品制成针尖形状，
针尖与荧光膜之间加高压，
样品附近极强的电场使吸附在表面的 He
原子电离，氦离子沿电场线运动，
撞击荧光膜引起发光， 从而获得样品表面的图象.
第 12 章
有导体和电介质存在时 的静电场
研究电场和导体、电介质的相互作用
基本要求
1. 掌握导体静电平衡条件，能分析带电导体在静电 场中的电荷分布.
2. 掌握有导体存在时场强与电势分布的计算方法. 3. 理解电容的定义， 掌握电容的计算方法. 4. 了解电介质的极化和电位移矢量. 5. 了解有介质时的高斯定理. 6. 理解电场能量，掌握电场能量的计算方法.
1 2 3 4
b
E4 E1 E2 E3
AB
解方程得: 电荷分布
1
4
Q 2S
2
3
Q 2S
AB
1 23
4
EE E
场强分布
A 板左侧
E 1 Q 0 2 0 S
两板之间
B 板右侧
E 2 3 Q 0 0 2 0S
E 4 Q 0 2 0 S
将B 板接地，求电荷及场强分布
接地时 4 0
3. 导体静电平衡的条件：
（1）场强特点： 导体内部场强处处为零，表面外侧紧邻处场强垂直导体表面.
Eint E0 E 0
其中：E 是感应电荷 q 产生的场.
Eint = 0 E S 表面
（10.30) （10.31)
q
Eint 0
E
（2）电势特点:
导体
导体是等势体，导体表面是等势面.
●推导：
等势体
a
b
P 等势面 Q
b
导体内 Ua Ub E dl
Eint 0 Ua Ub
a
Q
Q
导体表面 UP UQ E dl E cos 90dl 0UP UQ
P
P
注意：导体等势是导体内电场强度处处为零和表面场垂直
表面的必然结果
所以导体等势是静电平衡条件的另一种表述
二、静电平衡时导体上电荷的分布
假设：内表面有一部分带正电荷一部分带等
量的负电荷 则会从正电荷向负电荷发电场线
?
则与导体是等势体矛盾, 故说明假设不成立
证明了：腔内无带电体时 内表面处处没有电荷 腔内无电场
未提及的问题
1) 导体壳是否带电? 2) 腔外是否有带电体?
说明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)的电量及分布无关
一般情况下 电量可能分 布在：
接真空泵或 充氦气设备
荧光质 导电膜
接地
+ 高压
§12-2 有导体存在时静电场场量的计算
原则:
1. 静电平衡的条件
Eint 0 or U const.
2. 基本性质方程
qint
E dS i
S
0
L E dl 0
3.电荷守恒定律
qi const.
i
例1（P23 10-11）已知：导体板A S,Q. 放入导体板B
腔内表面 腔外表面 空腔内部与壳绝缘的带电体 壳外空间与壳绝缘的带电体
结论
在腔内 E壳外表面 E壳外 0
电量
带电体
导体空腔能够有效“保护”它所包围的空间，使之不受 任何空腔外部电场的影响.
二、腔内有带电体时场的特征
电量分布 Q腔内 q 用高斯定理可证
q
表面
腔内的电场 1) 与电量 q 有关
2) 与几何因素(腔内带电体、腔内表面形状）
qQ
4 0r 2
(r R3 )
导体球的电势 U A
U A R1 E dl
R2
E
dr
R3E
dr
E
dr
R1
R2
R3
Q q q
q R1
R2 R3
R2 R1
4
q
0r 2
dr
R3 0 dr
R2
Qq
R3 4 0r 2 dr
1 ( q q) 1 Qq
4 0 R1 R2 4 0 R3
3.半导体 (semiconductor)
介于上述两者之间 ★本章讨论金属导体和电介质对场的影响
§12-1 静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件 二、导体上电荷的分布 三、导体表面附近的场强
导体的静电感应过程
无外电场时
导体的静电感应过程 E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
+
E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
介质有关 未提及的问题：
2. 孤立导体表面曲率对电荷分布的影响： 情况复杂，实验发现定性分布与曲率有关
❖表面突出尖锐部分曲率大，电荷密度大； ❖表面比较平坦部分曲率小，电荷密度小； ❖表面凹进部分曲率为负，电荷密度最小.
例Hale Waihona Puke Baidu孤立带电导体球各处 = const.
++ +
+
+ +
+ S+
+ + + +++
1
R
R1
l R1