(王宜举)概率论与数理统计第二章答案
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k 3 k 3 k
(1) P
3
3 k 0
P k
C3k 0.6k 0.43 k C3k 0.7 k 0.33 k
k=0
(2) P P{
3 k j 0
k , j }
P k ) P( j
3 k j 0
3 k j 0
k k 3 k j j 3 j C 0.6 0.4 C 0.7 0.3 3 3
7.有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次 检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品， 次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从 中再任取5件，当5件中无次品时接受这批产品，否则 拒收。设产品的次品率为0.1，求 （1）这批产品第一次检验被接受的概率； （2）需作第二次检验的概率； （3）这批产品第一次检验未能作决定而第二次检 验时被接受的概率； （4）这批产品被接受的概率。
第二章
随机变量
习题二答案
1.将一颗色子投掷两次，用 表示两次投掷中得 到的最小点数，试求 的分布律
解 投掷色子两次，全部的基本结果共36个。其 中最小点数为1的结果11个： (1,1)， (1,2)， (1,3) ，(1,4)， (1,5) ， (1,6) ， (6,1)， (5,1) ，(4,1)， (3,1)， (2,1) 由古典概型，得 p1=11/36 其余类似计算。分布律如下：
2 1 1 P 2 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) , 3 2 3 P 3 P ( A1 A2 A3 ) 1/ 3
4.一座楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在 任一时刻每个设备被使用的概率为0.1。令 为同一时 刻设备被使用的台数，求其分布律。 解 服从二项分布 b(5,0.1)
pk
1 2 3 4 5 6 11/ 36 9 / 36 7 / 36 5 / 36 3/ 36 1/ 36
事件{ =k}即前k-1次有两次成功而其余失败，而第k 次成功。由二项概率公式，前k-1次有两次成功而其 2 2 k 3 余失败的概率为 Ck p q ，又由独立性得 1
2.某试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p， 其中0<p<1。现将该试验独立地重复多次，并用 表 示试验进行到出现第一次成功时所作的试验的次数， 用 表示试验进行到出现第三次成功时所作的试验 的次数，分别求 和 的分布律。 解 事件{ =k}即前k-1次失败，而第k次成功， 由独立性得 pk=pqk-1,k=1,2,3….
故
40 31.25 1.29
16.设随机变量
的分布律为
1 0 1 3
2
Pk
1/5
1/6
1/5
1/15
11/30
求 = 2的分布律. 【解】 可取的值为0，1，4，9
1 P( 0) P( 0) 5 1 1 7 P( 1) P( 1) P( 1) 6 15 30
14.由某机器生产的螺栓长度（cm） ~N（10.05,0.062） 规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格 品的概率. 【解】
10.05 0.12 P(| 10.05 | 0.12) P 0.06 0.06 1 (2) (2) 2[1 (2)] 0.0456
15.某种元件的寿命 （小时）服从正态分布 N（160，σ2），若要求P{120＜ ≤200}≥0.8，允许σ 最大不超过多少？ 【解】 P(120 200)
120 160 160 200 160 P 40 40 40 2 1 0.8
【解】依题意，该顾客未等到服务而离开的概率为
1 5 P( 10) e dx e2 10 5 2 ~ b (5,e ) ,其分布律为 即
x
P ( k ) C (e ) (1 e )
k 5 2 k
2 5 k
,
k 0,1, 2,3, 4,5 P ( 1) 1 P( 0) 1 (1 e ) 0.5167
P( k ) C
2 k 1
pq
3
k 3
, k 3, 4,5
3.一房间有3个同样的窗户，其中有一个是打开的。 现房间有一只小鸟飞来飞去，试图从开着的窗户飞走。 它飞向各窗户是等可能的。用 表示小鸟为了飞出房 间试飞的次数。 （1）若小鸟在飞行过程中是无记忆的，求 的分布 律； 。 （2）若小鸟在飞行过程中是有记忆的，也就是它飞 向同一窗户的尝试至多一次，求 的分布律。
2 5
13.若随机变量k在（0，5）上服从均匀分布，则 2 4 x 4kx k 2 0 有实根的概率是多少？ 方程 【解】密度函数 1
, 0 x5 f ( x) 5 0, 其他 2 方程4 x 4kx k 2 0有实根，即
2 2
16k 16(k 2) 16(k k 2) 0 解得 1 k 2 2 P(1 k 2) P(0 k 2) 5
(1) P( 0) 0.910 0.349 (2) P (1 2) C 0.1 0.9
k 2 k 10 k 3
0.581
(3) P(1 2, 0) P(1 2) P( 0) 0.581 0.59 0.343 (4) P ( 0) P(1 2, 0) 0.692
8.一电话总机每分钟收到的呼叫次数服从参数 为4的泊松分布。求（1）某分钟恰有8次呼叫的概 率；（2）某分钟的呼叫次数大于3的概率。 解 设每分钟收到的呼叫次数为 ，则 k P( k ) e , k 0,1, 2, k! 48 4 (1) P( 8) e 0.02977 8! 2 4k 4 (2) P( 3) 1 P( 2) e 0.23811 k 0 k !
P k C 0.1 0.9 , k 0,1, 5
k 5 k 5k
5.每次试验中，事件A发生的概率为0.3。当A发生 的次数超过2次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次 独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7 次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解 设A发生的次数为 ， 服从二项分布b(n,0.3),
解 小鸟每次试飞能飞出房间的概率是1/3。 （1）若小鸟在飞行过程中是无记忆的，则各次尝试 相互独立，从而， k 即前k-1次失败，而第k次成 k 1 功，由乘法公式得： 1 2 P k 2k 1 / 3k , k 1, 2,3 3 3 （2）若小鸟是有记忆的，则各次尝试不相互独立， 用Ai表示事件：第i次飞出窗户，则 P 1 1/ 3,
10.以 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾 客到达的等待时间（以分计）。设其分布函数为 求参数 ，并计算下述概率
(1) P( 3);(2) P( 4); (3) P(3 4);(4) P( 2.5);
1 e x , x 0 F ( x) x0 0,
k P k Cn 0.3k 0.7nk , k 0,1, n
指示灯发出信号即 2 （1）n=5, P 2 C5k 0.3k 0.75k
k=3 5
（2）n=7, P 2 C7k 0.3k 0.77k
Baidu Nhomakorabea
独立性，
b(5, 2 / 3)，概率分布
P( k ) C5k (2 / 3) k (1/ 3)5 k P( 2) 1 P( 1) 1 (1/ 3) C (2 / 3) (1/ 3) 0.955
5 1 5 1 4
12.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 （以 分钟计）服从指数分布 x 1 5 e , x0 f ( x) 5 0, x0 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一 个月要到银行5次，以 表示一个月内他未等到服务 而离开窗口的次数，试写出 的分布律，并求概率 P{ ≥1}.
解 因为F ( x)在点x=0连续，故 0 F (0) F (0 ) 1 得
1
3 4
(1) P( 3) F (3) 1 e
(2) P( 4) 1 P( 4) 1 F (4) e (3) P(3 4) F (4) F (3) e 3 e 4 (4) P( 2.5) 0
k=3
7
6.甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7。今 各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲 比乙投中次数多的概率。 解 用 , 分别表示甲乙两人投中次数， , 均服 从二项分布 b(3, p) ,
P k C3k 0.6k 0.43k , k 0,1, 2,3 P k C 0.7 0.3 , k 0,1, 2,3
解 分别用 , 表示第一、二次检验产品时的次品 数, , 均服从二项分布.即
k P( k ) C10 0.1k 0.910 k , k 0,1, 2,
,10 ,5
P( k ) C 0.1 0.9
k 5 k
5 k
, k 0,1, 2,
10 k
9.在区间【0,1】上任意投掷一个质点，以 表示 其坐标。设这个质点落在【0,1】中任意小区间的概 率与小区间的长度成正比，试求 的分布函数。
解 F ( x) P( x)
当 x 0, P( x) P() 0 当 0 x 1, P( x) P(0 x) x 当 x 1, P( x) P() 1 x0 0 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
故 的分布律为
1 P ( 4) P ( 2) 5 11 P ( 9) P( 3) 30
Pk
0
1
4
9
1/5
7/30
1/5
11/30
17.设随机变量 密度函数
U (0,1), 求下列随机变量的
(1) e , (2) 2 ln
1 0 x 1 解 f ( x ) 其它 0 (1) 当y 0或y e时, F ( y ) 0, f ( y ) 0 当0 y e时, F ( y ) P ( e y ) P ( ln y ) F (ln y ) f ( y ) F( y ) f (ln y ) 1/ y =1/ y
11.某器件的寿命（以小时计）具有以下的概率密 度： 1000 2 , x 1000 f ( x) x 0 现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立）， 现从中任取5件，问其中至少有2只寿命大于1500小时 的概率是多少？
解 以 表示该种器件的寿命，从而 1000 2 P( 1500) dx 2 1500 x 3 以 表示5件器件中寿命超过1500小时的件数。由
(1) P
3
3 k 0
P k
C3k 0.6k 0.43 k C3k 0.7 k 0.33 k
k=0
(2) P P{
3 k j 0
k , j }
P k ) P( j
3 k j 0
3 k j 0
k k 3 k j j 3 j C 0.6 0.4 C 0.7 0.3 3 3
7.有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次 检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品， 次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从 中再任取5件，当5件中无次品时接受这批产品，否则 拒收。设产品的次品率为0.1，求 （1）这批产品第一次检验被接受的概率； （2）需作第二次检验的概率； （3）这批产品第一次检验未能作决定而第二次检 验时被接受的概率； （4）这批产品被接受的概率。
第二章
随机变量
习题二答案
1.将一颗色子投掷两次，用 表示两次投掷中得 到的最小点数，试求 的分布律
解 投掷色子两次，全部的基本结果共36个。其 中最小点数为1的结果11个： (1,1)， (1,2)， (1,3) ，(1,4)， (1,5) ， (1,6) ， (6,1)， (5,1) ，(4,1)， (3,1)， (2,1) 由古典概型，得 p1=11/36 其余类似计算。分布律如下：
2 1 1 P 2 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) , 3 2 3 P 3 P ( A1 A2 A3 ) 1/ 3
4.一座楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在 任一时刻每个设备被使用的概率为0.1。令 为同一时 刻设备被使用的台数，求其分布律。 解 服从二项分布 b(5,0.1)
pk
1 2 3 4 5 6 11/ 36 9 / 36 7 / 36 5 / 36 3/ 36 1/ 36
事件{ =k}即前k-1次有两次成功而其余失败，而第k 次成功。由二项概率公式，前k-1次有两次成功而其 2 2 k 3 余失败的概率为 Ck p q ，又由独立性得 1
2.某试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p， 其中0<p<1。现将该试验独立地重复多次，并用 表 示试验进行到出现第一次成功时所作的试验的次数， 用 表示试验进行到出现第三次成功时所作的试验 的次数，分别求 和 的分布律。 解 事件{ =k}即前k-1次失败，而第k次成功， 由独立性得 pk=pqk-1,k=1,2,3….
故
40 31.25 1.29
16.设随机变量
的分布律为
1 0 1 3
2
Pk
1/5
1/6
1/5
1/15
11/30
求 = 2的分布律. 【解】 可取的值为0，1，4，9
1 P( 0) P( 0) 5 1 1 7 P( 1) P( 1) P( 1) 6 15 30
14.由某机器生产的螺栓长度（cm） ~N（10.05,0.062） 规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格 品的概率. 【解】
10.05 0.12 P(| 10.05 | 0.12) P 0.06 0.06 1 (2) (2) 2[1 (2)] 0.0456
15.某种元件的寿命 （小时）服从正态分布 N（160，σ2），若要求P{120＜ ≤200}≥0.8，允许σ 最大不超过多少？ 【解】 P(120 200)
120 160 160 200 160 P 40 40 40 2 1 0.8
【解】依题意，该顾客未等到服务而离开的概率为
1 5 P( 10) e dx e2 10 5 2 ~ b (5,e ) ,其分布律为 即
x
P ( k ) C (e ) (1 e )
k 5 2 k
2 5 k
,
k 0,1, 2,3, 4,5 P ( 1) 1 P( 0) 1 (1 e ) 0.5167
P( k ) C
2 k 1
pq
3
k 3
, k 3, 4,5
3.一房间有3个同样的窗户，其中有一个是打开的。 现房间有一只小鸟飞来飞去，试图从开着的窗户飞走。 它飞向各窗户是等可能的。用 表示小鸟为了飞出房 间试飞的次数。 （1）若小鸟在飞行过程中是无记忆的，求 的分布 律； 。 （2）若小鸟在飞行过程中是有记忆的，也就是它飞 向同一窗户的尝试至多一次，求 的分布律。
2 5
13.若随机变量k在（0，5）上服从均匀分布，则 2 4 x 4kx k 2 0 有实根的概率是多少？ 方程 【解】密度函数 1
, 0 x5 f ( x) 5 0, 其他 2 方程4 x 4kx k 2 0有实根，即
2 2
16k 16(k 2) 16(k k 2) 0 解得 1 k 2 2 P(1 k 2) P(0 k 2) 5
(1) P( 0) 0.910 0.349 (2) P (1 2) C 0.1 0.9
k 2 k 10 k 3
0.581
(3) P(1 2, 0) P(1 2) P( 0) 0.581 0.59 0.343 (4) P ( 0) P(1 2, 0) 0.692
8.一电话总机每分钟收到的呼叫次数服从参数 为4的泊松分布。求（1）某分钟恰有8次呼叫的概 率；（2）某分钟的呼叫次数大于3的概率。 解 设每分钟收到的呼叫次数为 ，则 k P( k ) e , k 0,1, 2, k! 48 4 (1) P( 8) e 0.02977 8! 2 4k 4 (2) P( 3) 1 P( 2) e 0.23811 k 0 k !
P k C 0.1 0.9 , k 0,1, 5
k 5 k 5k
5.每次试验中，事件A发生的概率为0.3。当A发生 的次数超过2次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次 独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7 次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解 设A发生的次数为 ， 服从二项分布b(n,0.3),
解 小鸟每次试飞能飞出房间的概率是1/3。 （1）若小鸟在飞行过程中是无记忆的，则各次尝试 相互独立，从而， k 即前k-1次失败，而第k次成 k 1 功，由乘法公式得： 1 2 P k 2k 1 / 3k , k 1, 2,3 3 3 （2）若小鸟是有记忆的，则各次尝试不相互独立， 用Ai表示事件：第i次飞出窗户，则 P 1 1/ 3,
10.以 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾 客到达的等待时间（以分计）。设其分布函数为 求参数 ，并计算下述概率
(1) P( 3);(2) P( 4); (3) P(3 4);(4) P( 2.5);
1 e x , x 0 F ( x) x0 0,
k P k Cn 0.3k 0.7nk , k 0,1, n
指示灯发出信号即 2 （1）n=5, P 2 C5k 0.3k 0.75k
k=3 5
（2）n=7, P 2 C7k 0.3k 0.77k
Baidu Nhomakorabea
独立性，
b(5, 2 / 3)，概率分布
P( k ) C5k (2 / 3) k (1/ 3)5 k P( 2) 1 P( 1) 1 (1/ 3) C (2 / 3) (1/ 3) 0.955
5 1 5 1 4
12.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 （以 分钟计）服从指数分布 x 1 5 e , x0 f ( x) 5 0, x0 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一 个月要到银行5次，以 表示一个月内他未等到服务 而离开窗口的次数，试写出 的分布律，并求概率 P{ ≥1}.
解 因为F ( x)在点x=0连续，故 0 F (0) F (0 ) 1 得
1
3 4
(1) P( 3) F (3) 1 e
(2) P( 4) 1 P( 4) 1 F (4) e (3) P(3 4) F (4) F (3) e 3 e 4 (4) P( 2.5) 0
k=3
7
6.甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7。今 各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲 比乙投中次数多的概率。 解 用 , 分别表示甲乙两人投中次数， , 均服 从二项分布 b(3, p) ,
P k C3k 0.6k 0.43k , k 0,1, 2,3 P k C 0.7 0.3 , k 0,1, 2,3
解 分别用 , 表示第一、二次检验产品时的次品 数, , 均服从二项分布.即
k P( k ) C10 0.1k 0.910 k , k 0,1, 2,
,10 ,5
P( k ) C 0.1 0.9
k 5 k
5 k
, k 0,1, 2,
10 k
9.在区间【0,1】上任意投掷一个质点，以 表示 其坐标。设这个质点落在【0,1】中任意小区间的概 率与小区间的长度成正比，试求 的分布函数。
解 F ( x) P( x)
当 x 0, P( x) P() 0 当 0 x 1, P( x) P(0 x) x 当 x 1, P( x) P() 1 x0 0 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
故 的分布律为
1 P ( 4) P ( 2) 5 11 P ( 9) P( 3) 30
Pk
0
1
4
9
1/5
7/30
1/5
11/30
17.设随机变量 密度函数
U (0,1), 求下列随机变量的
(1) e , (2) 2 ln
1 0 x 1 解 f ( x ) 其它 0 (1) 当y 0或y e时, F ( y ) 0, f ( y ) 0 当0 y e时, F ( y ) P ( e y ) P ( ln y ) F (ln y ) f ( y ) F( y ) f (ln y ) 1/ y =1/ y
11.某器件的寿命（以小时计）具有以下的概率密 度： 1000 2 , x 1000 f ( x) x 0 现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立）， 现从中任取5件，问其中至少有2只寿命大于1500小时 的概率是多少？
解 以 表示该种器件的寿命，从而 1000 2 P( 1500) dx 2 1500 x 3 以 表示5件器件中寿命超过1500小时的件数。由