相似三角形优秀课件
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相似三角形完整版PPT课件
相似三角形在几何变换中的应用 在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
相似三角形的性质pptPPT课件-2024鲜版
16
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
相似三角形的性质ppt课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
27.2.2 相似三角形的性质课件(共21张PPT)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
相似三角形ppt课件免费
构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等 。
2024/1/27
18
05
相似三角形在生活中的实际应用
2024/1/27
19
建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师 可以在设计过程中调整建筑物 的比例和角度，使其在视觉上 更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比 例有关的问题，例如通过已知的 两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对 应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
2024/1/27
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平 方，即如果两个三角形相似且相似比 为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
14
04
相似三角形在代数中的应用
2024/1/27
15
方程求解问题
2024/1/27
利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的 方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过 程，使问题更加直观易懂。
16
不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间 存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进 而计算出目标点的位置。
2024/1/27
在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方 案，提高测量精度。
21
艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角 形原理来实现透视效果。通过绘制不同 比例的相似三角形，可以在平面上呈现
相似三角形的判定PPT课件
第三章 图形的类似
3.4.1 类似三角形判定的基本定理
复习导入
定义
全等三
角形
三角、三边对应相等
的两个三角形全等
类似三 三角对应相等, 三边对应
角形
成比例的两个三角形类似
判定方法
边
角
边
角
边
角
角
角
边
边
边
边
斜边与直角边
(直角三角形）
探究新知
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
∴
=
=
∠EAO=∠BAC，
∠AEO=∠B，
∠AOE=∠ACB，
当堂练习
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD.试判
断四边形AEOF与四边形ABCD是否类似，并说明理由.
∵OF∥CD，∴△AFO∽△ADC，
∴
=
=
∠FAO=∠DAC，
DE至点F，使DE=EF. 求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE=CE.
又∵DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
知识要点
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原
三角形类似．
求证：只要DE//BC，△ADE与△ABC始终类似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
分析：根据类似三角形的定
义去证明，三角对应相等，
三边对应成比例。
3.4.1 类似三角形判定的基本定理
复习导入
定义
全等三
角形
三角、三边对应相等
的两个三角形全等
类似三 三角对应相等, 三边对应
角形
成比例的两个三角形类似
判定方法
边
角
边
角
边
角
角
角
边
边
边
边
斜边与直角边
(直角三角形）
探究新知
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
∴
=
=
∠EAO=∠BAC，
∠AEO=∠B，
∠AOE=∠ACB，
当堂练习
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD.试判
断四边形AEOF与四边形ABCD是否类似，并说明理由.
∵OF∥CD，∴△AFO∽△ADC，
∴
=
=
∠FAO=∠DAC，
DE至点F，使DE=EF. 求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE=CE.
又∵DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
知识要点
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原
三角形类似．
求证：只要DE//BC，△ADE与△ABC始终类似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
分析：根据类似三角形的定
义去证明，三角对应相等，
三边对应成比例。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
《相似三角形》相似图形PPT课件
定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例
相似三角形ppt课件
∴DE=FC,∴
=
=
.
又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=
.
探
究
与
应
用
2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2
探
究
与
应
用
探究二 相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴
=
=
.
又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7
∴
=
8
8+12
=
35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5
探
究
与
应
用
建 模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3
探
究
与
应
用
解:△ADE与△ABC相似.
相似三角形的性质ppt课件
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
C′
议一议
如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC
边上，点D′、E′在B′C′边上.
（1）若∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则 ′ 等于多少?
′
等于多少？
′
∴∠B=∠B′ ，
′ ′
=
B
′ ′
D
A′
C
B′
D′
∵ D、D′ 分别是BC 和B′C′ 的中点
∴BD= , ′ ′
∴ ′ = ′
′
′
=
′ ′
∵∠B=∠B′
∴△ABD∽△A′B′D′
′ ′
∴
=
′ ′
同样可以证明其余两组对应边上
的中线的比也等于相似比.
∴ ′
′
=
′ ′
=
典例精析
例1、如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，
SR⊥AD，垂足为E.
当SR= 时，求DE的长
如果SR= 呢？
典例精析
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD
∴SR//BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴ ∽
求所拍摄的2m外景物的宽CD.
解：由题意，可知△ABE∽△DCE
答：所拍摄的2
m外景物的宽CD为 .
k
5
课堂总结
相似三角形对应高的比等于相似比
C′
议一议
如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC
边上，点D′、E′在B′C′边上.
（1）若∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则 ′ 等于多少?
′
等于多少？
′
∴∠B=∠B′ ，
′ ′
=
B
′ ′
D
A′
C
B′
D′
∵ D、D′ 分别是BC 和B′C′ 的中点
∴BD= , ′ ′
∴ ′ = ′
′
′
=
′ ′
∵∠B=∠B′
∴△ABD∽△A′B′D′
′ ′
∴
=
′ ′
同样可以证明其余两组对应边上
的中线的比也等于相似比.
∴ ′
′
=
′ ′
=
典例精析
例1、如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，
SR⊥AD，垂足为E.
当SR= 时，求DE的长
如果SR= 呢？
典例精析
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD
∴SR//BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴ ∽
求所拍摄的2m外景物的宽CD.
解：由题意，可知△ABE∽△DCE
答：所拍摄的2
m外景物的宽CD为 .
k
5
课堂总结
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形的性质(精讲PPT课件)
课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.
25.5 相似三角形的性质课件(共24张PPT)
小结1相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
《相似三角形的性质》PPT课件
《相似三角形的性质》PPT 课件
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。
2024版相似三角形ppt初中数学PPT课件
相似三角形ppt初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何图形中应用•相似三角形在解决实际问题中应用•相似三角形证明方法探讨•典型例题解析与练习•课堂小结与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质01020304定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应角关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
相等角两个相似三角形的对应角相等。
补角两个相似三角形的非对应角互为补角。
两个相似三角形的对应边之间的比值相等。
对应边成比例两个相似三角形的对应高、中线、角平分线之间的比值也相等，且等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
面积比等于相似比的平方两个相似三角形的周长之比等于相似比。
周长比等于相似比性质总结02相似三角形在几何图形中应用平行线间距离问题利用相似三角形性质求解平行线间距离通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解平行线间的距离。
平行线间距离与相似三角形关系平行线间距离与相似三角形的对应高成比例，因此可以通过相似三角形性质求解平行线间距离。
角度平分线问题利用相似三角形性质求解角度平分线问题通过构造相似三角形，利用对应角相等的性质，可以求解角度平分线问题。
角度平分线与相似三角形关系角度平分线将相邻两边按照相同比例分割，因此可以通过相似三角形性质求解角度平分线问题。
直角三角形中特殊应用利用相似三角形性质求解直角三角形中特殊应用在直角三角形中，通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解一些特殊问题，如勾股定理、射影定理等。
直角三角形中特殊应用与相似三角形关系在直角三角形中，一些特殊应用可以通过构造相似三角形进行求解，这些应用与相似三角形的性质密切相关。
25.3 相似三角形课件(共18张PPT)
SSS, SAS, ASA, AAS
知识点1 相似三角形的有关概念
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果
即△ABC与△A'B'C'相似.△ABC与△A'B'C'的相似比为k.
对应角相等、对应边成比例的的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
新知引入
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”，读作“△ABC相似于△A'B'C'”.
若表示为△ABC∽△DEF，一般A与D，B与E，C与F分别对应.
例题解析
例 如图，△AEF∽△ABC.（1）若AE=3，AB=5，EF=2.4，求BC的长.（2）求证：EF//BC.
解：∵DE⊥AC,BC⊥AC, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ , ∴ , ∴AD=7×55=385 cm, ∴梯子长AB=AD+BD=385+55=440 cm.
3.已知△ABC∽△ , ∠A=50°，∠B=95°，则∠ 等于( ) A.95° B.50° C.35° D.25°4. 若△ABC∽△ ，且AB=1， , ,则△ABC与△ 的相似比k为_____, △ 与△ABC的相似比 为______.
课堂小结
2.用平行线判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
1.对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
知识点1 相似三角形的有关概念
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果
即△ABC与△A'B'C'相似.△ABC与△A'B'C'的相似比为k.
对应角相等、对应边成比例的的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
新知引入
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”，读作“△ABC相似于△A'B'C'”.
若表示为△ABC∽△DEF，一般A与D，B与E，C与F分别对应.
例题解析
例 如图，△AEF∽△ABC.（1）若AE=3，AB=5，EF=2.4，求BC的长.（2）求证：EF//BC.
解：∵DE⊥AC,BC⊥AC, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ , ∴ , ∴AD=7×55=385 cm, ∴梯子长AB=AD+BD=385+55=440 cm.
3.已知△ABC∽△ , ∠A=50°，∠B=95°，则∠ 等于( ) A.95° B.50° C.35° D.25°4. 若△ABC∽△ ，且AB=1， , ,则△ABC与△ 的相似比k为_____, △ 与△ABC的相似比 为______.
课堂小结
2.用平行线判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
1.对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.
相似三角形ppt教学课件完整版
在摄影测量学中，通过拍摄地面的照片，并利用射影几何的原理进行解析，可以精确地测量 出地面点的三维坐标，为地图制作和地形分析提供重要数据。
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
相似三角形的判定课件优秀课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
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晴潇制作 cqx014916
重点：相似三角形的定义及运用 。 难点：根据定义求线段长或角的度数。
晴潇制作 cqx014916
1.什么是相似形？ 我们把形状相同的两个图形称为 相似形。 2.什么是相似多边形？ 对应角相等,对应边成比例的两个多 边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似比k1 =?
△ A'B'C'与△ABC的相似比k2=？ 3cm C
A
B A'
C' 6cm B'
注：三角形的前后次序不同，所得相似比不同。
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(1)两个全等三角形一定相似吗?为什么? (2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢? 为什么? (3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什 么?
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• (1)两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知 对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件.
• (2)两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他 的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不 一定相似.
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知识目标：
1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判 断两个三角形是否相似. 2.能根据相似比进行计算.
能力目标：
1.能根据定义判断两个三角形是否相似。
2.能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用数学 的能力.
情感目标：通过与相似多边形有关概念的类比,渗透 类比的数学思想,并领会特殊与一般的关系。
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用符号语言表示：
C
∵ ∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、
∠C=C' .
A
B
C'
AB BC CA A'B' B'C' C'A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
注：相似三角形的定义可以作为三角
形相似的一种判定方法。
A'
B'
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问题1：这两个三角形是否相似？
由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似. • 两个全等三角形一定相似. • 两个等腰直角三角形一定相似. • 两个等边三角形一定相似. • 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
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例1:如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边 的长是20m.在这个草坪的图纸上，这条边长5cm,其 他两边的长都是3.5cm.求该草坪其他两边的实际长度。
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相似三角形是相似多边形中的一类,因此,相似三角形 的定义可仿照相似多边形的定义给出,大家可以吗? 相似三角形定义：我们把对应角相等、对应边成比 例的两个三角形叫做相似三角形。 如△ABC与△DEF相似,记作△ABC∽△DEF，读作 △ABC相似于△DEF，其中对应顶点要写在对应位置, 如A与D,B与E,C与F相对应。
∠BAC=45°,∠ACB=40°,
求 (1)∠AED和∠ADE的度数; (2)DE的长.
C E
解:(1)因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等,得
∠AED=∠ACB=40°
在△ADE中,∠AED+∠ADE+∠A=180° 即40°+∠ADE+45°=180°,
A
所以∠ADE=180°- 40°- 45°= 95°.
3a
45o
no
10
80o
2a 55o y
45o
mo
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2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形 ABC相似,
相似比为3∶1,已知斜边AB=5 cm.
(1)求△ ABC的 斜边 AB上 的长.
(2)求斜边 AB上的高。
A
A'
C'
B'Biblioteka CB晴潇制作 cqx014916
• 两个等腰直角三角形一定相似.（请你说说为什么？） • (3)两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此 这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰 的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰 三角形不一定相似.
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对应角……？ 对应边……？
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问题2
A
2cm
D 3cm
B
C
E
F
已知△ABC∽△DEF，AC=2cm，DF=3cm，
那么△ABC与△DEF对应边的比=？2/3
我们将相似三角形对应边的比称之相似比。
(用字母k表示）
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问题3：△ABC∽△A'B'C'△ABC与△A'B'C'的
1.相似三角形的定义及记法。 2.特殊的三角形中,有的相似,有的不相似。 3.利用相似比求线段长。
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必做题：P130第1~3小题。 选做题：某种三角形架子由钢条焊接而成。在这种三角 形架子的设计图上，其三边长分别为4cm，3cm，5cm. 现有两根钢条，一根长60cm,另一根长180cm,若用其 中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段， 作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图 纸上的形状相同，则共有几种不同的做法？（焊接用料 忽略不计）
DB
(2)因为△ABC∽△ADE,所以由相似三角形对应边成比例,得
即
所以
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在例2的条件下,图中有哪些线段成比例? 图中有平
行的线段吗？
C E
A
DB
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1.在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x, y, m, n的值。
x
20
22
33
30
48
解：草坪的形状与其图纸上的相应的形状相似，它们 的相似比是2000:5=400:1. 如果设其他两边的实际长度都是x cm,那么
x=3.5×400=1400(cm), 1400cm=14m. 所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
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例2:如图,已知△ABC∽△ADE,AE=5acm,EC=3acm,BC=bcm,
重点：相似三角形的定义及运用 。 难点：根据定义求线段长或角的度数。
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1.什么是相似形？ 我们把形状相同的两个图形称为 相似形。 2.什么是相似多边形？ 对应角相等,对应边成比例的两个多 边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似比k1 =?
△ A'B'C'与△ABC的相似比k2=？ 3cm C
A
B A'
C' 6cm B'
注：三角形的前后次序不同，所得相似比不同。
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(1)两个全等三角形一定相似吗?为什么? (2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢? 为什么? (3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什 么?
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• (1)两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知 对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件.
• (2)两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他 的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不 一定相似.
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1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判 断两个三角形是否相似. 2.能根据相似比进行计算.
能力目标：
1.能根据定义判断两个三角形是否相似。
2.能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用数学 的能力.
情感目标：通过与相似多边形有关概念的类比,渗透 类比的数学思想,并领会特殊与一般的关系。
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用符号语言表示：
C
∵ ∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、
∠C=C' .
A
B
C'
AB BC CA A'B' B'C' C'A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
注：相似三角形的定义可以作为三角
形相似的一种判定方法。
A'
B'
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问题1：这两个三角形是否相似？
由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似. • 两个全等三角形一定相似. • 两个等腰直角三角形一定相似. • 两个等边三角形一定相似. • 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
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例1:如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边 的长是20m.在这个草坪的图纸上，这条边长5cm,其 他两边的长都是3.5cm.求该草坪其他两边的实际长度。
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相似三角形是相似多边形中的一类,因此,相似三角形 的定义可仿照相似多边形的定义给出,大家可以吗? 相似三角形定义：我们把对应角相等、对应边成比 例的两个三角形叫做相似三角形。 如△ABC与△DEF相似,记作△ABC∽△DEF，读作 △ABC相似于△DEF，其中对应顶点要写在对应位置, 如A与D,B与E,C与F相对应。
∠BAC=45°,∠ACB=40°,
求 (1)∠AED和∠ADE的度数; (2)DE的长.
C E
解:(1)因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等,得
∠AED=∠ACB=40°
在△ADE中,∠AED+∠ADE+∠A=180° 即40°+∠ADE+45°=180°,
A
所以∠ADE=180°- 40°- 45°= 95°.
3a
45o
no
10
80o
2a 55o y
45o
mo
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2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形 ABC相似,
相似比为3∶1,已知斜边AB=5 cm.
(1)求△ ABC的 斜边 AB上 的长.
(2)求斜边 AB上的高。
A
A'
C'
B'Biblioteka CB晴潇制作 cqx014916
• 两个等腰直角三角形一定相似.（请你说说为什么？） • (3)两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此 这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰 的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰 三角形不一定相似.
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对应角……？ 对应边……？
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问题2
A
2cm
D 3cm
B
C
E
F
已知△ABC∽△DEF，AC=2cm，DF=3cm，
那么△ABC与△DEF对应边的比=？2/3
我们将相似三角形对应边的比称之相似比。
(用字母k表示）
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问题3：△ABC∽△A'B'C'△ABC与△A'B'C'的
1.相似三角形的定义及记法。 2.特殊的三角形中,有的相似,有的不相似。 3.利用相似比求线段长。
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必做题：P130第1~3小题。 选做题：某种三角形架子由钢条焊接而成。在这种三角 形架子的设计图上，其三边长分别为4cm，3cm，5cm. 现有两根钢条，一根长60cm,另一根长180cm,若用其 中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段， 作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图 纸上的形状相同，则共有几种不同的做法？（焊接用料 忽略不计）
DB
(2)因为△ABC∽△ADE,所以由相似三角形对应边成比例,得
即
所以
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在例2的条件下,图中有哪些线段成比例? 图中有平
行的线段吗？
C E
A
DB
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1.在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x, y, m, n的值。
x
20
22
33
30
48
解：草坪的形状与其图纸上的相应的形状相似，它们 的相似比是2000:5=400:1. 如果设其他两边的实际长度都是x cm,那么
x=3.5×400=1400(cm), 1400cm=14m. 所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
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例2:如图,已知△ABC∽△ADE,AE=5acm,EC=3acm,BC=bcm,