最新ANCA相关小血管炎诊断和治疗进展北京大学第一医赵明辉幻灯片课件

令
U
x
0
,
则
n
(x)ex p n( 10)Un(2 1 2 0)2
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第七章 假设检验
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因为 0,1,2 均已知且 1 0， 所以 ( x) 是 U
的单调增函数，故由等式
P {( x ) c |H 0 成 } P { 立 U c 1 |H 0 成 } 立
H 1 : 样本来自双参数指数分布族 p(x,,)
其中
p(x,,)1expx x
0
x
,0
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第七章 假设检验
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（3） 似然比检验适应面广， 正态总体和非正态
总体均可以构造， 且构造的检验常具有一 些优良性质， 如在某种意义下具有最有性。
（4） 一般情形下， 似然比统计量的精确分布很
ANCA相关小血管炎诊断 和治疗进展北京大学第一
医赵明辉
第七章 假设检验
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第七章 假设检验
§7.1 假设检验的基本思想与概念 §7.2 正态总体参数假设检验 §7.3 其它分布参数的假设检验 §7.4 似然比检验与分布拟合检验
2ˆ
exp21ˆ2
n
(xi
i1
x)2
n
1
2ˆ0
exp21ˆ02
n
(xi
i1
0)2
n
n
ˆˆ022
2
1n((nx1)S0)22
2
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第七章 假设检验
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若令 T x 0 ， 则
Sn
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n
(x) 1 nT212
~ 当 H 0 成立时，
T x 0
Sn
t(n1)
且( x) 是 | T | 单调增函数，因此由
P { ( x ) c |H 0 成 } P { 立 T | |c 1 |H 0 成 } 立
可得临界值为 c1 t1(n1) 2
这样检验统计量为 T x 0
Sn
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拒绝域为 W{T:T | |t1(n1)} 2
这是通常的双边 t 检验。
当然也可令
F
(x 0)2
1
2
n
exp
1
22
n
(xi
i1
1)2
1 n 1
2
exp
22
n
(xi
i1
0)2
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ex p 212i n 1[x (i1)2(xi0)2]
ex p1 2 2 0i n1(2xi 10)
ex p n( 10) xn 0n(2 1 2 0)2
S2 n
，则
n
(x) 1
F
2
n1
当 H 0 成立时，F ~ F(1,n1)
且( x) 是 F单调增函数，因此由
P { ( x ) c |H 0 成 } P { 立 F c 1 |H 0 成 } 立
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第七章 假设检验
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可得临界值为 c1F1(1,n1)
这样检验统计量也可以为
(x)
p(x1,xn,ˆ) p(x1,xn,ˆ0)
使成形式 (x)h(T(x))， 满足两个要求，
其一：( x) 是 T ( x)的单调增函数或单调减函数；
其二： 当 H 0 成立时，T ( x) 的分布完全已知。
（3） 增函数时，由 P{Tc1|H 0成}立 求临界值 减函数时，由 P{Tc1|H 0成}立 求临界值
检验的拒绝域为 W{x:(x)c}
其中临界值 c可由 P {(x)c|H 0成} 立
确定。 下面也通过例子说明其具体应用。
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对正态总体，方差未知，检验问题
H 0: 0 , H 1: 0
似然比
su{pp(x1,,xn,)} (x)su{pp(x1,,xn,)}
0
拒绝域为
F
(x 0 )2
S2 n
W {F :FF 1 (1 ,n 1 )}
可以证明这时的t 检验和 F检验是等价的。
从上述两个例子可得求似然比检验的一般步骤：
（1） 在 内求 的极大似然估计 ˆ ， 在 0 内求 的极大似然估计ˆ 0
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（2） 计算并化简
可得 c1 u1 。 这样检验统计量可取为
拒绝域为
U
x 0
n
W{U:Uu1}
这是通常的单边 u检验。
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对一般的假设检验问题
H 0: 0, H 1: 1
定义似然比检验统计量为
su{pp(x1,,xn,)} (x)su{pp(x1,,xn,)}
0
(x)p p((x x11,, ,,x xn n,,1 0))
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当 ( x) 较大时，拒绝原假设 H 0 ， 否则，接受 H 0 ，
这种检验方法称为似然比检验。
例1 对正态总体，方差已知，检验问题
H 0 : 0 , H 1 : 1 (1 0 )
似然比为 (x)pp((xx11,, ,,xxn,,01))
§7.5 正态性检验
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§7.4 似然比检验与分布拟合检验
7.4.1 似然比检验
设 x1,x2, ,xn是来自密度函数（或分布率） 为 p(x,)()的总体的简单样本， 考虑检验
问题：
H 0 : 0 , H 1 : 1 (1 0 )
一个比较直观且自然方法是考虑似然比
这里 {,( 2 ) , ,2 0 }
0{(0,2) ,20}
当 , 2 未知时，其极大似然估计分别为
ˆ x,
ˆ2
1 n
n i1
(xi
x)2
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当 0 已知时， 2 极大似然估计为
ˆ02
1 n
n i1
(xi
0)2
所以似然比为
(x)
1 n
难获得， 因此临界值的求法有两种。 其一，
利用Monte-Carlo模拟计算； 其二，当样本
容量 n很大时， 利用似然比统计量的极限
分布近似给出。
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7.4.2 分布拟合检验 一 总体分布离散情况
先考虑总体分布只 取有限个值的情况
（4） 检验统计量取为 T ( x) 增函数时，拒绝域为 W{T:Tc1} 减函数时，拒绝域为 W{T:Tc1}
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注： （1）正态总体下参数的检验基本都是似然比检验
（2） 似然比检验可用于检验样本来自两个不同类 型分布之一， 如
H 0 : 样本来自正态总体族 N(,2)