常微分方程 §33 解过初值的连续性和可微性

a x b上也有定义,且
(x, x0, y0, ) (x, x0, y0, 0 ) , a x b
2019/9/15
常微分方程
2 解对初值和参数的连续性定理
设f (x, y, )在区域G连续,且在G内一致地关于y满足 局部Lipschitz条件,则方程(3.1)的解y (x, x0, y0, ) 作为x, x0, y0, 的函数在它们存在范围内是连续的.
dy dx

f
(x, y),
(3.1)
y(x0 ) y0
的解y (x, x0, y0 )在区间[a,b]上存在, 如果对 0, ( , a,b) 0,使得对于满足
(x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2
的一切(
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( y0 y0 (x0 ) (x0 ) )eL(ba)
( )e 2 e 2019/9/15
L(ba) 1
L(ba)
常微分方程
1
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:
3 定理2 (解对初值的连续性定理) 方程 dy f ( x, y) , ( x, y) G R2 (1)
Ci
y
G
L maxL1, , LN
G
则以为半径的圆,当其圆心从S的
左端点沿S 运动到右端点时,扫过 2的019/区9/15域即为符合条件的要找常区微域分方D程
a
S : y (x, x0, y0 )
bx
(x0 , y0 )
y
G
D
min(, / 2)
y0
p( x0, y0 )
区间内的某一值。
证明 则
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设(x), (x)在区间[a,b]上均有定义,令 V (x) ((x) (x))2, x [a,b]
V ' (x) 2((x) (x)) ( '(x) '(x)) 2((x) (x常)微)分方(程f (x,(x)) f (x, (x))
(x1, y1)
x
(x0 , y0 )
解对初值的对称性: y (x, x0, y0 )
前提
解存在唯一 y0 (x0, x, y)
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
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常微分方程
证明 由(3.1)满足y(x0 ) y0的解存在区间内任取一 值x1,
y (x, x0, y0 )定义于 (x0, y0 ) x (x0, y0 )上,
令V {( x, x0 , y0 ) | (x0 , y0 ) x (x0, y0 ), (x0 , y0 ) G}, 下证y (x, x0, y0 )在V内连续,
对(x, x0, y0) V ,
V '(x) 2((x) (x))( f (x,(x)) f (x, (x))
2((x) (x))L((x) (x)) 2LV(x)
于是 d (V (x)e2Lx ) 0 dx
因对x0 [a,b]有
V (x) V (x0 )e2L(xx0 ) ,
y1 (x1, x0 , y0 ), 则由解的唯一性知,
(3.1)过点(x1, y1)与过点(x0, y0 )的解是同一条积分曲线 ,
即此解也可写成: y (x, x1, y1),
且显然有: y0 (x0 , x1, y1),
由于点(x1, y1)是积分曲线上任一点 ,
因此关系式y0 (x0, x, y)对该积分曲线上任意 点(x, y)均成立。
常微分方程
图例分析(见右)
y
dy dx

f
(x,
y) ,
(x, y) G R2
y(x0 ) y0
y (x, x0, y0 )
G
(x0 , y0 )
的解三可元看函成初同初例数是时值值:关y也问变于依题动dd赖的,x(相yxx,于解,x应x0初不0,的y,单值yy初00依(x)值0赖,问yy于0)题自的.y变0解e量x也xx将0 随, 之变y动.(x, x0, y0) 满足 y0 ……(x…0,…yx(0x,0y)0 ) y0
由已知条件,对( x, y) S ,存在以它为中心的圆 Ci G,使
f (x, y) 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 Li.根据有限
覆盖定理,存在N,当G N Ci 时,有 S G G
i1
对 0 ,记
d(G, S), min, / 2
x0
,
y0
),
常微分方程
初值问题
dy dx

f (x, y),
y(x0 ) y0
(3.1)'
的解y (x, x0, y0)都在区间[a,b]上存在,并且
(x, x0, y0 ) (x, x0, y0 ) , x [a,b]
则称初值问题(3.1)'的解y (x, x0, y0 )在点(x0, y0 )
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常微分方程
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:
Q1: 解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 (x0 , y0 ) 的
微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小?
而y (x, x0, y0 )在x [a,b]连续,
故2 0,使当
x

x


时
2
(x,
x0 ,
y0 )
( x,
x0 ,
y0 )


2
,
x, x [a,b]
取 min{1,2}, 则只要
(x x)2 (x0 x0)2 ( y0 y0)2 2,就有
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
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常微分方程
考察
dy

dx

f
(x,
y) ,
(x, y) G R2
(1)
y(x0 ) y0
的解 y (x, x0, y0 ) 对初值的一些基本性质
内容:
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解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性
R : (x x0 )2 ( y y0 )2 2 ,0 min{1,2}
(x0, y0) R (x) (x) (x0 ) (x0 ) eL xx0 ( (x0 ) (x0 ) (x0 ) (x0 ) )eL xx0
设f (x, y,)在区域G {(x, y,) | (x, y) G, (, )}
连续, 且在G内一致地关于y满足局部Lipschitz条件
则对0 ( , ), 方程(3.1) 通过点(x0, y0, 0 ) G
的解存在且唯一,记这个解为y (x, x0, y0, 0 )
且有y0 (x0 , x0 , y0 , 0 ).
(即对(x, y, ) G , 以(x, y, )为中心球C G ,使
f (x,
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y,

)在C内对y满足常L微ip分s方c程hitz
条件,
L与无关)
1 解对初值和参数的连续依赖定理
设f (x, y, )在区域G连续,且在G内一致地关于y满足 局部Lipschitz条件, (x0, y0, 0 ) G , y (x, x0, y0, 0 )
(x, x0, y0 ) (x, x0, y0 )
(x, x0, y0 ) (x, x0, y0 ) (x, x0, y0 ) (x, x0, y0 )

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常微分方程
二 解对初值的可微性
对含参量的微分方程
dy f (x, y, ),
dx
(3.1)
0a
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x0
常微分方程
bx
第二步:证明 (x) (x, x0, y0) 在[a,b]上有定义.
y
D
min(, / 2)
y0
y0
p( x0, y0 )
G
0 ca
x0 x0
bd x
2019/9/15 假定 [c, d] [a, b]利用常引微理分方2程及 (x) 的连续性可得:
方程(3.1) 通过点(x0, y0 )的解,在区间a x b上有定
义,其中a x0 b, 则对 0, ( , a,b) 0,使当
(x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 ( 0 )2 2
时,方程(3.1) 通过点(x0, y0 )的解y (x, x0, y0, )在区间
( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2
时,方程(1)过点( x0, y0 ) 的解 y ( x, x0, y0 ) 在[a,b]上也有
定义,且 ( x, x0, y0) ( x, x0, y0) , a x b.
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常微分方程
思路分析：
y
y0
y0
min(, / 2)
D
p( x0, y0 )
G
0a
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x0x0
常微分方程
bx
记积分曲线段S：y ( x, x0, y0) ( x), x [a,b] (见下图)
显然S是xy平面上的有界闭集.
第一步:找区域D,使 S D,且 f (x, y) 在D上满足Lips.条件.
连续依赖于初值(x0, y0 ).
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常微分方程
引理 如果函数 f (x, y)于某域G内连续，且关于 y 满足利普
希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 dy f (x, y) 的任 dx
意两个解 (x) 及 (x) ,在它们的公共存在区间内成立着不
等式 (x) (x) (x0) (x0) eL xx0 .其中x0 为所考虑
(x) (x) , c x d (*)
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第三步:证明 ( x) ( x) , a x b
在不等式(*)中将区间[c,d] 换成[a,b]即得.
由于(x)连续
对1

1 2
e
L(ba)
,

2
,当
x

x0
2时, (x) (x0 )
1
dx
条件: f (x, y)在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件;
结论: y ( x, x0, y0 ), ( x0, y0 )G,作为x, x0, y0的函数
在它的存在范围内是连续的.
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常微分方程
证明 对(x0 , y0 ) G, (3.1)过(x0, y0 )的饱和解
[a,b],使y (x, x0, y0)在[a,b]上有定义,其中x, x0 [a,b] 对 0, 1 0,使当
(x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 12,时
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(x, x0,
y0 ) (x, x0, y0 )
常微分方程

,
2
x [a,b]
Q2: 解在某个无限闭区间 [a, )上有定义,讨论初值 (x0, y0 ) 的微小变化是否仍有解在 [a, )上有定义,且解在整个
区间 [a, ) 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性
问题,将在第六章中讨论.
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常微分方程
一 解对初值的连续性
1.解对初值的连续依赖性
定义 设初值问题
方程 dy f ( x, y) , ( x, y) G R2 (1)
dx
条件: I. f (x, y) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件; II. y ( x, x0, y0 )是(1)满足( x0, y0 )G 的解,定义
区间为[a,b].
结论: 对 0 , ( ,a,b) 0使得当
x0 x b
对a x x0类似可证 ， 因此
V (x) V (x0 )e2L xx0 , x [a,b],
两边取平方根即得
(x) (x) 2019/9/15


(
x0
)
(x 常微分方程 0
)
e
L
x

x0
,
x [a,b],
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理)