第一部分 第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边 所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
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π π 3．若把本例中 C＝3改为 A＝4，其他条件不变，求 C，B，b.
π 解：∵ 6sin4＜2＜ 6， ∴本题有两解． a c csin A 3 ∵sin A＝sin C，∴sin C＝ a ＝ 2 .
且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状． [思路点拨] 首先利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin 2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的 形状．
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[精解详析]
a b c 法一：设sin A＝sin B＝sin C＝k， (2 分)
则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C ∵sin2A＝sin2B＋sin2C. ∴(ksin A)2＝(ksin B)2＋(ksin C)2. ∴a2＝b2＋c2. ∴A＝90° ，B＋C＝90° .
6．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
a b 解：由正弦定理，设sin A＝sin B＝k，则 a＝ksin A，b＝ksin B， ∴由 acos A＝bcos B，得：sin Acos A＝sin Bcos B. 即 sin 2A＝sin 2B. ∵2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B 或 2A－π＝2π－2B. π 即 A＝B 或 A＋B＝2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
A为钝角或直角
图形
关系 ①a＝bsin A bsin A＜a 式 解的 ②a≥b 一解 ＜b 两解
a＜bsin A
a＞b
a≤b
个数
无解
一解
无解
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5．若本题条件中“sin A＝2sin B· C”改为 cos
“bsin B＝csin C”，其他条件不变，结果如何？
解：由本例解法知A＝90°， 由bsin B＝csin C可得sin 2B＝sin 2C， ∴sin B＝sin C.
由A＝90°知，B、C均为锐角．
∴B＝C. 故△ABC为等腰直角三角形． 返回
元素求其他元素的过程叫做 解三角形 ． 返回
对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所 对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对 应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角 的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边
(6 分)
(8 分)
(11 分) (12 分)
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[一点通]
(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的
关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利 用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角
与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别 注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的 区别．
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[例 2] 求 A，B，b.
π 在△ABC 中，已知 a＝2，c＝ 6，C＝ ， 3
[思路点拨]
由c＞a可得A为锐角，由正弦定理求出
sin A，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，正弦定理
求得b.
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[精解详析]
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
角关系的转化．
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[例1]
在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c
＝2，求C、a、b. [思路点拨] 由三角形的内角和为180°可求C，根
据正弦定理可求a，b.
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[精解详析] 在△ABC 中， C＝180° －(A＋B)＝180° －(60° ＋45° )＝75° . sin 75° ＝sin(45° ＋30° ) ＝sin 45° 30° cos ＋cos 45° 30° sin 2 3＋1 2 3 2 1 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 根据正弦定理，得
π ∵c＞a，∴C＞A.∴A＝4. 5π 6· 12 sin 5π csin B ∴B＝12，b＝ sin C ＝ π ＝ 3＋1. sin3源自返回[一点通] 的方法
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对 大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正
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解：A＝180° －(B＋C)＝180° －(60° ＋75° )＝45° . b a 由正弦定理sin B＝sin A，得 asin B 8×sin 60° b＝ sin A ＝ sin 45° ＝4 6. a c 由sin A＝sin C，得 2＋ 6 8× 4 asin C 8×sin 75° c＝ sin A ＝ sin 45° ＝ ＝4( 3＋1). 2 2
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角； (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边． 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和 或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
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1．已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，则角
B 的对边长等于________．
解析：∵A＝30° ，C＝45° ，∴B＝180° －(A＋C)＝105° ， asin B 20sin 105° 由正弦定理 b＝ sin A ＝ sin 30° ＝40sin(45° ＋60° ) ＝10( 6＋ 2)．
答案：10( 6＋ 2)
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2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，解此三 角形．
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∵a＞b，∴A＞B，B 为锐角，B＝30° . C＝180° －(A＋B)＝105° . a c 由正弦定理sin A＝sin C，得 2×sin 105° 6＋ 2 asin C c＝ sin A ＝ sin 45° ＝ 2 .
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[例3]
(12分)在△ABC中，若sin A＝2sin B· C， cos
a b c 问题 2：试计算sin A，sin B，sin C的值，三者有何关系？
a b 3 c 提示：sin A＝2，sin B＝sin 60° ＝2，sin C＝2，三者的值相等．
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问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ a 提示：是．如图 sin A＝ c，
a b b ∴sin A＝c.sin B＝ c，∴sin B＝c. a b c ∵sin C＝1，∴sin A＝sin B＝sin C.
问题4：若是锐角三角形，或是钝角三角形，上述 结论还成立吗？ 提示：都成立．
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1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相 a b c sin A＝sin B＝sin C . 等，即
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对
边 a 、 b 、 c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个
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3 2× 2 csin A 2sin 60° a＝ sin C ＝ sin 75°＝ ＝ 6( 3－1)， 2 3＋1 4 2 2× 2 csin B 2sin 45° b＝ sin C ＝ sin 75°＝ ＝2( 3－1)． 2 3＋1 4
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[一点通] 本思路是
已知三角形任意两角和一边解三角形的基
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1．正弦定理是解三角形的重要工具，已知两角和 任一边，或已知两边和其中一边的对角均可以利用正 弦定理解三角形，应用正弦定理时，要注意定理的变
式和解的情况的讨论．
2．已知三角形两边及其中一边的对角解三角形， 可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a、b和A 时，解的情况如下表：
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A为锐角
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π 2π ∴C＝3或 3 . π 5π asin B 当 C＝3时，B＝12，b＝ sin A ＝ 3＋1. 2π π asin B 当 C＝ 3 时，B＝12，b＝ sin A ＝ 3－1.
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4．在△ABC 中，已知 a＝ 2，b＝1，A＝45° 解此三角形． ，
a b 解：由正弦定理sin A＝sin B，得 2 1× 2 bsin A 1 sin B＝ a ＝ ＝2. 2
(6 分)
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由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90° ＝2sin Bcos(90° －B)， 1 ∴sin B＝2.
2
(10 分)
2 ∵B 是锐角，∴sin B＝ 2 ，∴B＝45° ，C＝45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形． (12 分)
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法二：同解法一，求得 A＝90° . ∵A＝π－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C． ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0. ∴B－C＝0，即 B＝C. ∴△ABC 是等腰直角三角形．
1.1 第 一 章 解 三 角 形 理解教材新知
第 1 部 分
正 弦 定 理 和 余 弦 定 理
1.1. 1 正 弦 定 理
考点一 把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
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如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2， 问题1：△ABC的其他边和角为多少？
提示：∠B＝60° ，∠C＝90° ，a＝1，b＝ 3.