相似三角形专项训练试题

相似三角形训练试题
一．解答题（共30小题）
1．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，
连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
2．（2016•阜阳校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC
的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
3．（2016春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
4．（2016春•盐城校级月考）已知，如图，==，那么△ABD与△BCE相似吗？为
什么？
5．（2016春•郴州校级月考）如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：______．
6．（2016春•淮安月考）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
7．（2015•上饶校级模拟）如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，
AE=EB．求证：△AED∽△CBD．
8．（2015秋•寿光市期末）如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
9．（2015春•潍坊校级期末）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
10．（2015秋•太原期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
11．（2015秋•睢宁县期末）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．
12．（2015秋•太和县校级期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．求证：△ACF∽△BEC．
13．（2015秋•包河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，AC=6cm，在线段BC上，动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动；同时在线段CA上，点Q以acm/s 的速度从点C向点A匀速运动，当点P到达点C（或点Q到达点A）时，两点运动停止，在运动过程中．
（1）当点P运动s时，△CPQ与△ABC第一次相似，求点Q的速度a；
（2）当△CPQ与△ABC第二次相似时，求点P总共运动了多少秒？
14．（2015春•宁波校级期末）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有______对；
（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．
15．（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
16．（2015秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是______，或______．
请回答：
（1）王华补充的条件是______，或______．
（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．
17．（2015秋•平顶山校级期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
18．（2015秋•建湖县校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD．求证：△ADE∽△ABD．
19．（2014•厦门模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．
（1）若BC=8，求FD的长；
（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE．
20．（2013秋•云梦县期末）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．
（1）如图②，当β=______°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形______，______（不含全等三角形），并选一对证明．
21．（2013秋•蚌埠期末）如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．
（1）证明：△ADC∽△AEB；
（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．
22．（2014秋•海淀区期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
23．（2014秋•安庆期末）如图，在△ABC，点D、E分别在AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°．请写出图中的两对相似三角形（不另外添加字母和线），并选择其中的一对进行证明．
24．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，求证：△AFD∽△EFC．
25．（2014秋•晋江市校级期中）在△ABC和△A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm．
求证：△ABC∽△A1B1C1．
26．（2014秋•定陶县期中）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．
27．（2014秋•浙江校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EC⊥AB，垂足为E，连接DE．试说明△BDE∽△BAC．
28．（2014秋•凌河区校级期中）如图，在同一平面内，将等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°．若△ABC固定不动，△AFG 绕点A旋转．
（1）如图（1）在旋转过程中，当AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B 重合，点E不与点C重合）时，图中相似三角形有哪几对，请逐一写出；并选择一对加以证明．
（2）如图（2）在旋转过程中，当G点在BC边上，AF与BC边交于点D，（1）中的结论是否有变化？若有，请直接写出图中新得出的相似三角形是______．
29．（2013•杭州模拟）在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F 为BC上的中点，连接DE，EF，DF．
（1）求证：DF=EF；
（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；
（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．
30．（2013秋•巴中期末）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E位于BC的中点处．
①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．
2016年09月26日wx98wx的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，
连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=．
∴AD2==，AC•CD=1×=．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
2．（2016•阜阳校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC
的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
【解答】（1）证明：∵BF∥DE，
∴==，
∵AD=BD，
∴AC=CG，AE=EF，
在△ABC和△GBC中：
，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB=BG；
（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴CD=2.5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵DE∥BF，
∴∠DCB=∠CBP，
∴∠DBC=∠CBP，
第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：
在△BCP与△BCD中
，
∴△BCP≌△BCD（AAS），
∴BP=CD=2.5；
第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：
∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∵CH⊥BG，
∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，
∴△ABC∽△CBH，
∴=，
∴BH=，BP=．
综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．
3．（2016春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，
∴AM=CM，
∴∠C=∠CAM，
∵DA⊥AM，
∴∠DAM=90°，
∴∠DAB=∠CAM，
∴∠DAB=∠C，
∵∠D=∠D，
∴△DBA∽△DAC．
4．（2016春•盐城校级月考）已知，如图，==，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
【解答】解：∵==，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∵=，
∴=，
∴△ABD∽△CBE．
5．（2016春•郴州校级月考）如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）．
【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠C=∠E，
∴△ABC∽△ADE．
（2）补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：
由（1）得：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE；
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
6．（2016春•淮安月考）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
【解答】解：设AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6﹣t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①当=时，△APQ∽△ABD，
∴=，
解得：t=3；
②当=时，△APQ∽△ADB，
∴=，
解得：t=1.2．
∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似．
7．（2015•上饶校级模拟）如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．
【解答】证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB，
∵AE=BE，
∴CB=2AE，
∵，
∴CD=2AD，
∴==，
而∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD．
8．（2015秋•寿光市期末）如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．
又∵∠ADE=45°，
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．
∴∠EDC=∠BAD．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．
②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2
③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：
AE=CE=AC=1．
9．（2015春•潍坊校级期末）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
【解答】证明：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD．
10．（2015秋•太原期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当=时，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；
当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．
11．（2015秋•睢宁县期末）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．
【解答】解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，
理由是：分为两种情况：①当∠ADE=∠C时，如图1：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴
∴，
∴AE=；
②当∠ADE=∠C时，如：2：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=．
∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或．
12．（2015秋•太和县校级期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．求证：△ACF∽△BEC．
【解答】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ACF=∠ACE+45°，
∴△ACF∽△BEC．
13．（2015秋•包河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，AC=6cm，在线段BC上，动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动；同时在线段CA上，点Q以acm/s
的速度从点C向点A匀速运动，当点P到达点C（或点Q到达点A）时，两点运动停止，在运动过程中．
（1）当点P运动s时，△CPQ与△ABC第一次相似，求点Q的速度a；
（2）当△CPQ与△ABC第二次相似时，求点P总共运动了多少秒？
【解答】解：（1）如图1，BP=×2=，
∵∠QCP=∠ACB，
∴当=，△CPQ∽△CBA，即=，解得a=1，
∴点Q的速度a为1cm/s；
（2）如图2，设点P总共运动了t秒，
∵∠QCP=∠ACB，
∴当=，△CPQ∽△CAB，即=，解得t=，
∴点P总共运动了秒．
14．（2015春•宁波校级期末）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有3对；
（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，
∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，
∴△BCP∽△BER；
同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAP=∠PCQ，
∵∠APB=∠CPQ，
∴△PCQ∽△PAB；
∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，
∴△PAB∽△RDQ．
综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有3对．
故答案是：3．
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=PR，=，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE．
===，
∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．
15．（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
【解答】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，AC=，
∴MN=，
∴MN的长为3或．
16．（2015秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或
AC2=AP•AB．
请回答：
（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．
【解答】解：∵∠A=∠A，
∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；
或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；
故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；
（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由如下：∵∠A=∠A，
∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；
或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；
故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；
（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：
∵AC2=AB2+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，
∴，
又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠ACB+30°=180°，
∴∠ACB=50°．
17．（2015秋•平顶山校级期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【解答】解：∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB==5，
则BP=t，AQ=2t，AP=5﹣t，
∵∠PAQ=∠BAC，
当=时，△APQ∽△ABC，即=，解得t=；
当=时，△APQ∽△ACB，即=，解得t=；
答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
18．（2015秋•建湖县校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD．求证：△ADE∽△ABD．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE，∠BDE=∠CAD，
∴∠ADE=∠C，
∴∠B=∠ADE，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD．
19．（2014•厦门模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．
（1）若BC=8，求FD的长；
（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE．
【解答】解：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴，DE∥BC．
∴∠AED=∠C．
∵∠F=∠C，
∴∠AED=∠F，
∴FD==4；
（2）∵AB=AC，DE∥BC．
∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE，
∵∠AED=∠F，
∴∠ADE=∠F，
又∵∠AED=∠AED，
∴△ADE∽△DFE．
20．（2013秋•云梦县期末）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．
（1）如图②，当β=（90+α）°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；
（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE（不含全等三角形），并选一对证明．
【解答】解：（1）∵∠ABC=α，
∴∠BAC=90°﹣α，
∴β=∠90°+α；
（2）图中两对相似三角形：①△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE，
证明①：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′
∴
∴△ABB′∽△ACC′；
证明②：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′，
∴∠ACC′=∠ABB′=，
又∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．
21．（2013秋•蚌埠期末）如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．
（1）证明：△ADC∽△AEB；
（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．
【解答】（1）证明：∵如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，
∴∠ADC=∠AEB=90°．
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△AEB；
（2）由（1）知，△ADC∽△AEB，则AD：AE=AC：AB．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC．
22．（2014秋•海淀区期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
【解答】证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
23．（2014秋•安庆期末）如图，在△ABC，点D、E分别在AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°．请写出图中的两对相似三角形（不另外添加字母和线），并选择其中的一对进行证明．
【解答】解：△ADE∽△ACB，△FCE∽△FDB．
对△ADE∽△ACB进行证明：
∵∠BDE+∠BCE=180°，
而∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠BCE，即∠ADE=∠ACB，
而∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
24．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，求证：△AFD∽△EFC．
【解答】解：∵E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，∴AD∥CE，
∴△AFD∽△EFC．
25．（2014秋•晋江市校级期中）在△ABC和△A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm．
求证：△ABC∽△A1B1C1．
【解答】证明：∵AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm，∴=3．
∴△ABC∽△A1B1C1．
26．（2014秋•定陶县期中）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对．
【解答】答：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，
证明：∵∠DME=∠A=∠B，
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM．
27．（2014秋•浙江校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EC⊥AB，垂足为E，连接DE．试说明△BDE∽△BAC．
【解答】证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵EC⊥AB
∴∠CEB=90°
∴点D和点E在以AC为直径的圆上，
∴∠BDE=∠BAC，
而∠DBE=∠ABC，
∴△BDE∽△BAC．
28．（2014秋•凌河区校级期中）如图，在同一平面内，将等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°．若△ABC固定不动，△AFG 绕点A旋转．
（1）如图（1）在旋转过程中，当AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B 重合，点E不与点C重合）时，图中相似三角形有哪几对，请逐一写出；并选择一对加以证明．
（2）如图（2）在旋转过程中，当G点在BC边上，AF与BC边交于点D，（1）中的结论是否有变化？若有，请直接写出图中新得出的相似三角形是△DCA∽△DAG，△ABG∽△DCA，△ABC∽△GAF，△ABG∽△DAG．
【解答】解：（1）△DCA∽△DAE，△ABE∽△DCA，△ABC∽△GAF，△ABE∽△DAE，△ABD∽△GFD；
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠BAE=45°
∴△ABE∽△DAE．
（2）由图示知，点E与点G重合了，则图中相似三角形有：△DCA∽△DAG，△ABG∽△DCA，△ABC∽△GAF，△ABG∽△DAG，△ABD∽△GFD；
故答案是：△DCA∽△DAG，△ABG∽△DCA，△ABC∽△GAF，△ABG∽△DAG．
29．（2013•杭州模拟）在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F 为BC上的中点，连接DE，EF，DF．
（1）求证：DF=EF；
（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；
（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
而F为BC上的中点，
∴EF=BC，DF=BC，
∴DF=EF；
（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；
（3）△ADE∽△ACB．理由如下：
证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
而∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
30．（2013秋•巴中期末）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E位于BC的中点处．
①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，
∴∠1+∠2=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠3=45°
∴∠1+∠4=135°
∴∠2=∠4，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BEM∽△CNE；
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴，
又∵BE=EC，
∴，
∴，
又∵∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．。