2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)一诊数学试卷(理科)

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重庆市2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

重庆市高2025届高三第一次质量检测数学试题（答案在最后）2024.9一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.不等式()()2110x x +-≥的解集为（）A.1{|2x x ≤-或1}x ≥ B.1{|2x x ≤-或1}x >C.1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集.【详解】()()2110x x +-≥的解为12x ≤-或1x ≥，故解集为：1{|2x x ≤-或1}x ≥，故选：A.2.集合{}1,1A a =+，{}0,,5B a a =-+，若A B A ⋂=，则a 为（）A.1B.1-C.4- D.1-或4-【答案】B 【解析】【分析】根据A B A = 可得A B ⊆，故求a 的值.【详解】因为A B A = ，故A B ⊆，故10a +=或1a a +=-，若1a =-，此时{}{}0,1,0,1,4A B ==，满足A B ⊆，若1a a +=-即12a =-，此时1191,,0,,222A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，不满足A B ⊆，故选：B.3.命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为（）A.(),0,e 20xx ax ∃∈-∞-≥ B.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥C.()0,,e 20x x ax ∃∈+∞-> D.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-<【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥.故选：B4.随机变量()2,4N ξ ，13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()()D D ξη=B.()()E E ξη=C.()122P ξ≤=D.()112P η==【答案】C 【解析】【分析】根据二项分布和正态分布的期望和方差公式可判断AB 的正误，根据正态分布的对称性可判断C 的正误，根据二项分布的概率的公式可判断D 的正误.【详解】对于AB ，()()132,322E E ξη==⨯=，故()()E E ξη≠，()()1134,3224D D ξη==⨯⨯=，故()()D D ξη≠，故AB 错误；对于C ，根据正态分布的对称性可得()122P ξ≤=，故C 正确；对于D ，()131131C 248P η==⨯⨯=，故D 错误；故选：C.5.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.01；而把365(11%)-看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的约（）（参考数据：lg0.990.004,lg1.010.004,lg832 2.92≈-≈≈）A.99倍B.101倍C.292倍D.832倍【答案】D 【解析】【分析】直接计算36536521.010.99lg 2.9≈，根据所给数值求解.【详解】()365365365365l 91.01 1.010.99 1.010.90.99g lg lg 365lg lg =-=-().101365lg lg 29929=-≈，故936536252.108321.010.99=≈.故选：D6.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.48B.12C.18D.36【答案】D 【解析】【分析】对6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有()4133236⨯⨯+⨯=种.故选：D7.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（）A.()0,e 1- B.1e 1e ,56--⎛⎫⎪⎝⎭C.e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D.1e 1e ,46--⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意，推得函数()f x 图象关于直线1x =对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.【详解】由1+=1−可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且o2+p =o −p ，因()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，故有(2)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.又当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，故可作出函数()f x 的图象如图.由关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，可理解为()y f x =与(1)y m x =+恰有5个交点.而这些直线恒过定点(1,0)P -,考虑直线与()f x 相交的两个临界位置(3,1e),(5,1e)A B --,由图知，需使PA PB k m k <<，即1e 1e46m --<<.故选：D .【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.8.已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a -+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（）A.e ,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.1,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C.e ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解.【详解】()()()22222e e 21e -+-+-+''=+-++=-+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =-++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =，则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==-a x x x x ，而2e 0xax-+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =，于是()f x 的最大值()22222e -+==x ax m f x x ，最小值()21111e -+==x ax n f x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e--+++-++++===-a x x ax axx x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a-∈-+∞，2141e ,e -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭a ，则2141e,212e -⎛⎤∈-∞- ⎥⎝-⎦a ，所以mn 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.9.若2024220240122024(23)x a a x a x a x -=++++ ，则下列选项正确的有（）A.202402a =B.01220241a a a a +++= C.2024202432024122320241222222a a a a ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭D.1232023202423202320246072a a a a a +++++= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值判断AC ，去绝对值后，赋值判断B ，两边求导后，再赋值，判断D.【详解】A.令0x =，得202402a =，故A 正确；B.01220240122024......a a a a a a a a ++++=-+-+，令令展开式中的1x =-，得20240122024 (5)a a a a -+-+=，故B 错误；C.令展开式中的12x =，得2024320241202320241...22222a a a aa ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以2024202432024122320241...222222a a a a⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭，故C 正确；D.展开式的两边求导，得()20232202220231232023202432024232320232024x a a x a x a x a x -⨯-=++++，令1x =，得1232023202423...202320246072a a a a a +++++=，故D 正确.故选：ACD10.下列选项正确的有（）A.当()02x ∈，时，函数222y x x -=+的最小值为1B.()1x ∈-∞，，函数31y x x =+-的最大值为-C.函数2y =的最小值为2D.当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为32+【答案】AD 【解析】【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A ，根据基本不等式判断BC ，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D.【详解】A.()222211y x x x =-+=-+，()02x ∈，，当1x =时，函数去掉最小值1，故A 正确；B.33111111y x x x x =+=-++≤-=---，当311x x -=-，1x <，得1x =31y x x =+-的最大值为1-，故B 错误；C .22y ==2t =≥，则1y t t =+在区间[)2,+∞单调递增，当2t =时，1y t t =+取得最小值52，所以函数2y =的最小值为52，故C 错误；D.若2a b ab +=，则112a b+=，则()11131231322222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2b aa b=时，即12a +=，24b =时，等号成立，所以2+a b 的最小值为32+，故D 正确.故选：AD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，且满足()()60f x f x +-=，2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31f '=-，()()231g x f x =--，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x '的周期为4B.函数()g x '的图象关于点()1,1-对称C.()y f x x =-的图象关于直线=2对称D.数列(){}g n '的前2024项之和为4048-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件可得()()60f x f x ''--=、()()42f x f x ''+-=，故可求函数′的周期为4，故可判断A 的正误，利用反证法可判断B 的正误，根据()()42f x f x ''+-=可得()()424f x f x x --=-，故可判断C 的正误，计算出()()()()12348g g g g ''''+++=-后可判断D 的正误.【详解】因为()()60f x f x +-=，所以()()60f x f x ''--=，而2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()42f x f x ''+-=，故()()462f x f x ''-+-=即()()22f x f x '+'+=，故()()242f x f x ''+++=，故()()4f x f x +'='，故函数′的周期为4，故A 正确；又()()23g x f x ''=--，而()()122g f =-''，而()()222f f ''+=即()21f '=，故()12g '=-，若()g x '关于()1,1-对称，则()11g '=-，矛盾，故B 错误.因为()()42f x f x ''+-=，故()()42f x f x x c --=+，故()()224f f c ''-=+即4c =-，故()()4(4)f x x f x x -=---故()y f x x =-的图象关于直线=2对称，故C 正确.因为′的周期为4，故()g x '的周期也是4，而()()22f x f x '+'+=，故()()022f f ''+=，故()()()()1322204g g f f '''-'+=-=-，因为()31f '=-，故()()0232g f ''=-=，故()42g '=，又()()132f f ''+=，故()13f '=，故()()2216g f ''=-=-，故()()()()12348g g g g ''''+++=-，故数列(){}g n '的前2024项和为()2024840484⨯-=-，故D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：根据抽象函数的单调性我们可得到该函数的周期性及导函数的周期性、对称性等，性质讨论的方法是变换的思想.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____【答案】13【解析】【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可.【详解】2πππ1sin sin παsin 3333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：13.13.若221919C C mm -=，则33345C C C m +++ 的值为______【答案】69【解析】【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m ，再计算组合数即可.【详解】因为221919C C mm -=，所以22m m =-或2219m m +-=，解得2m =或7m =,因为33345C C C m +++ ，所以3m ≥,可得7m =,所以3333333454567C C C =C C C C 410203569m ++++++=+++= .故答案为：69.14.函数2e 12()e 21x x xh x -=++，不等式()22(2)2h ax h ax -+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是_____【答案】[]2,0-【解析】【分析】由解析式得出()()2h x h x +-=，令()()1f x h x =-，得()f x 为奇函数，再利用导数得出()f x 的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可．【详解】因为2e 122()e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以22222()()e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-==++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，可得()f x 为奇函数，又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫''=+-=+-=+ ⎪+⎝⎭+++，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222xx ≤=++，当且仅当122xx =，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-，故答案为：[]2,0-．【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出()()2h x h x +-=，构造()()1f x h x =-是解题关键．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知函数()eln f x x x=+（1）求=op 在()()1,1f 处的切线方程；（2）求=在1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【答案】（1）()1e 2e 1y x =-+-（2）2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再求函数的最小值.【小问1详解】()eln f x x x=+，()1e f ∴=，且()21ef x x x'=-，()11e f '∴=-，切线方程为：()()e 1e 1y x -=--，即()1e 2e 1y x =-+-；【小问2详解】()221e e x f x x x x-'=-=，当1,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0f x '<，()y f x =在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当()e,3x ∈，()0f x '>，()y f x =在()e,3上单调递增，()f x \在区间1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为()2f =e .16.我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p 和43p -，其中304p <≤，三组是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p 取何值时，第三组进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）49（2）分布列见解析，43【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可求当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.（2）根据二项分布可求X 的分布列和数学期望.【小问1详解】由题知：第三组通过初赛和复赛的概率2204424()3339p p p p p p ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，又因为3044013p p ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤-≤⎪⎩，所以1334p ≤≤所以，当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.【小问2详解】由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为224339⨯=.因为进入决赛的队伍数43,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()03341250C (19729P X ==⨯-=；()123443001001C (199729243P X ==⨯⨯-==；()22344240802C ()199729243P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭；()3334643C (9729P X ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为:X123P1257291002438024364729()1251008064401237292432437293E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时，求平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面法向量即可求得结果.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE .【小问2详解】PA ⊥ 平面ABCD ，A ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，A ，A ，AP 所在直线分别为x ，y ，z建立空间直角坐标系,如下图所示：则0,0,0，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，()()()2,0,0,1,1,1,2,2,0AB BE BD ==-=-，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =，则1111200n AB x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，解得10x =，令11y =，得11z =-，故平面ABE 的一个法向量为 =0,1,−1，设平面DBE 的法向量为()222,,m x y z =，则222222200m BD x y m BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ,解得20z =，令21x =，得21y =，故平面DBE 的一个法向量为()1,1,0m =，设平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角为θ，则1cos 2m nm nθ⋅=== ，所以平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小为π3.18.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23,22⎫-⎪⎝⎭且()0b c c =>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，1112AF BF ⋅= ，求1ABF 的面积.【答案】（1）2212x y +=（2）3.【解析】【分析】（1）代入点23,22⎛- ⎝⎭坐标并于b c =联立计算可得222,1a b ==，求出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出2m =±，再由弦长公式计算可得结果.【小问1详解】将,22⎛- ⎝⎭代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=，又因为b c =，所以222a b =，代入上式可得222,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；【小问2详解】由(1)可得()()12121,0,1,0,2F F F F -=，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，如下图所示：联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++，则()()1111221,,1,AF x y BF x y =---=---，所以()()1111221212121,1,1AF BF x y x y x x x x y y ⋅=------=++++()()()2221212122222221211142222m m m m y y my my y y m m m m =+++++++=----++++227122m m -==+，解得24m =，即2m =±，所以121221,36y y y y +=±=-，则1ABF 的面积()212121212110423S F F y y y y y y =-=+-=.19.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在=0处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x+++=+++ ，且满足：()()00f R =，()()00f R '='，()()()()()()0000m n m n f R f R ++'='''= .已知()()ln 1f x x =+在=0处的[]1,1阶帕德近似()1a bx R x cx+=+注：()()'''[]f x f x ='，()()'''[]f x f x ''='，()()()4'[]f x f x '''=，()()()()54'[]f x f x =，…（1）求a ，b ，c 的值；（2）比较()11x c f x ⎛⎫+⎪⎝⎭与的大小，并说明理由；（3）求不等式1211(1)e (1)x x x x++<<+的解集，其中e 2.71828=【答案】（1）102a b a c ===，，；（2）()11x c f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，理由见解析；（3）()0,∞+.【解析】【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可；（2）先化简换元令11t x+=，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明；（3）结合（2）结论应用单调性解不等式【小问1详解】因为()()()ln 11a bxf x x R x cx+=+=+，，()()()()()''''2232111(1)(1)(1)b ac c b ac f x R x f x R x x cx x cx ---==='-++'=++，，，()()00f R =，则()()000a f R '=='，，则1b ac =-，则1b =，()()()''''100122f R b ac c c =-=--=，，，所以1012a b c ===，，.【小问2详解】()111ln 12x c f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令11t x+=，则()()()()11ln 0,11,21t x c f t t x t ∞+⎛⎫+=∈⋃+⎪-⎝⎭，，令()()()()21ln 0,11,1t h t t t t ∞-=-∈⋃++，，ℎ'(p =1−4(r1)2=(K1)2or1)2>0，所以()h t 在()0,1单调递增，在()1,∞+单调递增，()()()0,1,10t h t h ∈<=，即()21ln 1t t t -<+，所以r12(K1)ln >1，∈(1,+∞),ℎ(p >ℎ(1)=0,ln >2(K1)r1，所以r12(K1)ln >1，综上，()11x c f x ⎛⎫+>⎪⎝⎭.【小问3详解】若要使12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则110x+>，即1x <-或>0，当121e 1xx +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，即ln 1+r 12>1,ln 1+>1，由（2）知上式成立，所以()(),10,x ∞∞∈--⋃+，当11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，当>0时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于11ln 111x x⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭，成立;当1x <-时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于ln 1>1+1−1，不成立，所以解集为()0,∞+.。

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为( )．A. (1,2)B. (−1,2)C. (2,1)D. (2,−1)2. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={x|2≤x <5,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {3,4}B. {3,4，5}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4，5，6}3. 已知非零向量m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 满足|n ⃗ |=4|m ⃗⃗⃗ |，且，则m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为( ) A. π3B. π2C. 2π3D. 5π64. 已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，则P(ξ<2)( )A. 0.8B. 0.75C. 0.7D. 0.65. 设函数f(x)=sin(2x +3π4)+cos(2x −π4)，则( ) A. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π4对称 B. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π2对称 C. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π4对称 D. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π2对称6. 若平面α⊥平面β，点A ∈α，则过点A 且垂直于平面β的直线( )A. 只有一条，不一定在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C. 只有一条，一定在平面α内D. 有无数条，一定在平面α内7. 设a =log 3e ，b =e 1.5，c =log 1314，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b8. 已知sinα−cosα=13,则cos 2(π4−α)= ( )A. 1718B. 19C. √29D. 1189. 已知AB 是圆O ：x 2+y 2=1的任意一条直径，点P 在直线x +2y −a =0(a >0)上运动，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为4，则实数a 的值为( )A. 2B. 4C. 5D. 610.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 6911.已知双曲线x2a2−y2b2=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为()A. y2=4xB. y2=4√2xC. y2=8√2xD. y2=8x12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是()A. 线段CA1的三等分点，且靠近点A1B. 线段CA1的中点C. 线段CA1的三等分点，且靠近点CD. 线段CA1的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则a0+a1+⋯+a6=______ ．14.在△ABC中，若a=bcosC+csinB.则B=______ ．15.有3个本校老师和3个外校老师被安排到高三地理选考考试的3个考场，要求一个试场有一个本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考1号试场，外校老师乙不监考2号试场，则共有______种不同安排方案．16.若函数y=ln x2−x−a(x−1)有3个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)设b n=2n⋅√a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：(注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级)(Ⅰ)从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？(Ⅲ)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由．P(K2≥K)0.0500.0250.0100.001 K 3.841 5.024 6.63510.828 (K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π3，M为A1D的中点．(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其右顶点和上顶点分别为AB原点到直线的距离为2√55(1)求椭圆方程；(2)直线l：y=k(x+2)交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数f(x)=45x−ln(1+x2)，求函数f(x)在(0,+∞)上的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵i(i+2)=−1+2i，∴复数i(i+2)对应的点的坐标为(−1,2)，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考察了集合概念和集合交集运算，基础题。

重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟考试数学(理)试题(解析版)

{}{}A. y = 4A.7a b巴蜀中学高三一诊模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数 z = a 2 + a - 2 + (a 2 - 3a + 2)i 为纯虚数，那么实数 a 的值为A.-2B.1C.2D.1 或-22.已知集合 A = x y = log (4 - x 2) ， B = y y = 2 x+ 1 ，则 AB =2A. φB.(1,3)C. (1,+∞)D.(1,2)3.直线 l 过点(0,2)，被圆 C : x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 9 = 0 截得的弦长为 2 3 ，则直线 l 的方程是14x + 2B. y = - x + 2C.y=2D. y = x + 2 或 y=233 34.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为9 8 10 B.C.D.8109115.已知各项不为 0 的等差数列 { n}满足 a4- 2a 2 + 3a = 0 ，数列{ }是等比数列，且b = a ，则b b b =7 8 n 7 7 3 8 10A.1B.8C.4D.26.已知函数 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的奇函数，若对于任意的实数 x ≥ 0 ，都有 f ( x + 2) = f ( x ) ，且当2,0) 4]上单调递增.其中是真命题的为A.2B.3x∈[0,2)时，f(x)=log(x+1)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)的值为2A.-1B.-2C.2D.17.对于函数f(x)=xcosx，现有下列命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0,A.②④B.①④C.②③D.①③π9.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2-c2=b，且sin(A-C)=2cos A s in C，则b=A.6B.4C.2D.110.已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是A.39B.63C.83D.611.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为23C.1D.3312.若函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则称函数f(x)为“和谐函数”.下列函数中：①224 2 8 x13.已知函数 f ( x ) = ⎨ 则 f ( f ( f ( ))) = _______.⎩ 2 x , x ≤ 0,1 1 a （2）设 c =，求数列 {c }的前 n 项和 S .aa1 1g ( x ) = x - 1 + ；② h ( x ) = log (( ) x + ) ；③ p ( x ) = ；④ q ( x ) = ln x .“和谐函数”的个数为1 2A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）⎧log x, x > 0, 13 314.二项式 (2 x - 1 2 x)n(n ∈ N * ) 的展开式中，二项式系数最大的项是第 4 项，则其展开式中的常数项是_____.15.△ABC 中，∠A=120°，∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D ，且 AB=2，CD=2DB ，则 AD 的长为_____16.A ，B ，C ，D 四点在半径为5 2 2的球面上，且 AC=BD=5，AD=BC= 41 ，AB=CD ，则三棱锥 D-ABC 的体积是______.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知数列 { }的首项 a = 1 ，且满足 (an1n +1 - 1)a + a nn +1 = 0(n ∈ N * ) .（1）求数列 { }的通项公式；n3n nnnn18.（本小题满分 12 分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，... ，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图，统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‘（2）若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分，在[60,80)记 1 分，在[80,100]记 2 分，用 ξ 表示抽取结束后的总记分，求 ξ 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA=2，E是侧棱BB的中点.111111（1）求证：平面AD E⊥平面A D E；111（2）求二面角E-AC-B的正切值.120.（本小题满分12分）椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为k，k k=-12122 3.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与x轴交于点D(-3,0)，且满足DP=2QD，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln x-kx+1.（1）若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2). 3815n2-1n4⎩ y = sin ⎩ y = 1 + t,请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .22.（本小题满分 10 分）【选修 4-1：几何证明选讲】如图，在△ABC 中，DC ⊥AB 于 D ，BE ⊥AC 于 E ，BE 交 DC 于点 F ，若 BF=FC=3，DF=FE=2.（1）求证： AD ⋅ AB = AE ⋅ AC ；（2）求线段 BC 的长度.23.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】⎧ x = 2 cos θ , ⎧x = 2 + 3t,已知曲线 C 的参数方程为： ⎨ (θ 为参数），直线 l 的参数方程为： ⎨ (t 为参数），θ ,点 P(2,1)，直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点.（1）写出曲线 C 和直线 l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求 P A ⋅ PB 的值.24.（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】（1）设函数 f ( x ) =x + 1 + x - 2 - a 的定义域为 R ，试求 a 的取值范围；（2）已知实数 x ，y ，z 满足 x+2y+3z=1，求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值.高 2016 届一诊模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5 ADDCB 6-10 ABACD 11-12BC4.S=1【解析】⎧a2+a-2=0,1.⎨⎩a2-3a+2≠0,即a=-2，故选A.118++⋅⋅⋅+=，故选C.1⨯22⨯38⨯995.设等差数列的公差是d，由a-2a2+3a=0，a-3d-2a2+3(a+d)=0，解得a=2或者a=047877777（舍去），所以b b b=(b)3=8，故选B.381076.由已知f(x)为R上的奇函数，且对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)=f(0)-f(1)+f(0)=-1，故选A.7.f(0)=0，f(2π)=2π，f(0)≠f(2π)，所以②错；f(0)=0，f(π)=-π，f(0)≠-f(π)，所以③错，故选B.8.由题意，当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而23232a+3b13b a1325+=(+)=+(+)≥+2=，故选A.a b a b66a b669.sin A cos C=3cos A s in C⇒2(a2-c2)=b2，又a2-c2=b，代入得b=2，故选C.2310.如图，根据三视图间的关系可得BC=23，∴侧视图中V A=42-(⨯32⨯23)2=23，∴三棱锥侧视图面积S1△VBC=2⨯23⨯23=6，故选D.b a ⎪ a =④错误.若 f(x)在区间[a,b]上单调递减，须满足： f (a) = ， f (b ) = ，对于③，代入有⎨ 2 ，ab=2 2 xT2 2 211.过 A ，B 分别作抛物线准线的垂线 AQ ，BP ，垂足分别为 Q ，P ，连接 AF ，BF ，设 AF = a ， BF = b .由a +b MN 3抛物线定义及余弦定理得： AB 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos120 ，MN = ，由均值不等式得： ≤2 AB 3故选 B.，12.由题意知，若 f(x)在区间[a,b]上单调递增，须满足： f (a) = a b， f (b ) = ，结合图象知：①②正确，2 2⎧ 1 b 2 21 a ⎪ = ⎩ b 21即可.例如： [ ,4] 满足题意，所以③正确，故选 C.2二、填空题13. log 1 1 1 1 【解析】 f ( f ( f ( ))) = f ( f (-1)) = f ( ) = log3 2 3 2 3 2.14.-20【解析】由题意知，展开式中有 7 项，n=6， r +1解得 r=3，所以常数项为-20.= C r (2 x )6-r (- 16)r = (-1)r C r 26-2r x 6-2r ，6-2r=0，6 15. 4CD 2 1 2 【解析】由题意 B ，C ，D 三点共线，且 = ，则 AD = AC + AB ，根据角平分线的性质3 BD 1 3 3AB BD 1 1 2 1 4 4 16 = = ，所以 AC=4， AD 2 = AD = ( AC + AB)2 = AC + AB + AC ⋅ AB = ，所 AC CD 2 3 3 9 9 9 94以 AD = .316.20【解析】如图，设长方体的三条棱长分别为 a ，b ，c ，则有 a 2 + b 2 = 25 ， a 2 + c 2 = 41 ，a 2 +b 2 +c 2 = 50 ，解得 a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积是 20.三、解答题17.解：（1）整理得1an +11- = 1 ， ................................... 3 分 an所以1n na解得：S=(2n-1)44C1C1C1C1+C227=15C21=1+(n-1)=n，所以a=....................................6分n（2）由（1）知，c=n⋅3n，...................................7分nS=1⨯3+2⨯32+3⨯33+⋅⋅⋅+n⨯3n，①n3S=1⨯32+2⨯33+3⨯34+⋅⋅⋅+(n-1)⨯3n+n⨯3n+1，② (9)n分①-②有-2S=3+32+33+⋅⋅⋅+3n-n⨯3n+1，n3⨯3n+1+....................................12分n18.解：（1）设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01+0.015⨯2+0.025+0.005)⨯10+x=1，可得x=0.3.所以频率分布直方图如图所示.....................................4分估计本次考试的平均分为x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.15+75⨯0.3+85⨯0.25+95⨯0.05=71....................6分（2）学生成绩在[40,60)的有0.25⨯60=15人，在[60,80)的有0.45⨯60=27人，在[80,100]的有0.3⨯60=18人，并且ξ的可能取值为0,1,2,3,4......................7分则P(ξ=0)=C215=C260727207；P(ξ=1)=，P(ξ=2)=151827=118C2118C25906060；P(ξ=3)=C1C12718=C2608151；P(ξ=4)=18=295C259060..........................9分所以ξ的分布列为E(ξ)=0⨯7..................................11分272078151+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=2.1........................12分11811859029559019.（1）证明：如图，在矩形ABB A中，E为BB中点且AA=2，AB=1，1111所以AE=A E=2，所以△A AE为等腰直角三角形，11EA⊥AE.......................................2分1在直四棱柱ABCD-A B C D中，因为底面是边长为1的正方形，1111所以A D⊥平面A ABB.1111又因为AE⊂平面A ABB，11所以A D⊥AE，所以AE⊥平面A D E........................4分1111又因为AE⊂平面AD E，所以平面AD E⊥平面A D E....................6分1111（2）解：方法一：因为AB⊥平面B BCC，所以平面ABC⊥平面B BCC，11111所以只需在平面B BCC内过点E作EF⊥BC于F，而EF⊥平面ABC.1111如图，过F作FG⊥AC于G，连接EG，1则∠EGF就是二面角E-AC-B的平面角.....................8分1BCAC 在 RT △EFG 中， tan ∠EGF = EF⎧在 △EBC 中， EF =2S △E BC 111= EB ⋅ C 1B 1 = BC155 ，3 5 所以 C F = C E 2 - EF 2 =.511在 △ A BC 中， FG = C F ⋅ s in ∠FC G = C F ⋅AB1 1 1 11=30 10. ................. 10 分6 = . FG 3所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 163. ................ 12 分方法二：以 D 为原点，DA ，DC ， DD 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.1由题意 A (1,0,2) ，E(1,1,1)， D (0,0,2) ，A(1,0,0)， C (0,1,2) ，C(0,1,0)，B(1,1,0)，......7 分1 11AE = (0,1,1) ， C E = (1,0,-1) ，1设平面AEC 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ， 1则 ⎨ y + z = 0 ⎩ x - z = 0⇒ n = (1,-1,1) ，2 2 1 2 1 ⎪⎪ k 1 = y + y ，解得： e = c 2m 2 +3 2m 2 + 3同理可得，平面 ABC 的一个法向量为 m = (2,0,1) ， .................10 分1代入公式有： cos < m , n >=3 5 ⋅ 3 = 15 5 ，所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 1 6 3. ................ 12 分20.解：（1）设 P( x , y ) ， Q( x , y ) ，代入椭圆 C 的方程有： 11 2 2 x 2 2 + a 2 y 2 2 = 1, b 2 x 2 y 2 1 + 1 = 1 ， ........................ 2 分 a b 2x 2 - x 2 y 2 - y 2 两式相减： 2 1 + 2 1 = 0 ， a 2 b 2即 ( x 2 - x 1 )( x 2 + x 1 ) a 2 ( y - y )( y + y ) + = 0 ， b 2⎧ 又 ⎨ ⎪k = ⎪⎩ 2 y - y 2 1 x - x 2 1 2 1 x + x 2 1联立两个方程有 k k = - 1 2 b 2 2 =- ， ....................... 4 分 a 2 33 = . .................5 分a3（2）由（1）知 e = c 3 = ，得 a 2 = 3c 2 , b 2 = 2c 2 ， a 3可设椭圆 C 的方程为： 2 x 2 + 3 y 2 = 6c 2 ，设直线 l 的方程为： x = my - 3 ，代入椭圆 C 的方程有(2m 2 + 3) y 2 - 4 3my + 6 - 6c 2 = 0 ，............................6 分因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以 ∆ = 48m 2 - 4(2m 2 + 3)(6 - 6c 2 ) > 0 ，4 3m 6 - 6c 2 由韦达定理： y + y = ， y y = . 1 2 1 2又 DP = 2QD ，所以 y = -2 y ，1 222a2即：k≥ln x+196m2代入上述两式有：6-6c2=-，..................8分2m2+3所以S∆OPQ13∆3=OD y-y==1248m2-4(2m2+3)(6-6c2)2m2+3.................9分=18m2m2+3=1812m+3m≤362，......................10分当且仅当m2=32时，等号成立，此时c2=5，代入∆，有∆>0成立，所以所求椭圆C的方程为：x2y2+=1.........................12分151021.（1）解：由f(x)≤0有：kx≥ln x+1，ln x+1，令h(x)=，x xh'(x)=-ln xx2=0，解得x=1，.......................2分在(0,1)上，h'(x)>0；在(1,+∞)上，h'(x)<0.所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即k≥1..................4分（2）证明：由（1）知，当k=1时，ln x≤x-1，当且仅当x=1时，取等号.令x=n2(n∈N*,n≥2)，有ln n2≤n2-1，即ln n1n<<，.................6分n2-122ln2ln3ln4ln n1(n-1)(n+2)+++⋅⋅⋅+<(2+3+⋅⋅⋅+n)=3815n2-124，①..........9分1111令x=1+，有ln(1+)<⇒(1+)n<e<3，②..............11分n n n n①+②有：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2).......12分3815n2-1n422.（1）证明：由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD⋅AB=AE⋅AC...........................3分（2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，⎪⎪ ⎩5由已知，∠BDC=90°，又因为 FG ⊥BC ，所以 B ，G ，F ，D 四点共圆，所以由割线定理知： CG ⋅ C B = CF ⋅ C D ，①...................5 分同理，F ，G ，C ，E 四点共圆，由割线定理知：BF ⋅ BE = BG ⋅ BC ，②......................7 分①+②得： CG ⋅ C B + BG ⋅ BC = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE ，即 BC 2 = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE = 3 ⨯ 5 + 3 ⨯ 5 = 30 ， .......................8 分所以 BC = 30 . . ................. 10 分23.解；（1）曲线 C 的标准方程为： x 2 2+ y 2 = 1 ，直线 l 的标准方程为： x - 3 y - 2 + 3 = 0 ..........................5 分⎧ 3x = 2 + t（2）将直线 l 的参数方程化为标准方程： ⎨ 2 （t 为参数）， ...............6 分⎪ y = 1 + 1 t ⎪ 2代入椭圆方程得： 5t 2 + 8( 3 + 1)t + 16 = 0 ，..........................8 分所以 P A ⋅ PB = t t =16 1 2. ......................... 10 分24 解：（1）由题设知，当 x ∈ R 时，恒有 x + 1 + x - 2 - a ≥ 0 ，即 x + 1 + x - 2 ≥ a ，又 x + 1 + x - 2 ≥ 3 ，∴ a ≤ 3 ........................................5 分（2）由柯西不等式 ( x 2 + y 2 + z 2 )(12 + 22 + 32 ) ≥ ( x + 2 y + 3z) 2 = 1 ，∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 14， x y z 1 1 3 当且仅当 = = 时，即 x = ， y = ， z = 时， 1 2 3 14 7 141x2+y2+z2取最小值14.........................10分。

巴蜀中学2020届“一诊”模拟测试卷-理科数卷

绝密★启用前巴蜀中学2020届“一诊”模拟测试卷-理卷时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知复数z =i(1−3i)1+i ,则其共轭复数z̅的虚部为( )A. −1B. 1C. −2D. 2【答案】B【解析】依题意,故,其虚部为.2. 已知集合A ={x|1−xx⩾0},B ={x|y =lg(2x −1)},则A ∩B =( ) A. (0,1] B. [0,1] C. (12,1]D. (12,+∞)【答案】C【解析】由解得,由解得,故,故选C.3. 设a ⃗,e ⃗均为单位向量,当a ⃗,e ⃗的夹角为2π3时,a ⃗在e ⃗方向上的投影为( )A. −√32B. −12C. 12D. √32【答案】B【解析】在上的投影为.4. 已知等差数列{a n }满足4a 3=3a 2,则{a n }中一定为零的项是( )A. a 6B. a 7装订线C. a 8D. a 9【答案】A【解析】设公差为,由得,∴.5. 新高考方案规定,普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考).其中“选择考”成绩将计入高考总成绩,即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序,评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果,得到如下图表:针对该校“选择考”情况,2018年与2016年比较,下列说法正确的是( )A. 获得A 等级的人数减少了B. 获得B 等级的人数增加了1.5倍C. 获得D 等级的人数减少了一半D. 获得E 等级的人数相同【答案】B【解析】设年“选择考”总人数为,年的为,则可知等级年与年比,.班级：姓名：线订装6. 执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A. 22019−1B. 22019−2C. 22020−1D. 22020−1【答案】C【解析】模拟程序的运行,可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,由于.7. 设函数f(x)=cos(2x −2π3)+sin(2x −3π2),将函数f(x)的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图像,若g(x)为偶函数,则φ的最小值是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】A【解析】向左平移个单位,得,又为偶函数,令,得,,∴最小值为.8. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n =(−1)n a n +12n ,则S 1+S 3+S 5=( )A. 0B.564 C.1764D. 2164【答案】D【解析】,若为偶函数,则,∴(为奇数),则.装订线9. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0),过其焦点F 的直线与C 交于A ,B 两点,O 是坐标原点,记ΔAOB 的面积为S ,且满足|AB|=3|FB|=3√22S ,则p =( ) A. 12B. 1C. 32D. 2【答案】D 【解析】设,则,∴.10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为( )A. 28√727πB. 28√79πC. 28√2127πD. 28√219π【答案】C【解析】如图,可得,则球的体积.11. 已知函数,g(x)=kx −1,f(x)的图像上有且仅有四个不同的点,这四点关于直线y=−1的对称点在g(x)的图像上,则k 的取值范围是( )A. (13,34)B. (12,34)C. (13,1)D. (12,1)【答案】D【解析】关于直线的对称直线为,,先考虑特殊位置:与相切,得(舍去正数),与,相切,由导数几何意班级：姓名：线订装义得,,结合图像可知.12. 在ΔABC 中,A ,B ,C 为其三内角,满足tanA ,tanB ,tanC 都是整数,且A >B >C ,则下列结论中错误的是( )A. A >2π5B. B >π3 C. A <4π9D. B <5π12【答案】A【解析】由于,所以、都是锐角,又、都是正整数,这样,可见也是锐角.这时,,,.有,即.但是,,比较可知只可能,,.由可知,选项B 是正确的.至于选项C 和D,由,可知,又,故选项C 正确;又由,选项D 正确.故选A.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知(2+x)5=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+⋯+a 5(1+x)5,则a 2=__________.【答案】【解析】,其通项公式为,故,所以.14. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以线段F 1F 2为直径的圆交C 的一条渐近线于点P (P 在第一象限内),若线段PF 1的中点Q 在C 的另一条渐近线上,则C 的离心率e =__________.【答案】【解析】由图可知,是线段的垂直平分线,又是斜边的中线,∴,且,∴,所以.装订线15. 中国光谷(武汉)某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器,每台仪器的某一元件部件由三个电子元件按某种方式连接而成,若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示:三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(10000,102),且各个元件能否正常工作相互独立,现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为__________台.【答案】【解析】由正态分布可知,每个元件正常工作超过小时的概率为,则部件正常工作超过小时的概率为,又台仪器的该部件工作服从二项分布,所以平均值为台.16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P 为体对角线BD 1上的一点,且BP =λBD 1(λ∈(0,1)),现有以下判断:①A 1D ⊥C 1P ;②若BD 1⊥平面PAC ,则λ=13;③ΔPAC 周长的最小值是2√2+2√3;④若ΔPAC 为钝角三角形,则λ的取值范围为(0,23).其中正确判断的序号为__________.【答案】①②④【解析】在正方体中,平面,又平面,故,①正确;由平面(即平面)可得,故②正确;将和展开,可得的最小值为,又,故③错误;利用平面,可得当为直角三角形时,,故当为钝角三角形时,的取值范围为,④正确.所以正确判断为①②④.三、解答题（每小题12分,共60分）17. [2019山东模拟]在ΔABC 中,∠BAC =90∘,AD 是∠BAC 的内角平分线,点D 在线段BC 上,且BD =2CD . (1)求sinB 的值; (2)若AD =1,求ΔABC 的面积.【答案】见解析.【解析】(1)在中,由正弦定理得,即, 在中,由正弦定理得,即, 两式相除得,即, ∴,即,又,所以, 故. (2)由,得是班级：姓名：线订装锐角,于是, 所以, 在中,由正弦定理得,于是, 所以.18. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB//CD ,AD =AB =BC =1,CD =2,点E 为CD 中点,以AE 为折痕把ΔADE 折起,使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE ). (1)证明:AE ⊥PB ; (2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为π4,求二面角A −PE −C 的余弦值.【答案】见解析.【解析】(1)证明:在等腰梯形中,连接,交于点, ∵,,∴四边形为平行四边形,∴, ∴为等边三角形,∴在等腰梯形中,,,∴在等腰中,,∴,即,∴,翻折后可得:,,∵平面,平面,,∴平面,∵平面,∴.(2)在平面内作,垂足为,∵平面,∴,∵平面,平面,.∴平面,∴直线与平面夹角为,又因为,∴,∴、两点重合,即平面,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为,,,∴,,设平面的一个法向量为,则,∴,设,则,,∴,由题意得平面的一个法向量,设二面角为,,易知二面角为钝角,所以.19. 已知点M(2√33,√33)在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上,且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2. (1)求C 的方程; (2)设O 为坐标原点,若C 的弦AB 的中点在线段OM (不含端点O ,M )上,求OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围.装订线【答案】见解析【解析】(1)由题意可得,,解得,, ∴椭圆的标准方程为. (2)设,,直线的方程为, 弦的中点在线段(不含端点,)上,∴,化为. 由,,相减可得. ∵,∴,∴. 设直线的方程为,代入椭圆方程可得,,解得, 又,∴. 由根与系数的关系可得,, ∴. 而,∴.20. 武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等. (1)为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如下的频率分布直方图:现从年龄在[42,52]内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ,求P(ξ=3); (2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示毎年劳动节当日客流量X (单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得下表:以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立. 该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被允分利用,但每年劳动节当日A 型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量X (单位:万人)的影响,其关联关系如下表:若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记Y (单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大?【答案】见解析.【解析】(1)年龄在内的游客人数为,年龄在内的游客人数为;若采用分层抽样的方法抽取人,则年龄在内的人数为人,年龄在内的人数为人,可得. (2)①当投入艘型游船时,因客流量总大于,则(万元). ②当投入艘型游船班级：姓名：线订装时, 若,则,此时; 若,则,此时; 此时的分布列如下表:此时(万元). ③当投入艘型游船时, 若,则,此时; 若,则,此时; 若,则,此时; 此时的分布列如下表:此时(万元). 由于,则该游船中心在年劳动节当日应投入艘型游船使其当日获得的总利润最大.21. 已知函数f(x)=(x +1)e x +12ax 2+2ax ,a ∈R . (1)讨论f(x)极值点的个数; (2)若x 0(x 0≠−2)是f(x)的一个极值点,且f(−2)>e −2,证明:f(x 0)⩽1.【答案】见解析.【解析】(1)解:的定义域为,, 若,则,所以当时,;当时,,所以在上递减,在上递增,所以为唯一的极小值点,无极大值点,故此时有个极值点. 若,令,则,, 当时,,则当时,;当时,,当时,.所以,分别为的极大值点和极小值点,故此时有个极值点. 当时,,且不恒为,此时在上单调递增,无极值点. 当时,,则当时,;当时,;当时,.同理,,分别为的极小值点和极大值点,故此时有个极值点. 综上,当时,无极值点;当时,有个极值点;当或时,有个极值点. (2)证明:若是的一个极值点,由(1)可知,又,所以,且,则,所以,令,则,所以,故,又因为,所以,令,得.当时,,单调递增;当时,,单调递减. 所以是唯一的极大值点也是最大值点,即,故,即.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的概坐标方程为ρsin(Θ−π4)=√22. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (2)设点P(−1,0),直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求|PA|+|PB|的值.【答案】见解析. 【解析】(1)由,消去参数,得,即的普通方程为,由,得化为直角坐标方程为. (2)由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),即(为参数),代入并化简,得,,设,两点对应的参数分别为,,则,,所以,所以.22B. 已知函数f(x)=|x+a|+2|x−1|(a>0). (1)当a=1时,求不等式f(x)>4的解集; (2)若不等式f(x)>4−2x对任意的x∈[−3,−1]恒成立,求a的取值范围.【答案】见解析.【解析】(1)当时,,故等价于或或,解得或,故不等式的解集为或. (2)当时,由得,即,即或对任意的恒成立. 又,,故的取值范围为. 又,所以.综上,的取值范围为.装订线。

2024届重庆一诊数学试题+答案

1．已知集合{1 2 3 4 5}A 2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

，，，，，2{|211120}B x x x ，则A BA ．{1 2}，B ．{2 3}，C ．{3 4}，D ．{4 5}，2．已知复数i z a b ，若i z z ，则 A ．0a bB ．0a bC ．0abD ．1ab3．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 a b ，可以分别大致反映这组数据的 A ．平均数，中位数 B ．平均数，众数C ．中位数，平均数D ．中位数，众数4．若24cos sin(2)2 ，则tan 2A ．2B ．12C ．1D ．25．在经济学中，常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic 模型：0.970.1270.970.127e ()1exxP x ，其中x 是客户年收入（单位：万元），()P x 是按时还款概率的预测值．如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3 ）A ．0.35B ．0.46C ．0.57D ．0.686．已知()ln(1)ln()f x x a bx 是奇函数，则()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为A ．2y xB ．y xC ．0yD ．2y x7．将一副三角板拼接成平面四边形ABCD （如图），1BC ，将其沿BD 折起，使得面ABD 面BCD ，若三棱锥A BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．2B ．73C ．83D ．38．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y ，(1)4f 且当0x 时，()2f x ，若存在[1 2]x ，，使得2(4)(2)1f ax x f x ，则a 的取值范围是BCDA6045A ．1(0 ]2，B ．15[ ]28，C ．52[ ]83，D ．12[ ]23，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届四川省高三上学期巴蜀黄金大联考数学(理)试题word版含答案

2020届四川省高三上学期巴蜀黄金大联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|4120,|23A x x x B x x =--<=>,则A B =（）A ．3,62⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,6D ．()1,2 2.若复数()421aiz a R i-=∈-的实部为1，则z 的虚部为（） A ．1 B ．3 C ．1- D ．3- 3. 已知向量()()2,,1,2a m b ==-，若()222a a b b m -=+，则实数m = （）A ．12 B ．52 C ．544. 巳知47972coscos sin sin cos cos 51551523x x πππππ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，则sin 2x =（） A ．13 B ． 13- C. 112 D ．112- 5. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（）A ．14B ．20 C. 30 D ．556. 若实数,x y 满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则543z x y =-+的最大值为（）A ．158-B ．54- C.12- D ．1- 7. “()22143m x dx ≤-⎰”是“函数()122x x m f x +=+的值不小于4” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件8. 甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为23,,35P ，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P =（） A ．23 B ．34 C.45 D ．569. 已知函数()()12cos cos 3f x x x ϕ=++是偶函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()()cos 2g x x ϕ=-的正确描述是（）A ．()g x 在区间上,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为1- B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象先向上平移2个单位，再向右平移3π个单位得到C. ()g x 的图象可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到D ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到10. 已知函数()2,011,1x f x x -<<⎧=⎨≥⎩，则不等式()2134log log 41log 15x x f x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[]1,4 C. 1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞11. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为(),0,,F c M N -在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN，则双曲线C 的离心率为（） AB ．2C.．12. 已知函数()()263,x e exf x x xg x ex+=---=，实数,m n 满足0m n <<，若[]()12,,0,x m n x ∀∈∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（）A ．4B ．．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 51x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 __________.14. 若抛物线()220y px p =>上的点()00,22p x x ⎛⎫>⎪⎝⎭到其焦点的距离为52，则p = __________. 15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3634a a =+，若510S <，则2a 的取值范围是 _________. 16. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，22sin cos sin cos 4sin ,cos c A A a C C B B D +==是AC 上一点，且23BCD S ∆=，则AD AC = _________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()163n n S a n N +*=+∈. （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设 ()()2311log n nn b an a a +=-，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .18.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且232cos cos a c bA B-=.（1）若b B =,求a ；（2）若a ABC =∆求b c +. 19.（本小题满分12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分別用原传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的摡率不超过0.025的前提下认为“ 成绩优良与教学方式有关” ？附:()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++独立性检验临界表（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法来抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知右焦点为(),0F c 的椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且椭圆M关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆M 的方程；（2）过点()4,0且不垂直于y 轴的直线与椭圆M 交于,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为E ，证明: 直线PE 与x 轴的交点为F .21.（本小题满分12分）已知函数()()()322ln f x a x a x a R =--+-∈. （1）若函数()y f x =在区间()1,3上单调，求a 的取值范围；（2）若函数()()g x f x x =-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标是2sin a ρθ=，直线l 的参数方程是35(45x t a t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）.（1）若2,a M =为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值；（2）若直线l 被圆C截得的弦长为求a 的值 . 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+. （1）解不等式()2f x x <；（2）若()28f x x a+->对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.2020届四川省高三上学期巴蜀黄金大联考数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. CBDAC 6-10.CABCC 11-12.DA 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 20- 14. 1 15. (),2-∞ 16. 59三、解答题17.解：（1）163,n n S a +=+∴当1n =时，11669S a a ==+；当2n ≥时，()16623n n n n a S S -=-= ，即{}13,n n n a a -=∴是等比数列，11a ∴=，则96a +=，得3,a =-∴数列{}n a 的通项公式为()13n n a n N -*=∈.()2sin cos 3sin cos 2sin cos ,2sin cos sin cos 2sin 3sin cos A B C A B A A B B A C C A =-∴+== ，2sin 0,cos 3C A ≠∴=，则sin 5sin ,A b B ==∴由正弦定理得：5sin sin 3b a A B ==.（2）ABC ∆1sin 2bc A ∴=，得()2224103,6,6,633bc a b c bc b c bc ==∴+-=∴+-=，即()216,0,0,4b c b c b c +=>>∴+=.19.解：（1）根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()240941611 5.227 5.024,25152020k ⨯-⨯=≈>∴⨯⨯⨯能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. （2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为158340⨯=，则X 的可能取值为0,1,2,3. ()()()()32112311114114433331515151533446640;1;2;39191455455C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============. X ∴的分布列为：()01239191455455455E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）椭圆M 过点223191,,124ab ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ① 椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点，2222232,,4a c abc b a ∴==+∴=，② 由①②得224,3,a b ==∴椭圆M 的方程为22143x y +=. （2）证明：易知直线PQ 的斜率必存在，设直线PQ 的的方程为()()40y k x k =-≠，代人22143x y +=得()2222343264120k xk x k +-+-=，由()()()2222324364120k k k ∆=--+->得，11,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，设()()()112222,,,,,P x y Q x y E x y -，则22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++，则直线PE 的方程为()1212112y y y y x x x x +-=--，令0y =得：()()()122112122111121212448x k x x k x x x x y x y x y x y y y y k x x -+--+=-+==+++- ()222212122122641232242434341328834k k x x x x k k k x x k ---+++===+--+， ∴直线PE 过定点()1,0，又M 的右焦点为()1,0，∴直线PE 与x 轴的交点为F .21.解：（1）()()322'3a x f x a x x--=--=,当3a ≥时，()'0f x <，即函数()f x 在区间()1,3上单调递减，当3a <时，令()'0f x =，得23x a =-，若函数()y f x =在区间()1,3上单调递增，则213a≤-或233a ≥-，解得1a ≤或733a ≤<；综上，a 的取值范围是(]7,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为当0x →时，()g x →+∞，所以()()()212ln 0g x a x x =---<在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x g x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭上恒成立，即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立，令()2ln 12,0,12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 2'11x x x x x l x x x --+-=-=--，再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则 ()()222122'0x m x x x x --=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，从而，()'0l x >，()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21x a x >--上恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-. 22.解：（1）由24sin ρρθ=得圆C 可化为2240x y y +-=，将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得()423y x =--，令0y =，得2x =，即点M 的坐标为()2,0.又圆C 的圆心坐标为()0,2，半径2r =，则MC=，所以MN 的最大值为2MC r +=+.（2）因为圆()222:C x y a a +-=，直线:4340l x y a +-=，所以圆心C 到直线l的距离为34,55a a ad -==∴=52a =±. 23.解：（1）由()2f x x <得12x x +<，则212x x x -<+<，即1212x xx x +<⎧⎨+>-⎩，解得1,x >∴不等式()2f x x <的解集为()1,+∞.（2）()111f x x a x x a x x a a +-=++-≥+-+=+,又()3282f x x a +->=对任意x R ∈恒成立，即()3f x x a +->对任意x R ∈恒成立，13a ∴+>，解得4a <-或2a >，∴实数a 的取值范围是()(),42,-∞-+∞.、。

重庆市巴蜀中学高2020届高三3月质量检测数学(理)试题(PDF版,无答案)

AB AA1 2, A1B A1D, BAD 60, AC BD O, AO 平面 A1BD . （1）证明： B1C ∥平面 A1BD ；（2）求二面角 B AA1 D 的正弦值.
20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y为
B. 3
C. 2 7
D. 6
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 已知（1 2x）5 a0 a1x a2 x2 a5 x5 ，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 的值为__________.
14.已知 △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ．若 cos Asin C cos C cos B, a 2, c 2 ，则角 C 大
2
3 cos(
)
，则
cos 2
C． a c b
D． c b a
A． 1
B． 7 9
C． 0 或 7 9
D．
1或
7 9
9．已知
AB
是圆 C
:x
12
y2
1的直径，点
P
为直线
x
y
1
0
上任意一点，则
PA
PB
的最小值
是（）
A．1
B．0
C． 2
D． 2 1
10. 射线测厚技术原理公式为 I I0et ，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度， e 是自然对数的
优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100
参考公式及数据： K 2
n(ad bc)2
,n a bc d .

2020-2021重庆巴蜀中学高三数学上期中一模试题含答案

2020-2021重庆巴蜀中学高三数学上期中一模试题含答案一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形3．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（） A ．1B ．32C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或56．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（）A．10B．5CD7．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（）A ．-3B ．1C ．-1D ．3 8．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（）A ．B ．9C ．18D ．369．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．511．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524312．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．14．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．15．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是．16．设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．17．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．18．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．22．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．D解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.3．C解析：C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；对于③中的函数()f x x =()()111n n n n nna f a a q f a a a +++===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．B解析：B 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可．【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1，作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-，则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-，由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >，所以n S 取最大值时的n 为5，故选B ．6．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin BAC ∠= 考点：解三角形.7．A解析：A 【解析】【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2AB -()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x ，则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.所以=1,2AB -().因为不等式2+0x ax b +<的解集为AB ,所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.8．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C9．A解析：A 【解析】【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．10．A解析：A【解析】【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案

5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程．（2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ．（1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ；（2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立，求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用

巴蜀中学高三(上)一模试题——数学理

重庆市巴蜀中学高三第一次模拟考试（理科数学）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合3{|0}1x M x x -=≤+，{3,1,1,3,5}N =--，则M N =（） A ．{3,1,1}-- B ．{1,1,3}- C ．{3,1}-D ．{1,3}2．设1z i =-（i 是虚数单位），O 为坐标原点，若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ ，则向量OZ 的模是（）A ．1BC D ．23．若样本数据1210,,......,x x x 的标准差为8，则121021,21,21x x x ---的标准差为（） A ．8 B ．15 C ．16D ．324．下列四个结论中正确的是个数是①220x x +->是1x >的充分不必要条件②命题：“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,sin 1x R x ∃∈>” ③若“4x π=，则tan 1x =”的逆命题为真A ．1B ．2C ．3D ．0 5．运行如图所示的程序框图，若输入的是某地乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若大于或等于0.5千米按1千米收费）；当车程超过4千米，另收燃油附加费1元。

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[]x 表示不大于x 的最大整数，则图中①处应填（）A ．12[]42y x =-+B ．12[]52y x =-+C ．12[]42y x =++D ．12[]52y x =++6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+，则满足题意的()f x 可以是（）A ．()cos2f x x π= B ．()sin2f x x π= C ．2()2cos 4f x x π= D ．2()2cos 8f x x π=7．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，自上而下容量变化均（即每一节容量构成等差数列），下三节容量共四升，上节容量共三升，问中间一节容量为几升？”（） A ．7 B ．37 C ．7 D ．10政策，具体人数如有下表。

【100所名校】2020届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考(一模)数学(理)试题(含解析版)

2020届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考（一模）数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若z=25i3+4i ，则z 的共轭复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设集合M ={x|x 2−32x +12=0}，N ={x|3x >√3}，则M ∩N =A ． {1,12}B ． ∅C ． {1}D ． {34} 3．在双曲线C:x 29−y 216=1中，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点且满足|PF 1|+|PF 2|=14，则|PF 1|2+|PF 2|2=A ． 108B ． 112C ． 116D ． 1204．由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有个 A ． 10 B ． 11 C ． 12 D ． 135．已知正实数x ，y 满足a x <a y （0<a <1），则下列一定成立的是 A ． 1x−1y >0 B ． x 5y 2<x 4y 3C ． |x −1|>|y −1|D ． log (x 2+1)e <log (y 2+1)e6．执行如图所示的程序框图，若输入的a 为24，c 为5，输出的数为3，则b 有可能为A ． 11B ． 12C ． 13D ． 147．设实数x ，y 满足{2x −y ≥0,x ≤0,x +y +2≤0, 则x 2+y 2的最小值为 A ． 4 B ． 2 C ．209D ． 1038．已知α∈(0,π2)，sin(α+116π)=13，则sinα=A ．2√3+√26B ．1+2√66C ． √3+2√26D ．1+3√269．若ΔABC 的内角满足3sinA =sinB +sinC ，则cosA 的最小值是 A ． 23B ． 79C ． 13D ． 5910．已知平面上有3个点A ，B ，C ，在A 处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A 点的概率为A ．1116B ． 58C ． 13D ． 3811．已知f(x)=x 2+lnx ，在f(x)的图象上存在一点P ，使得在P 处作f(x)图象的切线l ，满足l 的斜率为a 2+√2a−8a−√2，则a 的取值范围为A ． [−√2,√2)∪[2√2,+∞)B ． (−∞,−√2]∪(√2,2√2]C ． [−√2,√2)∪(√2,2√2]D ． (√2,2√2]12．已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，且AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，过点A ，B 分别引抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1，l 2相交于点P ，则|PF⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ． 3√22B ．4√33C ． 2√2D ． 2√3二、填空题13．|a |=1，|b ⃑ |=2，a ⊥b ⃑ ，则|a +2b ⃑ | =__________． 14．在(x −2x )5的展开式中1x 的系数为__________．15．已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)(√3sinx +cosx)，则函数f(x)在x ∈[−π2,π2]时的最大值为__________．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号16．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1+na n=2(n+1)(n∈N+)，则|a2017|−|2016a2016|=__________．三、解答题17．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=3，a1⋅a4=a22．（1）求{a n}的通项公式及a n的前n项和S n的通项公式；（2）b n=1S1+1S2+⋯+1S n，求数列{b n}的通项公式，并判断b n与1927的大小．18．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ΔABC的面积为acsinAsinC2sinB．（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）求sinB的最大值，并给出取得最大值时的条件．19．2017~2018赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响．由C罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队（以下简称“皇马”）将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队（以下简称“巴黎”），激烈对决，一触即发．比赛分上，下两个半场进行，现在有加泰罗尼亚每题测皇马，巴黎的每半场进球数及概率如表：（1）按照预测，求巴黎在比赛中至少进两球的概率；（2）按照预测，若设H为皇马总进球数，A为巴黎总进球数，求A和H的分布列，并判断E(A)和E(H)的大小．20．已知椭圆E：x26+y22=1的右焦点为F2，设过F2的直线l的斜率存在且不为0，直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为C，O为原点，直线OC交x=3于点D．（1）求证：AB⊥DF2；（2）求|AB||DF2|的最大值．21．设函数f(x)=ae x+bx2+cx−1，其中a，b，c为常数．（1）若b=0，ac≠0，试讨论函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在R上单调递增，且abc≠0，证明：a>0>b，并求c的最小值（用a，b的代数式表示）．22．在直角坐标系xOy中，直线l：{x=√3+tcosα,y=tsinα（t为参数，其中α为直线的倾斜角）与曲线C：{x=2cosθ,y=sinθ（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）当α=π4时，求直线l与曲线C的普通方程；（2）若|MA|⋅|MB|=|OM|2−52，其中M(√3,0)，求直线l的斜率．23．已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|，若f(x)≤3的解集为C．（1）求解集C；（2）已知非零实数a，b，c满足1a2+14b2+1c2=2，求证：a2+4b2+9c2≥252第3页（共4页）第4页（共4页）第9页（共10页）第10页（共10页）2020届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考（一模）数学（理）试题数学答案参考答案 1．D 【解析】由题意可得：z =25i3+4i =25i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=5(3i +4)=20+15i ，则z̅=20−15i ，据此可得：z 对应的点在第四象限. 本题选择D 选项. 2．C 【解析】求解一元二次方程可得：M ={1,12}，求解指数不等式可得：N ={x|x >12}，结合交集的定义可得：M ∩N ={1}. 本题选择C 选项. 3．C 【解析】由双曲线的定义可得：||PF 1|−|PF 2||=2a =6，结合题意有：|PF 1|+|PF 2|=14，两式平方相加可得：|PF 1|2+|PF 2|2=116 . 本题选择C 选项. 4．B 【解析】千位数字为3时满足题意的数字个数为：3!=6，千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3!−1=5，综上可得：2018大的有6+5=11个. 本题选择B 选项. 5．D 【解析】利用排除法：由指数函数的单调性可得：x >y >0，由反比例函数的单调性可得：1x <1y ,∴1x −1y <0，选项A 错误； x 5y 2−x 4y 3=x 4y 2(x −y )>0,∴x 5y 2>x 4y 3，选项B 错误；当x =12,y =13时，|x −1|<|y −1|，选项C 错误；本题选择D 选项. 6．B 【解析】结合流程图，若输出的数字为3，则经过循环结构之后的b =a +3=27，由于27MOD5=2，结合循环结构的特点可得：输入的数字除以5的余数为2，结合选项可得：b 有可能为12. 本题选择B 选项. 7．C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数边上坐标原点与可行域内点距离的平方，据此可得，目标函数在点A (−23,−43)处取得最小值：49+169=209.本题选择C 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 8．C 【解析】由题意可得：sin(α+116π)=sin(α−π6)=13，∵α∈(0,π2),∴α−π6∈(−π6,π3)，据此可得：cos(α+116π)=√1−sin2(α+116π)=2√23，结合两角和差正余弦公式有：sinα=sin[(α−π6)+π6]=sin(α−π6)cosπ6+cos(α−π6)sinπ6=√3+2√26.本题选择C选项.9．B【解析】由题意结合正弦定理有：3a=b+c，结合余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−(b+c3)22bc=89b2+89c2−29bc2bc=89b2+89c22bc−19≥2×√89b×√89c2bc−19=79.当且仅当b=c时等号成立.综上可得：cosA的最小值是79.本题选择B选项.10．D【解析】由于可知，所有可能的放置方法为：ABABA,ABABC,ABACA,ABACB,ABCAB,ABCAC,ABCBA,ABCBC,ACABA,ACABC,ACACA,ACACB,ACBAB,ACBAC,ACBCA,ACBCB,共有16种可能的放置方法，其中满足题意的方法有6种，由古典概型计算公式可得：小球仍在A点的概率为p=nN =616=38.本题选择D选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.11．A【解析】结合函数的解析式有：f′(x)=2x+1x≥2√2x×1x=2√2，当且仅当x=√22时等号成立，据此可得：2√2a−8a−√2≥2√2恒成立，即：2√2a−8a−√22√2≥0，整理可得：√2)(a+√2)a−√2≥0，求解分式不等式可得a的取值范围为[−√2,√2)∪[2√2,+∞).本题选择A选项.12．A【解析】由焦点弦的性质有：1|AF|+1|BF|=2p=1，结合AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2BF⃑⃑⃑⃑⃑ 可得：|AF|=3,|BF|=32，设A,B两点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2)，结合y′=12x有直线方程：l1:y−y1=x12(x−x1),l2:y−y2=x22(x−x2)，联立直线方程可得交点坐标为P(x1+x22,−1)，则AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ =(x2−x1,y2−y1)⋅(−x1+x22,2)=0,∴AB⊥PF，结合焦点弦的性质可知：直线l1l2的斜率：x12×x22=−p24=−1，即l1⊥l2，结合射影定理有：|PF|2=|AF|×|BF|=92，据此可得：|PF⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√22.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．13．√17【解析】由题意可得：|a+2b⃑|=√(a+2b⃑)2=√a2+4a⋅b⃑+4b⃑2=√1+4×0+4×22=√17.14．−80【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式有：T r+1=C5r x5−r(−2x)r=(−2)r C5r x5−2r，满足题意时：5−2r=−1,∴r=3，其系数为：(−2)3C53=−80.第7页（共10页）第8页（共10页）第9页（共10页）第10页（共10页）15．√3+2 【解析】由题意结合三角函数的性质有：f (x )=√3sin 2x +sinxcosx +3sinxcosx +√3cos 2x =√3+2sin2x ， ∵x ∈[−π2,π2],∴2x ∈[−π,π]，据此可得，当2x =π2,x =π4时，函数取得最大值：√3+2.16．−4034 【解析】由递推关系可得：a n+1−2=−n (a n −2)，则：a n+1−2=(−n )×(−n +1)×⋯×[(−1)×(a 1−2)]=(−1)n+1×n!，即列的通项公式为：a n+1=(−1)n+1×n!+2，则：|a 2017|−|2016a 2016|=2016!−2−(2016!+4032)=−4034.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．17．(1)a n =3n ，S n =3n(n+1)2．(2)b n =23(1−1n+1),1b n<1927.【解析】试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式可得关于公差的方程，解方程有d =3，则数列的通项公式为a n =3n ，前n 项和S n =3n(n+1)2．(2)结合(1)的结论有1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，据此裂项求和可得b n =23(1−1n+1)，据此有1b n<23<1927．试题解析：（1）设a 1=a ，公差为d ，则a(a +3d)=(a +d)2，解得d =a =3，所以a n =3n ，S n =3n(n+1)2．（2）1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，从而b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n=23(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =23(1−1n+1)，故1b n<23<1927．18．(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意结合面积公式有：12acsinB =acsinAsinC 2sinB，则sin 2B =sinAsinC ，角化边可得a b =bc ，故a ，b ，c 成等比数列．(2)由题意结合余弦定理和(1)的结论有：cosB =a 2+c 2−b 22ac≥12，则sinB =√1−cos 2B ≤√32，由均值不等式的结论可得当ΔABC 为等边三角形时等号成立．试题解析：（1）证明：S ΔABC =12acsinB =acsinAsinC 2sinB，即sin 2B =sinAsinC ，由正弦定理可得ab =bc ，故a ，b ，c 成等比数列．（2）解：依题意得cosB =a 2+c 2−b 22ac=12(c a +a c −1)≥12，又B 为ΔABC 的一个内角，从而sinB =2B ≤√32，当且仅当ΔABC 为等边三角形时等号成立．19．(1)79144；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(1) 设A 为巴黎总进球数，由题意可得P (A ≥2)=P (A =2)+P (A =3)+P (A =4)=79144． (2)由题意首先求得A ,H 的分布列，然后结合分布列计算数学期望可得E(A)=E(H)=53．试题解析：（1）设A 为巴黎总进球数，则P(A ≥2)=P(A =2)+P(A =3)+P(A =4)=(512×14+13×13+14×512)+(13×14+14×13)+14×14=2372+16+116=79144．（2）A 和H 的分布列如下：第7页（共10页）第8页（共10页）则E(A)=E(H)=53． 20．(1)证明见解析；(2)√3. 【解析】试题分析：(1)设直线l 的斜率为k （k ≠0），联立直线方程与椭圆方程可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．结合韦达定理可得线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k3k 2+1)．据此计算可得直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k ，则AB ⊥DF 2.(2)考查t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k2=k 2(x 1−x 2)2=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．换元令u =3k 2+1，则t =−163[(1u −14)2−916]．结合二次函数的性质可得k =±1时，t 取最大值3，此时|AB||DF 2|取最大值√3．试题解析：（1）证明：设直线l 的斜率为k （k ≠0），则直线l 的方程为y =k(x −2)，联立方程组{x 26+y 22=1,y =k(x −2),消去y 可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=12k 23k 2+1,x 1x 2=12k 2−63k 2+1, 于是有y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4k =−4k 3k 2+1，所以线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k3k 2+1)．又直线OC 的斜率k OC =−13k，因此直线OC 的方程为y =−13kx ，它与直线x =3的交点D(3,−1k)，故直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k，于是k DF 2⋅k =−1．因此AB ⊥DF 2. （2）解：记t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k 2=(x 1−x 2)+k 2(x 1−x 2)21+1k 2=k 2(x 1−x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =k 2[(12k 23k 2+1)2−4(12k 2−63k 2+1)]=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．令u =3k 2+1，则t =8⋅(u−1)(u+2)3u 2=−163(1u 2−12u −12)=−163[(1u −14)2−916]．因为u =3k 2+1>1，所以0<1u <1．故当u =4时，即k =±1时，t 取最大值3．从而当k =±1时，|AB||DF 2|取最大值√3．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)函数f(x)的定义域为R ，求导可得f′(x)=ae x +c ．据此分类讨论：若a >0，c >0，f(x)在R 上单调递增；若a <0，c <0，f(x)在R 上单调递减；若a >0，c <0，f (x )在(−∞,ln (−c a ))上单调递减，在(ln (−ca ),+∞)上单调递增；若a <0，c >0，f (x )在(−∞,ln (−ca ))上单调递增，在(ln (−ca ),+∞)上单调递减；(2)函数f(x)在R 上单调递增，则f′(x)=ae x +2bx +c ≥0对任意实数x 均成立，取实数x 1>0，−x 1<0，有a(e x 1+e −x 1)+2c ≥0，据此讨论可得a >0>b ．证明问题c ≥−2b(ln(−2b a)−1)来说明c 的最小值为−2b(ln(−2b a)−1)：构造函数g(x)=ae x ，ℎ(x)=−2bx −c ，可证明g(x)=ae x ≥−2bx +2bln(−2b a)−2b ，则g(x)≥ℎ(x)恒成立，据此可得c ≥−2b(ln(−2b a)−1)成立．试题解析：（1）解：依题意得f(x)的定义域为R ，当b =0时，f′(x)=ae x +c ．若a >0，c >0，则f′(x)>c >0，从而f(x)在R 上单调递增；若a <0，c <0，则f′(x)<0，从而f(x)在R 上单调递减；若a >0，c <0，令f′(x)=0，得x =ln(−ca )，列表如下：若a <0，c >0，令f′(x)=0得x =ln(−ca )，列表如下：（2）证明：函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)=ae x+2bx+c≥0对任意实数x均成立，取实数x1>0，−x1<0，则{ae x1+2bx1+c≥0,ae−x1−2bx1+c≥0,两式相加得：a(ex1+e−x1)+2c≥0，令x1→+∞，则e x1+e−x1→+∞，从而a>0．又由ae−x1−2bx1+c≥0，当x1→+∞时，ae−x1→0，若b>0，则ae−x1−2bx1+c≥0不恒成立，又b≠0，从而b<0，从而a>0>b．下证c≥−2b(ln(−2ba)−1)．记g(x)=ae x，ℎ(x)=−2bx−c，x2=ln(−2ba)，由于g′(x)=ae x，g(x)在点(x2,g(x2))处的切线方程为：y=−2b(x−x2)+g(x2)=−2bx+2bln(−2ba)−2b．接下来，我们证明g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b，构造函数H(x)=ae x+2bx−2bln(−2ba)+2b，H′(x)=ae x+2b．当x∈(−∞,x2)时，H′(x)<0，H(x)单调递减；当x∈(x2,+∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增；从而H(x)≥H(x)min=H(x2)=0，故g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b成立．考虑到直线y=−2bx+2bln(−2ba)−2b与直线y=ℎ(x)斜率相等，即它们平行，又由于g(x)≥ℎ(x)恒成立，从而−2bx+2bln(−2ba)−2b≥ℎ(x)恒成立，即−c≤2b(ln(−2ba )−1)，即c≥−2b(ln(−2ba)−1)．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．(1)直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2)±√22.【解析】试题分析：(1)由题意结合参数方程可得直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2) 联立直线的参数方程与椭圆方程可得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，结合参数的几何意义可得sin2α=13，则直线的斜率k=±√22．试题解析：（1）当α=π4时，直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．（2）把{x=√3+tcosα,y=tsinα代入x24+y2=1，得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，|MA|⋅|MB|=|t1t2|=14sin2α+cos2α=|OM|2−52=12，得sin2α=13，∴tan2α=12，∴斜率k=±√22．23．(1)[0,3]；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集C=[0,3]；(2)由题意结合柯西不等式有a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a2=4b2=3c2=52时取等号．则题中的不等式得证.试题解析：（1）解：f(x)=|x−1|+|x−2|≤3，即{x<1,−x+1−x+2≤3或{1≤x≤2,x−1−x+2≤3或{x>2,x−1+x−2≤3,即0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，即解集C=[0,3]．（2）证明：∵1a2+14b2+1c2=2，由柯西不等式得a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a1a=2b12b=3c1c时取等号，即a2=4b2=3c2=52时取等号．第9页（共10页）第10页（共10页）。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(一)理数-答案

15
16
4
(1， )
2
【解析】
13． T5 C64 (2x)2 60x2.
14．
f

f

1 8

f
(3)
4.
15．可得 A(x0 1，0)，B(e2x0 x0，0)，AB e2x0 1 1 .
16．|
f
(t

2)

f
(t) || a(6t2
…………………………………（5 分）
OP，OB，OM 两两互相垂直，
以 O 为坐标原点， OB，OM，OP 分别为 x，y，z 轴的正
方向建系如图，
则
B

1 2
，0，0 ，P

0，0，
3 2
，
C

1 2
，
3，0
，D

3 2
即
5m2

32m

48

0

m

12 5
，4，
经验证
m定点

12 ，0 5

.
21．（本小题满分 12 分）
…………………………（12 分）
解：（1） f (x) (x 2)(ex a) ，
当 a e2 时，若 x (， 2) 或 (ln a， ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增； x (2，ln a)
0.02 49.5) 38.75，
中位数为
37

5

0.2 0.45

39
2 9

重庆市巴蜀中学高2020届高三3月质量检测数学-理数-答案

【解析】方法一：（1）依题意， A1B1 // AB, 且 AB // CD,
∴ A1B1 // CD ，······················································································ 1 分
∴四边形 A1B1CD 是平行四边形，····························································· 2 分 ∴ B1C ∥ A1D ，·····················································································3 分 ∵ B1C 平面 A1BD ， A1D 平面 A1BD ， ∴ B1C ∥平面 A1BD ．············································································ 4 分（2）∵ AO 平面 A1BD ，∴ AO A1O ， ∵ A1B A1D 且 O 为 BD 的中点，∴ A1O BD ， ∵ AO、BD 平面 ABCD 且 AO BD O ， ∴ A1O 平面 ABCD ，··········································································5 分
16．解：由 f (x) ln 1 x a | x | 0 得 ln 1 x a | x | ，如图画出图像即可.
1 x
1 x 4
3
2
1
-8
-6
-4
-2
-1
2
4
6

2020届重庆市高三上学期期末测试卷理科数学( 一诊康德卷)(解析版)

2019年秋高三(上)期末测试卷理科数学理科数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足13iz z +=，则||z =( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由已知得113z i=-，根据复数的除法法则，求出z 的实部和虚部，即可求解. 【详解】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||10z =. 故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.2.已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为( ) A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，根据集合B 的元素特征，即可求解【详解】{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---，{}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.【点睛】本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题. 3.函数2log ()2x f x -=的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】运用对数的运算法则将函数()f x 化简为1()||f x x =，即可求解. 【详解】22log l g 1o )21(2xxf x x-===，()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，当10,()x f x x>=. 故选:D.【点睛】本题考查用对数的运算法则化简函数解析式，将问题转化为熟悉函数的图像，属于基础题. 4.已知a R ∈，则“12a <”是“12a >”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】解不等式12a >，求出12a >的充要条件，与12a <对比，即可求解.【详解】12112002a a a a ->⇔<⇔<<， “12a <”是“12a >”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题.5.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500),的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据直方图求出0.0025a =，求出[300500),的频率，可判断①；求出[200500),的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③. 【详解】由(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++⨯=，0.0025a =， [300500),的频率为(0.0020.0025)1000.45+⨯=，①正确；[200500),的频率为(0.00150.0020.0025)1000.55++⨯=，②正确； [20000),4的频率为0.3，[200500),的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的45，故中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，③正确.故选:D.【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题6.某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有( ) A. 36种 B. 54种 C. 58种 D. 72种【答案】B 【解析】【分析】先考虑乙有13C 种可能，接着考虑甲，除了冠军和乙名次外，甲名次有13C 种可能，其他3名同学名次有33A 种，根据乘法原理，即可求解.【详解】根据题意5人的名次排列情况可能有11333354C C A =.故选:B.【点睛】本题考查排列组合混合应用问题，限制条件元素优先考虑，属于基础题7.已知平面非零向量,a r b r 满足：(4)(2)a b a b +⊥-r r r r，a r 在b r 方向上的投影为1||2b -r ，则a r 与b r 夹角的余弦值为( )A. B. 23-C. 13-D. 16-【答案】D 【解析】【分析】设两向量夹角为θ，a r 在b r方向上的投影为1||cos ||2a b θ=-r r ，从而有21||2a b b ⋅=-r r r ，再由(4)(2)a b a b +⊥-r r r r，得出||a r 3b =r ，根据向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设两向量夹角为θ，则有1||cos ||2a b θ=-r r 21||2a b b ⇒⋅=-rr r ，(4)(2)a b a b +⋅-r r rr 22||28a a b b =+⋅-r r r r 22||9a b =-r r 0=||a ⇒r 3b =r ，所以cos ||||a ba b θ⋅=⋅rr r r21||2||||b a b -=⋅r r r 16=-. 故选:D .【点睛】本题考查向量的数量积以及向量数量积的几何意义，考查向量的夹角，属于中档题. 8.已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是( )A. 221a b >+B. 122a b +>C. 24a b >D.1ab b>+ 【答案】D 【解析】【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确；令5,a =3b =，满足||1a b >+，1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D.【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.9.孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n 而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为( )A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据循环体的结构特征从初始值25n =运行，直至满足22,35n n --均为整数，输出n . 【详解】22,35n n --为整数，则n 除以3,5的余数均为2， 25n >，32n =.故选:D.【点睛】本题考查循环结构输出的结果，关键要理解程序框图，属于基础题.10.已知AB 是圆22:1O x y +=的任意一条直径，点P 在直线20(0)x y a a +-=>上运动，若PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为4，则实数a 的值为( ) A. 2 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】将,PO OA PB PO PA OB +=+=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r 代入PA PB ⋅u u u r u u u r，结合,OA OB u u u r u u u r 是相反向量且模长为1，可得2||1PA PB PO ⋅=-u u u r u u u u u u r r ，由已知条件得出，||OP uuu r5O 到直线的距离为，即可求解.【详解】()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2||PO OA OB =+⋅u u u r u u u r u u u r 2||1PO =-u u u r ，由题得||OP uuu r5即点O=5a⇒=.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性关系以及向量的数量积，解题的关键要把最值转化为点到直线的距离，属于中档题.11.已知双曲线2222:1x yCa b-=(0,0)a b>>的左焦点为(,0)F c-，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点(2,0)P c，则双曲线C的离心率为( )A.B.C. D. 2【答案】D【解析】【分析】设线段AB的中点坐标为()00,M x y，根据11,1,MF MPk k==-求出线段AB的中点M坐标，用点差法求出,a c关系，即可求解【详解】设线段AB的中点坐标为()00,x y，则有112yx cyx c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩,2cx⇒=32y c=，设1122(,),(,)A x yB x y，代入双曲线方程有，2222112222221,1x y x ya b a b-=-=两式相减得，1212121222()()()()1x x x x y y y ya b-+-+-=可得002210x ya b-⋅=，即2213,a b=223b a=，2,c a∴=2e=.故选:D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式，属于中档题.12.关于函数()sin 2|sin |f x x x =⋅有下述四个结论：①()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称②()f x 的最大值为34③()f x 在区间,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增④()f x 是周期函数且最小正周期为π 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④【答案】D 【解析】【分析】可证明()()f x f x π-=-，故①正确；由于()()f x f x π+=，π是()f x 的一个周期，设0x π≤≤，则2()2sin cos f x x x =()221cos cos x x =-，换元令cos [1,1]t x =∈-，设()3()2g t t t =-，求导，求单调区间，极值，得()g t ，故②不正确；由②得，()f x 在区间,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有单调性，故③不正确；由②得，π是()f x 的一个周期，用反证法证明最小正周期为π，故④正确. 【详解】①()sin(2)|sin |f x x x π-=-⋅()f x =-，所以成立.②因为()sin 2|sin |()f x x x f x π+=⋅-=，所以π是()f x 的一个周期，不妨设0x π≤≤，则2()2sin cos f x x x =()221cos cos x x =-，令cos [1,1]t x =∈-，令()g t ()32t t =-，则有2()26g t t '=-，令20,()26g t t t ='==-，()0,g t t '><<()0,1133g t t t '<-≤<-<≤，则()g t 递增区间是⎛ ⎝⎭递减区间是[1-，，()g t ∴的极大值为g =⎝⎭(1)0g -=，所以最大值不为34. ③当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由②知，()g t 在该区间内有增有减，故不单调. ④()sin 2|sin |()f x x x f x π+=⋅-=，故该函数为周期函数，若T π<，则()sin(22)|sin()|f x T x T x T +=+⋅+()f x ≠，故该函数最小正周期为π. 故选:D.【点睛】本题考查三角函数的性质，解题的关键用换元法，将问题转化为用导数的方法研究函数的性质，考查用反证法证明命题，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为12，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为________. 【答案】34【解析】【分析】甲队胜包含两种情况，第四场胜；或第四场负，第五场胜，分别求出概率相加，即可求解【详解】甲得冠军则有：甲第四场胜，概率为12；或第四场负，第五场胜，概率为111=224⋅，甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为113+=244.故答案为:34.【点睛】本题考查互斥事件与相互独立同时发生概率，属于基础题.14.已知7270127(1)mx a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若435a =，则实数m =________.【答案】±1 【解析】【分析】根据7(1)mx -展开式的通项公式，求出4x 系数，由条件得出关于m 的关系式，即可得出结论.【详解】4447()a C m =-435m =35=1m ⇒=±.故答案为:±1. 【点睛】本题考查二项展开式项的系数，熟练掌握展开式的通项是解题关键，属于基础题.15.已知,6παβ+=tan 2tan αβ=，则sin()αβ-=________.【答案】16【解析】【分析】tan 2tan αβ=化切为弦得到sin cos 2cos sin αβαβ=，由已知1sin()2αβ+=展开，可求得cos sin αβ的值，进而求出结论.【详解】tan 2tan αβ=sin cos 2cos sin αβαβ⇒=. 又sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+3cos sin αβ=12=1cos sin 6αβ⇒=，则sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-cos sin αβ=16=. 故答案为:16. 【点睛】本题考查三角函数求值，考查两角和差的正弦公式应用，化切为弦是解题的关键，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足1cos(1)3n n a a n n π+=++，则数列{}n a 的前40项和为________. 【答案】1260 【解析】【分析】21222121cos(21)6+36cos 2636n n n n n a a n n a a a n n n n ππ+--+=-=++=--++-=，22113n n a a +-+=，相邻两个奇数项之和为3，2221cos(22)6+3n n a a n n π++=++2+122cos(21)6366+3+12n+3n n n a a n n n a n π+==++++-=，222123n n a a n +=++，分组并项求和，可得结果.【详解】研究奇数项有：133,a a +=573a a +=……，相邻两个奇数项之和为3；研究偶数项有：2415,a a +=6839a a +=，相邻两个偶数项之和构成等差数列；所以前40项的和为10931015102412602⨯⨯+⨯+⨯=. 故答案为:1260.【点睛】本题考查数列分组并项求和，解题的关键是从递推公式找到数列项的特征，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.已知函数21()cos sin 2f x x x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 为BC 边上一点，3BM MC =，若()1f A =，2,b =3c =，求AM .【答案】(1)最小正周期为π；增区间为,63k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()k ∈Z (2【解析】【分析】(1)用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，化简()f x sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可求出周期，利用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求出函数递增区间；(2)()1f A =求出3A π=，以,AC AB u u u r u u u r 为基底，将AM u u u u r表示为1344AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，转化为求向量的模长，即可得出结论.【详解】解：(1)1cos 21()222x f x x -=+- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭T π⇒=.令222262k x k πππππ-+<-<+()63k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，所以增区间为,63k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()k ∈Z ；(2)()sin 26f A A π⎛⎫=-⎪⎝⎭1=， 50,,266662A A A ππππππ<<-<-<-= 3A π∴=，3,3,33BM MC BM MC AM AB AC AM ==-=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r，1344AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r 22216916AM AB AB AC AC ⎡⎤⇒=+⋅+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 6316=，所以||AM =u u u u r . 【点睛】本题考查三角函数化简，以及三角函数的性质，考查用向量的方法求边长，属于中档题. 18.某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A ，B ，C 三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为0.75.(1)若引种树苗A ，B ，C 各一棵，求至少自然成活2棵的概率；(2)已知引种一棵树苗B 需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B 中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B 及经人工栽培技术处理后成活的树苗B 在后期(成活后至长成可出售的小树)的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B 的总花费为X 元，求随机变量X 的分布列及数学期望. 【答案】(1)0.8625(2)详见解析【解析】【分析】(1)分别求出两颗成活一颗不成活的概率和三颗均成活的概率，相加即可求解；(2)X 的可能取值为：100，150，300，350.分别求出(100)P X =，(150)P X =，(300)P X =，(350)P X =，写出分布列，按照期望公式，即可求解.【详解】解：(1)设事件D 为：引种三种树苗，至少自然成活2棵；则()0.80.750.2520.20.750.750.80.750.75P D =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.8625=； (2)X 的可能取值为：100，150，300，350. 则有：(100)(10.75)0.20.05P X ==-⨯=，(150)(10.75)0.80.20.04P X ==-⨯⨯=，9 (300)0.75P X ==，(350)(10.75)0.80.80.16P X ==-⨯⨯=，所以其分布列如下()1000.051500.043000.753500.16292E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率，以及互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+.(1)证明：数列{}23n a n --是等比数列； (2)设2n n b n a =-，证明：1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由已知当2n ≥时，可得11221n n n n S n S a a --=--+=，整理为[]12322(1)3n n a n a n ---=---，根据等比数列的定义，即可证明结论；(2)由(1)求出n a ，进而求出323nn b =⨯-，根据()111232321n nn b =≤⨯-(1n =取等号)，要证1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立，转化为证等比数列12{}32n ⨯前n 项和小于或等于23，即可证明结论. 【详解】解：(1)当2n ≥时，由221122(1)n n n n S a n S a n --⎧=+⎨=+-⎩1221n n a a n -⇒=-+ []12322(1)3n n a n a n -⇒--=---，令1n =1121S a ⇒=+11a ⇒=-，则12360,230n a a n --=-≠∴--≠，12322(1)3n n a n a n ---=---故{}23n a n --为等比数列；(2)由(1)得1236232n nn a n ---=-⋅=-⨯，2332n n a n =+-⨯，323n n b =⨯-，()111232321n n n b =≤⨯-111(132n n -=⨯=时，取等号)，所以原式01111322n -⎡⎤≤⨯+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦111211312n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⨯- 2121323n⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立. 【点睛】本题考查数列前n 项和与通项的关系，考查用定义证明数列是等比数列，考查证明数列和的不等号，将通项放缩是解题的关键点也是难点，属于中档题.20.已知圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，过圆O 上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹记为曲线Γ，设过原点O 且异于两坐标轴的直线与曲线Γ交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一个交点为M ，直线AC 与圆O 的另一个交点为N ，设直线AB ，AC 的斜率分别为1,k 2k . (1)求12k k ⋅的值；(2)判断||||||||AB AC AM AN +是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由. 【答案】(1)14-(2)是定值，定值为54【解析】【分析】(1)设线段PQ 中点为(,)D x y ，则(,2)P x y ，将点P 代入圆方程，求出曲线Γ方程2214xy +=，设()0000,,0B x y x y ≠，则()00,C x y --，求出12k k ⋅，结合B 点在椭圆上，即可得出结论；(2)设(,),(,),(,),(,)B B C C M M N N B x y C x y M x y N x y ，||||||||||||||||C B M N y y AB AC AM AN y y +=+，分别设直线AB ，AC 为12,x m y =+22x m y =+，且121214m m k k ==-，将直线,AB AC 方程分别与圆、椭圆联立，求出,,,B C M N y y y y ，即可求出结果.【详解】解：(1)设线段PQ 中点为(,)D x y ，则(,2)P x y ，代入圆方程即得D 点轨迹方程为2214x y +=，设()00,B x y ，则()00,C x y --，且220014x y +=，则00120022y y k k x x -=⋅---2204y x =- 2020144x x -=-14=-；(2)分别设直线AB ，AC 为12,x m y =+22x m y =+，且121214m m k k ==-， 122244x m y x y =+⎧⎨+=⎩()2211440m y m y ⇒++=12144B m y m ⇒=-+， 12224x m y x y =+⎧⎨+=⎩()2211140m y m y ⇒++=12141M m y m ⇒=-+，同理可得：21222144,44C m m y m m =-=++1211616N m y m =+，所以||||||||B M y AB AM y =21211,4m m +=+||||||||C N y AC AN y =()21211644m m +=+，所以()2121520||||||||44m AB AC AM AN m ++=+54=. 【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，合理应用两点间的距离公式是解题的关键，属于中档题. 21.已知函数()(2),()ln x f x e x g x x x =-=-.(1)求函数()()y f x g x =+的最小值；(2)设函数()()()h x f x ag x =-(0)a ≠，讨论函数()h x 的零点个数.【答案】(1)1e -(2)当e a <-时，()h x 有0个零点；当a e =-或0a >时，()h x 有1个零点；当e 0a -<<时，()h x 有2个零点. 【解析】【分析】(1)令()()()x f x g x ϕ=+求导，令()0x ϕ'=，求出x 的值，进而求出单调区间，极小值，求出最小值；(2)求()g x '，求出单调区间和极值，得出()0>g x ，()0h x =等价转化为e (2)()ln x x a s x x x-==-，转化为求直线y a =与函数()s x 的图像交点个数，通过求导数的方法，研究函数()s x 的单调区间，极值和图像变化趋势，即可求解.【详解】解：(1)令()()()x f x g x ϕ=+11()e (1)1(1)e x x x x x x xϕ⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0,1x x ϕ'==，()0,1,()0,01x x x x ϕϕ''>><<<，所以()x ϕ的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)，所以1x =时，()x ϕ取得极小值，也是最小值，所以min ()(1)1e x ϕϕ==-； (2)11()1x g x x x-'=-=，令()0,1g x x '==， ()0,01,()0,1g x x g x x ''<<<>>()g x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，所以()g x 的极小值为(1)g ，也是最小值，()(1)10g x g ≥=>.所以()0h x =e (2)()ln x x a s x x x-⇔==-，因为22(1)ln 1()(ln )x e x x x x s x x x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭'=-，令2()ln 1k x x x x =--+2(1)(2)()x x k x x+-'⇒=，令()0,2k x x '==，()0,02,()0,2k x x k x x ''<<<>> ()k x 的递减区间是(0,2)，递增区间是(2,)+∞，所以()k x 的极小值为(2)k ，也是最小值，所以()(2)2ln 20k x k ≥=->，所以()s x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，又因为0,x +→()0,s x →,x →+∞()s x →+∞，且(1)e s =-，所以，当e a <-时，()h x 有0个零点；当a e =-或0a >时，()h x 有1个零点；当e 0a -<<时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间、极值、最值、图像；考查函数零点个数，分离常数是解题的关键，属于较难题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为28cos 6sin 110ρρθρθ---=. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t 为参数，0a π≤<)，点(1,0)P ，直线l 交曲线C 于A ，B两点，求||||PA PB +的取值范围.【答案】(1)22:(4)(3)36C x y -+-=(2) 【解析】【分析】(1)将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入极坐标方程，即可求出曲线C 的直角坐标方程； (2)将直线参数方程代入曲线C 方程，得到关于t 的一元二次方程，记其两根为1,t 2t ，由韦达定理，得出1,t 2t 关系式，根据参数t 的几何意义，将||||PA PB +表示为α的函数，求其最值，即可求出结论. 【详解】解：(1)28cos 6sin 110ρρθρθ---= 化为2286110x y x y +---=22:(4)(3)36C x y -+-=；(2)将直线参数方程与圆C 方程联立得：26(sin cos )180,t t αα-+-=236(sin cos )7236sin 21080ααα∆=++=+>，记其两根为1,t 2t ，则12126(sin cos ),18t t t t αα+=-=+，所以21||||PA PB t t +=-==，又[0,),απ∈sin 2[1,1],α∈-||||PA PB ∴+∈，其中，4πα=取到最大值12，34απ=时取到最小值【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题. 23.已知不等式|2|||1x x m ---≤对任意x ∈R 成立，记实数m 的最小值为0m . (1)求0m ；(2)已知实数a ，b ，c 满足：02,a b c m ++=222316a b c ++=，求C 的最大值. 【答案】(1)01m =(2)512【解析】【分析】(1)根据绝对值不等式性质，求出|2|||x x m ---最小值为|2|m -，结合已知可|2|1m -≤，去绝对值，求出m 的取值范围，即可得出结论；(2)由(1)可得12a b c +=-，由柯西不等式得到()222(11)()a ba b ++≥+，再结合已知可得2232(12)16c c ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，就出c 的范围，再由2223016a b c +=-≥求出c 的范围，两个范围取交集，即可求出结论.【详解】解：(1)由绝对值不等式知，|2|||(2)()x x m x x m ---≤---|2|m =-，当x m =时等号成立，由题知|2|1m -≤，即13,m ≤≤01m ∴=；(2)22212316a b ca b c +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由柯西不等式得()222(11)()a ba b ++≥+，故2232(12)16c c ⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，即(41)(125)0c c --≤，即15412c ≤≤，又2223016a b c +=-≥，c ≤≤ 综上，c 的最大值为512. 【点睛】本题考查绝不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及柯西不等式的应用，是解题的关键，属于中档题.。

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则(zi= ) A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．（5分）已知集合{(,)|20}A x y x y =+=，{(,)|10}B x y x my =++=．若A B =∅I ，则实数(m = )A ．2-B ．12-C ．12 D ．23．（5分）已知两个单位向量12,e e u r u u r ，若121(2)e e e -⊥u r u u r u r，则12,e e u r u u r 的夹角为( ) A ．23πB ．3π C ．4π D ．6π 4．（5分）随机变量2~(,)N ξμσ，若(1)0.3P ξ=…，(15)0.4P ξ<<=，则(μ= ) A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+满足()()88f x f x ππ-=+，则3()(8f π= )A ．2-B ．0C D ．26．（5分）已知平面α⊥平面β，直线m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）若2133312),log ,()a b e c e -===，则( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>8．（5分）若tan()3cos()2πααπ-=-，则cos2(α= )A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或799．（5分）已知AB 为圆22:(1)1O x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．1B C ．2D ．10．（5分）射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I ，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241241()Am 低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，20.6931ln ≈，结果精确到0.001) A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11611．（5分）已知双曲线22221x y a b -=的右支与抛物线22x py =相交于A ，B 两点，记点A 到抛物线焦点的距离为1d ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ，点B 到抛物线焦点的距离为3d ，且1d ，2d ，3d 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 12．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( )A B ．3 C ．D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知5250125(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则012345a a a a a a -+-+-的值为． 14．（5分）已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos (sin cos )cos A C C B -=，2a =，c =C 大小为．15．（5分）高三年段有四个老师分别为a ，b ，c ，d ，这四位老师要去监考四个班级A ，B ，C ，D ，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a 老师不能监考A 班，b 老师不能监考B 班，c 老师不能监考C 班，d 老师不能监考D 班，则不同的监考方式有种． 16．（5分）函数1()||1xf x lna x x+=--有两个零点，则a 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(1)n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．18．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20()P K k …0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82819．（12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，11A B A D =，60BAD ∠=︒，AC BD O =I ，AO ⊥平面1A BD ．（1）证明：1//B C 平面1A BD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>6，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值． 21．（12分）已知函数2()()f x xlnx ax a R =-∈．（1）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()()g x f x x =-两个极值点1x ，2x ，试判断12x x +与12x x g 的大小关系并证明．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． ()l 写出1C 的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >，且2a b c ++=．（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++…．。

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2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．22．（5分）已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．3．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a125．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．22019﹣1B．22019﹣2C．22020﹣2D．22020﹣17．（5分）设函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A．0B．C．D．9．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|＝，则p＝（）A．B．1C．D．210．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣1，f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，则k的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（，1）12．（5分）在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A．A＞B．B＞C．A＜D．B＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝．14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q 在C的另一条渐近线上，则C的离心率为．15．（5分）中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为台16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画P AC，则λ＝③△P AC周长的最小值是2+2④若△P AC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD＝2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD＝1，求△ABC的面积18．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．19．（12分）已知点M（，）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，且点M到C 的左、右焦点的距离之和为2．（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围．20．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ＝3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数（2）若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，且f（﹣2）＞e﹣2，证明：f（x0）≤1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）＞4﹣2x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，求a的取值范围．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用复数的运算法则求出z＝2﹣i，从而＝1+i．由此能求出共轭复数的虚部．【解答】解：复数＝＝＝＝2﹣i．∴＝2+i．∴共轭复数的虚部为1．故选：B．【点评】本题考查复数的共轭复数的虚部的求法，考查复数的运算法则、共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{0＜x≤1}，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}＝{x|x＞}，∴A∩B＝{x|}＝（]．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】在方向上的投影为，代入数值计算即可．【解答】解：因为，均为单位向量，且，的夹角为，所以在方向上的投影为：＝，故选：B．【点评】本题考查了平面向量投影的计算，属基础题．4．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a12【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3＝3a2，∴4（a1+2d）＝3（a1+d），可得：a1+5d＝0，∴a6＝0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同【分析】根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．【解答】解：由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；则：2018年参加选择考的总人数为：2a人；2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.28a、B：0.32a、C：0.30a、D：0.08a、E：0.02a；2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.48a、B：0.80a、C：0.56a、D：0.12a、E：0.04a；对各个选项进行比较可得B正确．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．22019﹣1B．22019﹣2C．22020﹣2D．22020﹣1【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+23+…+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+23+…+22019的值，由于S＝2+22+23+…+22019＝＝22020﹣2．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），＝sin（2x+），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+）的图象，由于g（x）为偶函数，故：2x+2φ+（k∈Z），解得：φ＝（k∈Z），当k＝0时，φ的最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A．0B．C．D．【分析】直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则：当n为偶数时，，所以：．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，偶函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|＝，则p＝（）A．B．1C．D．2【分析】联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式列式可得．【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+，将其代入抛物线C的方程得：y2﹣2pty﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2pt①，y1y2＝﹣p2②，又|AB|＝3|BF|，∴|AF|＝2|BF|，∴y1＝﹣2y2，③∴s＝|OF|×|y1﹣y2|＝××＝×＝，联立①②③可得t2＝，由弦长公式得|AB|＝x1+x2+p＝ty1++ty2++p＝t（y1+y2）+2p＝2pt2+2p＝，∴＝×，解得：p＝2．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以：d＝，故：，所以：．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣1，f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，则k的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．【解答】解：因为函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，而函数g（x）＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，所以函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1有且只有四个不同的交点，作出函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），则y′＝lnx﹣1，故lnx﹣1＝，解得x＝1，故k AC＝﹣1，设直线AB与y＝x2+x相切于点B（x，x2+x），y′＝2x+，故2x+＝，解得x＝﹣1，故k AB＝﹣2+＝﹣，所以﹣1＜﹣k＜﹣，解得＜k＜1，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．12．（5分）在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A．A＞B．B＞C．A＜D．B＜【分析】由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求tan A ＝＞0，可得A也为锐角，由tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得（tan A﹣1）（tan B﹣1）≤2，结合tan A﹣1≥2，tan B﹣1≥1，比较可知只可能tan A＝3，tan B＝2，tan C＝1，逐项分析即可得解．【解答】解：△ABC中，由于A＞B＞C，所以B，C都是锐角，由于tan B，tan C都是整数，由A+B+C＝π，得tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣＝＞0，可得A也为锐角，这时，tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得：＝tan C≥1，可得：tan A+tan B≥tan A tan B﹣1，可得：tan A﹣1+tan B（1﹣tan A）≥﹣2，可得：（tan A﹣1）（1﹣tan B）≥﹣2，可得：（tan A﹣1）（tan B﹣1）≤2，由于：tan A﹣1≥2，tan B﹣1≥1，比较可知只可能tan A＝3，tan B＝2，tan C＝1，由于：tan B，可知B＞，故B正确；由于：tan＝2+＞tan A，可知A＜，又＜，故选项C正确；又由于＞A＞B，可得选项D正确；故选：A．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝10．【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，得解．【解答】解：（2+x）5＝[1+（1+x）]5，则[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题．14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q 在C的另一条渐近线上，则C的离心率为2．【分析】如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，再根据直线PF1的方程与y＝﹣x联立得Q的坐标，根据中点公式得P的坐标，将其代入y＝x可得c2＝4a2，可得离心率．【解答】解：如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，直线PF1的方程为：y＝（x+c）与y＝﹣x联立解得Q（﹣，），根据中点公式得P（，），将其代入y＝x得：c2＝4a2，∴e2＝＝4，∴e＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题．15．（5分）中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为375台【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（10000，102），得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为P＝，设A＝{超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B＝{超过10000小时时，元件3正常}，C＝{该部件的使用寿命超过10000小时}．则P（A）＝1﹣（1﹣）2＝，P（B）＝，∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A、B同时发生的事件，∴P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝．∴这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为1000×＝375．故答案为：375．【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，是中档题．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画P AC，则λ＝③△P AC周长的最小值是2+2④若△P AC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为①②④．【分析】①根据空间中的垂直关系，即可判断A1D⊥C1P的正误；②利用正方体的特征，判断BD1⊥平面P AC时对应λ的值即可；③建立空间直角坐标系，即可求得△P AC周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出△P AC为钝角三角形时λ的取值范围．【解答】解：对于①，A1D⊥面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，∴A1D⊥C1P，①正确；对于②，若BD1⊥平面P AC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ＝，②正确；对于③，建立空间直角坐标系，如图所示，设P（x，x，2﹣x），x∈[0，2]，A（2，0，0），C（0，2，0）；|P A|＝|PB|＝＝＝≥＝，∴△P AC的周长最小值为2+2×＝2+，∴③错误；对于④，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），∴＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣λ，﹣λ，λ），＝+＝（λ，λ﹣1，﹣λ），＝+＝（λ﹣1，λ，﹣λ），显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＝cos＜，＞＝＜0，等价于•＜0，即λ（λ﹣1）+（λ﹣1）λ+（﹣λ）（﹣λ）＝λ（3λ﹣2）＜0，故0＜λ＜，④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD＝2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD＝1，求△ABC的面积【分析】（1）在△ABD中，由正弦定理可得，在△ACD中，由正弦定理可得，两式相除可得sin B＝cos B，结合范围0＜B＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求cos B，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BDA，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，可求AC＝AB tan B的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：，即：，在△ACD中，由正弦定理可得：，即，两式子相除可得：＝，即sin B＝cos B，可得：sin2B＝cos2B＝（1﹣sin2B），即sin2B＝，又0＜B＜π，可得：sin B＝．（2）由∠BAC＝90°，可得B是锐角，于是cos B＝，所以sin∠BDA＝sin（B+45°）＝sin B cos45°+cos B sin45°＝，在△ABD中，由正弦定理可得：AB＝AD•＝，于是AC＝AB tan B＝，所以S△ABC＝AB•AC＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【分析】（1）连接BD，设AE的中点为O，可证AE⊥PO，AE⊥BO，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（II）证明PO⊥OB，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（I）证明：连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB＝CE＝CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（II）解：在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO＝，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴＝（，0，﹣），＝（，，0），设平面PCE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝得＝（，﹣1，1），又OB⊥平面P AE，∴＝（0，1，0）为平面P AE的一个法向量，设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos＜＞|＝＝＝，易知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα＝﹣．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．19．（12分）已知点M（，）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，且点M到C 的左、右焦点的距离之和为2．（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围．【分析】（1）由题意可得：+＝1，2a＝2，解得a，b．即可得出椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y＝x．弦AB的中点在线段OM （不含端点O，M）上，可得＝×．由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣1＝k AB．设直线AB的方程为：y＝﹣x+m，代入椭圆方程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．△＞0．解得m2＜3．把根与系数的关系代入・＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）化简即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：+＝1，2a＝2，解得a＝，b＝1．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y＝x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴＝×，化为：x1+x2＝2（y1+y2）．由+＝1，+＝1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0．∵x1﹣x2≠0，∴+（y1+y2）＝0．∴＝﹣1＝k AB．设直线AB的方程为：y＝﹣x+m，代入椭圆方程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．△＝16m2﹣24（m2﹣1）＝8（3﹣m2）＞0．解得m2＜3．又＝∈（0，），∴．由根与系数的关系可得：x1+x2＝，x1x2＝．∴・＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＝2x1x2﹣﹣m（x1+x2）+m2＝2×﹣+m2＝m2﹣．而．∴・＝m2﹣∈．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ＝3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．【分析】（1）采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，由此能求出年龄在[47，52）内的人数为4人，P（ξ＝3）的值．（2）当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）＝3（万元），当投入2艘A 型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）＝（万元）．当投入3艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）＝2×＝6.2（万元），由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．【解答】解：（1）年龄在[42，47）内的游客人数为150，年龄在[47，52]内的游客人数为100，若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，年龄在[47，52）内的人数为4人，∴P（ξ＝3）＝＝．（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）＝3（万元），②当投入2艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3﹣0.5＝2.5，此时P（Y＝）＝P（1＜X＜3）＝，若X≥3，则Y＝3×2＝6，此时P（Y＝6）＝P（3≤X≤5）+P（X＞5）＝，此时，Y的分布列为：Y 2.56P此时E（Y）＝（万元）．③当投入3艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3﹣1＝2，此时P（Y＝2）＝P（1＜K＜3）＝，若3≤X≤5，则Y＝3×2﹣0.5＝5.5，此时P（Y＝5.5）＝P（3≤X≤5）＝，若X＞5，则Y＝3×3＝9，此时P（Y＝9）＝P（X＞5）＝，此时，Y的分布列如下表：Y2 5.59P此时，E（Y）＝2×＝6.2（万元）．由于6.2＞5.3＞3，则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数（2）若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，且f（﹣2）＞e﹣2，证明：f（x0）≤1．【分析】（1）对f（x）求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出f（x）的增减性与极值点的个数；（2）根据题目条件和第（1）问，确定a的范围，得到f（x0）的表达式，再利用换元法令t＝ln（﹣a），求出函数g（t）的最大值，从而得证f（x0）≤1．【解答】（1）解：f（x）的定义域为R，f′（x）＝（x+2）（e x+a）；若a≥0，则e x+a＞0；∴当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴x＝﹣2是f（x）唯一的极小值点，无极大值点，故此时f（x）有1个极值点；若a＜0，令f′（x）＝（x+2）（e x+a）＝0，则x1＝﹣2，x2＝ln（﹣a）；当a＜﹣e﹣2时，x1＜x2，可知当x∈（﹣∞，x1）∪（x2．+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0；∴x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，故此时f（x）有2个极值点；当a＝﹣e﹣2时，x1＝x2，f′（x）≥0，此时f（x）在R上单调递增，无极值点；当﹣e﹣2＜a＜0时，x1＞x2，同理可知，f（x）有2个极值点；综上，当a＝﹣e﹣2时，f（x）无极值点；当a≥0时，f（x）有1个极值点；当a＜﹣e﹣2或﹣e﹣2＜a＜0时，f（x）有2个极值点．（2）证明：若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，由（1）知a∈（﹣∞，﹣e﹣2）∪（﹣e﹣2，0）；又f（﹣2）＝﹣e﹣2﹣2a＞e﹣2；∴a∈（﹣∞，﹣e﹣2）；则x0＝ln（﹣a）；∴；令t＝ln（﹣a）∈（﹣2，+∞），则a＝﹣e t；∴；∴；又∵t∈（﹣2，+∞）；∴t+4＞0；令g′（t）＝0，得t＝0；当t∈（﹣2，0）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t∈（0，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；∴t＝0是g（t）唯一得极大值点，也是最大值点，即g（t）≤g（0）＝1；∴f[ln（﹣a）]≤1，即f（x0）≤1．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【分析】（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据参数t的几何意义可得．【解答】解：（1）由消去参数α，得+＝1，即曲线C的普通方程为：+＝1，由ρsin（θ﹣）＝，得ρsinθ﹣ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（2）由（1）知，点P（﹣1，0）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入+＝1并化简得2t2﹣﹣8＝0，△＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，得t1+t2＝，t1t2＝﹣1，所以|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝，所以|P A|+|PB|＝．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．。