线性系统第二次大作业

目录

第一章矩阵论基础........................................................................................... - 1 -

1.1子空间与不变子空间 ........................................................................... - 1 -

1.2 线性定常系统解的结构....................................................................... - 1 - 第二章控制论的相关概念 ............................................................................... - 2 -

2.1稳定性理论........................................................................................... - 2 -

2.2 能控性与能观性 .................................................................................. - 2 - 第三章基于不变子空间的系统分析 ................................................................ - 3 -

3.1 不变子空间与系统的解集结构 ........................................................... - 3 -

3.2不变子空间与能控能观性.................................................................... - 4 -

3.2.1 不变子空间与能控性 ....................................................................... - 4 -

3.3不变子空间与卡尔曼分解.................................................................... - 6 - 第四章BIBO稳定性和李雅普诺夫稳定的关系 ............................................ - 10 -

4.1 BIBO稳定的充要条件....................................................................... - 10 -

4.2 李雅普诺夫稳定的充要条件............................................................. - 10 -

4.3 渐进稳定的充要条件 ........................................................................ - 11 -

4.4 内部稳定必定BIBO稳定 ................................................................. - 11 -

4.5 外部稳定不一定内部稳定................................................................. - 11 -

4.6 临界稳定不一定BIBO稳定 ............................................................. - 12 -

4.7 特定初态的内部稳定性..................................................................... - 14 -

4.8 内部稳定与BIBO稳定等价条件...................................................... - 14 -

4.9 初始状态，输入矩阵，输出矩阵对状态稳定的影响....................... - 15 - 第五章总结 .................................................................................................... - 17 - 第六章参考文献............................................................................................. - 18 -

第一章 矩阵论基础

1.1子空间与不变子空间

1.1.1子空间

设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，则W 是V 的线性子空间的充要条件是：

a) 若,W W ∈+∈，则αβαβ b) ,W k P k W ∈∈∈，则αα

1.2.1不变子空间

设T 是线性空间V 的一个线性变换，又W 是V 的一个子空间，若对于任意W ∈，α都有T W ∈α，即：

()T W W ?

则称W 是线性变换T 的不变子空间。

1.2 线性定常系统解的结构

考虑线性定常系统：x

Ax Bu y Cx Du =+??=+? ，系统解的结构具有以下形式：

从零时刻开始:

从非零时刻开始： ,

其中，前一部分是零输入响应，后一部分是零状态响应，反映了线性系统的叠加原理。

在之后的分析中，如果没有特别说明，均在零时刻开始讨论。

第二章 控制论的相关概念

2.1稳定性理论

2.1.1 李雅普诺夫稳定性

定义：一个平衡状态e x 称为在0t 是李雅普诺夫意义下稳定的，当且仅当对于每个ε>0，存在一个依赖于ε和0t 的正数δ，使得若0e x x -≤δ，则0[,)t t ?∈∞，有(t)e x x -≤ε 2.1.2 渐进稳定性

定义：在李雅普诺夫稳定的基础上，若在充分接近e x 处起始的每一条运动轨迹，当t →∞时是收敛于e x ，则称此平衡状态在0t 是渐近稳定的。 2.1.3 BIBO 稳定性

定义：输入—输出稳定，即对任意一个有界输入信号(),(0)u t M t ≤≤∞≥，系统的输出响应有界。BIBO 稳定是零状态响应。

2.2 能控性与能观性

2.2.1 能控性

能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。 线性连续定常系统的能控性定义：

x

Ax Bu =+ 如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间0[,]f t t 内，是系统的某一初始状态0()x t ，转移到指定的任一终端状态()f x t ，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统式能控的。

2.2.2能观性

能观性所表示的是输出()y t 反映状态矢量()x t 的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即

00,()x

Ax x t x y Cx

===

如果对于任意给定的输入u ，在有限的观测时间0f t t >，使得根据0[,]f t t 期间的输出()y t 能唯一的确定系统在初始时刻的状态0()x t ，则称状态0()x t 是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。

从定义可知，能观性表示的是()y t 反映状态矢量()x t 的能力。

第三章 基于不变子空间的系统分析

3.1 不变子空间与系统的解集结构

3.1.1零状态响应的解集是线性空间

考虑线性定常系统x

A x

B u

y C x

D u

=+??

=+? ，设u=0时，初始状态为(0)x ，()=(0),0At x t e x t ≥，零输入响应的解集为X ，易知()=(0)At x t e x X ∈

若A 没有重特征值，其所有的特征值12,,n λλλ 所对应的特征向量为

12,,n v v v 组成n 维线性空间X 的一组基底，且由于：

11221122111222X,()X

n n n n n n n x x k v k v k v Ax A k v k v k v λk v λk v λk v ?∈===∈ 即++,都有

++++

该线性空间及其子空间均为A 的不变子空间。任意一个初始状态(0)x 均可

由12,,n v v v 线性表出，即：

1122(0)n n x v v v ααα=++

则状态(0)x 产生的零输入响应为：

12112211221122()()

n At n n At At At n n t t t n n

x t e v v v e v e v e v e v e v e v λλλααααααααα=++=++=++ 即1212,,n t t t n e v e v e v λλλ 是X 的一组基底，也即零输入响应的解集构成的线性空间由A 的特征值与特征向量决定。可知线性空间X 与线性空间X 存在同构映射：

121212X=span{,,,}=span{,,,}n λt λt λt n n v v v X e v e v e v ?

线性定常系统零输入响应解集具有如下特点：

（1）()x t 在t 时刻的解为(0)At e x ，几何上对应于状态空间中由初始状态(0)x 经线性变换(0)At e x 导出的一个变换点。基此推知, 零输入响应()x t 随时间t 演化的过程,几何上表现为状态空间中由初始状态(0)x 点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹。

（2）零输入响应即自由运动轨迹的形态,仅由系统的矩阵指数函数At e 惟一决定。不同的系统矩阵A, 导致不同形态的矩阵指数函数At e ,也导致了特征值与特征向量的不同，从而导致了零输入响应解集基本基底的不同，形态不同的零输入响应即自由运动轨迹。这就表明,矩阵指数函数At e 即系统矩阵A 包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息。

3.1.2特征值与特征向量对零输入响应的影响 由121122()n t t t n n x t e v e v e v λλλααα=++ 可知：

（1） 特征值对系统运动行为具有主导性的作用。若特征值具有负实部，

则零输入响应必定随时间衰减到稳态过程；若特征值具有正实部，

则零输入响应必随时间扩散至无穷大而不能达到稳态。

（2） 特征向量对系统运动行为具有非主导性的作用。如果把状态响应视

为各个特征值相应运动模式的一个线性组合，每一个特征值所对应的运动模态即为一种运动模式，特征向量的影响体现在对不同运动模式的“权重”上，所以特征向量只能影响各个运动模式在组合中的比重。

由上两节分析可知，系统的零输入响应性能和特征值、特征向量具有直接的相关性。而对于特征值互不相同的系统而言，其n 个线性无关的特征向量组成了A 的n 维不变子空间，此空间与系统零输入响应构成的n 维线性空间同构。 3.1.3 零状态响应解集的构成

考虑线性定常系统x

Ax Bu y Cx Du

=+??=+? ，(0)0,()x u u t ==，如果A 有互不相同的特

征值12,,n λλλ ，则其n 个线性无关的特征向量构成n 维线性空间的一组基底12,,n v v v ，现在把B （设B 是一个n*n 矩阵）以列向量的形式展开，可知B 的每一个列向量12,,,n b b b 均可由12,,n v v v 线性表出：

1122i i i in n b αv αv αv =++

则零状态响应的解为：

()()()()()12120

()

()

()

()

()

12120

1

1

1

1

1

()()[,,,]()[,,,]()[,,,]()[,i i t t t

A t τA t τA t τA t τA t τn n n

n

n

n

n

t

λt τλt τA t τA t τA t τi i i i ni i i i i i i i i i i x t e Bu τd τe b b b u τd τe b e b e b u τd τ

e

αv e

αv e

αv u τd ταe

v αe

v ----------==========???∑∑∑∑∑? ()0

1

,,]()i n

t

λt τni i i αe v u τd τ

-=∑? 由上式可知，零状态响应的解集与A 的特征值，特征向量，输入矩阵具有直接的关系，零输入响应几何上表现为状态空间中由各个时刻t 输入作用等价状态的变换点构成的一条轨迹。

3.2不变子空间与能控能观性

3.2.1 不变子空间与能控性

能控性反应的是系统在输入u(t)的控制下，状态变量x(t)的转移情况。若以B 的列向量所张成的空间不在A 任何一个的不变子空间中，则系统完全能控；若以B 的列向量所张成的空间在A 的某个不变子空间中，则A 的这个不变子空间对应的模态是能控的。其余的模态是不能控的。

同样只考虑A 无重特征值的情形，设B 的列向量为12,,,p b b b ，12,,,k v v v 为A 的k 个线性无关的特征向量，组成了A 的k 维不变子空间12[,,,]n V v v v = 。

设 n p n k k p B V T ???= 根据系统的能控性判别矩阵：

111

1

12112211

22

1[][,,,][,,,,,,,,,,,]n n n n n n n n n n

VT AVT A VT v v v λv λv λv λv λv B

AB A λv T B -----==

?

可知：

(

)

[]()112n k rank B

AB A rank v v v k -???=?=??

当k=n 时，即B 的列向量不落在A 的所有特征向量为基底的线性空间中，系统完全能控。

当k

下面从解集结构上分析能控性，为简单起见，仅考虑单输入单输出线性定常系统，B 为列向量，如果B 在A 的不变子空间中，则以A 的特征向量12,,,k v v v 以基底构成的A 的不变子空间W 可线性表出B ：

1122n n B αv αv αv =++

系统的解集为：

12()()112200

()()()11220

()(0)()(0)()()(0)[]()n t

t

At A t τAt A t τn n t

λt τλt τλt τAt n n x t e x e Bu τd τe x e αv αv αv u τd τ

e x e αv e αv e αv u τd τ

-----=+=++++=++++??? 显然，如果向量(0)x W ∈，则必定存在一个()u t ，可以使得在有限时间内

()0x t →，从而该初始状态能控；如果向量(0)x W ?，则无法找到一个()u t ，能

在有限时间内使得()0x t →，从而改状态不能控。

对于最小系统而言，最小系统(A,B)是完全能控的，令B 的列向量为基底的线性空间为b V ，A 的所有特征向量张成的空间为n V ，以A 的任意n-1个特征向量张成的空间为1n V -，因为(A,B)是完全能控的，所以1,,b n n V V V -满足的条件是：

1b n b n V V V V -??且

即以B 的列向量所张成的线性空间在A 所有特征向量张成的空间中，不在A 的任何一个不变子空间中。

3.2.2 不变子空间与能观性

用同样的分析方法可得，能观性反应的是输出y(t)反应状态变量x(t)的能力。若以C 的行向量所张成的子空间不在A 任何一个的不变子空间中，则系统完全能观测，若以C 的行向量所张成的子空间在A 的某个不变子空间中，则A 的这个不变子空间对应的模态是能观测的。其余的模态是不能观测的。说明方式与能控性相同，在此不再赘述。

对于最小系统而言，最小系统(A,C)也是完全能观测的，令C 的行向量为基

底的线性空间为c V ，A 的所有左特征向量张成的空间为n V ，以A 的任意n-1个左特征向量张成的空间为1n V -，因为(A,C)是完全能观测的，所以1,,c n n V V V -满足的条件是：

1c n c n V V V V -??且

即以C 的行向量为基底的线性空间在A 所有左特征向量张成的空间中，不在A 的任何一个不变子空间中。

3.3不变子空间与卡尔曼分解

3.3.1 能控性分解

若（A,B ）不能控，则能控性矩阵1[]n B AB A B -?不是行满秩，设其秩是k ，取其中线性无关的k 个包含B 的最小不变子空间的列向量12,,,k q q q ，易验证12(,,,)k span q q q 构成了A 的k 维不变子空间。现把12(,,,)k span q q q 扩张成n 维线性空间的一组基底121(,,,,,)

k k n span q q q q q + ，令： []111,,,,k k n P Q q q q q -+==

引入非奇异线性变换： x Px =

可使得系统按能控性分解得：

x Ax Bu y Cx

?=+?

?=??

其中 c c x x x ??

=????1120c c A A A PAP A -??==???

? 0c B B PB ??==????

1c

c C CP C C -??==??

易证：11[][]n n c

c c c c rank ran B AB A B B A B A k B --??=即：非奇异线性

变换不改变系统的能控性。

3.3.2 能控子空间

经非奇异变换后，系统的状态方程写为：

1200c c c c c c c c c

c c x x A A B u x x A x y C C x ??????

??=+????????????

????????=??

????

把该系统写成两部分，即能控子系统和不能控子系统，如下：

能控子系统： 121c c c c c c c

x

A x A x

B u y

C x ?=++??=??

不能控子系统： 2c c c c c

x

A x y C x ?=??=??

现从系统的解集上说明能控子空间是完全能控的。设(0)0,()0

c c x x t ==则，系统解集为：

()120

()0

()(0)((0)+())(0)()c c c c t

A t

A t τc c c c t

A t A t τc c x t e x e A x

B u τd τ

e x e B u τd τ

--=+=+??

显然，若（A ，B ）能控，则该子空间由于没有了不能控子空间的影响，可以被控制到空间任意一点。

下面从特征值上讨论模态能控性。由于：

120

c

c c c

sI A A sI A sI A sI A sI A sI A --=-=

=-*--

若λ为c A 的特征值，则其对应的模态能控；若λ为c A 的特征值，则其对应的模态不能控。 3.3.3 能观性分解

仿照能控性，若能观测性矩阵Q=[C,CA,CA 2

,…,CA

n-1

]T

的秩为m

其中m 个包含C 的最小不变子空间线性无关行，再扩张任意n-m 个行，构成非奇异变换11[,,,,,]T m m n F h h h h += ，构造非奇异线性变换：x Fx =

，能观性

分解得：

x Ax Bu y Cx ?=+?

?

=?? 其中，o

o x x x ??=????

，112100o o o o o B A A FAF B FB C CF C B A A --??????======??????

????

易证：11[][]n n o o T o o o rank C CA ra CA C C A C nk A --=??即：非奇异线

性变换不改变系统的能控性。 3.3.4 不能观子空间

经非奇异变换后，系统的状态方程写为：

2100o o o o o o o o o o o x x B A u x x B A A x y C x ????????=+??????????????

????

??=??????

把该系统写成两部分，即能观子系统和不能观子系统，如下：

能观子系统： 1o o o o o o

x A x B u

y C x ?=+??=??

不能观子系统： 2120

o o o o o x A x A x B u y ?=++??=?? 现从系统的解集上说明能观子空间是完全能观的。设

1(0)0,0,o x y ==则()0u t = 系统解集为：

()0()210()(0)()0

()(0)(()(0))(0)

o o o o o t A t A t τo

o o t

A t A t τA t

o o o o o x t e x e B u τd τx t e x e B u τA x d τe x --?=+=???=++=?

?? 可知系统零输入响应的集合为0()(0)o

A t o x t e x ??

=????

，此即不能观子空间，没有能观子空间，其在A 的不能观子空间上运行，输出10y =。

下面从特征值上讨论模态能观性。由于：

120

o

o o o

sI A A sI A sI A sI A sI A sI A --=-=

=-*--

若λ为o A 的特征值，则其对应的模态能观；若λ为o A 的特征值，则其对应的模态不能观。 3.3.5 卡尔曼分解

对一个不完全能控和不完全能观测n 维多输入多输出连续时间线性时不变系统,通过引入特定线性非奇异变换, 可使系统结构实现分解,即有：

13

2123

2443

0000000

00

0co co co

co

co co co co co co co co co co co co co

co

co co x x A A B x x A A A A B u x

x A x x A

A x x y C C x x

????????????????????????=+????????????????????????

??????????????=????????

再看分解后的传递函数：

1

11121

1121()()()0

00

()0()()c

c c

c c co co

c c c co

co co co co

co co sI A A B G s C sI A B C sI A B C C sI A B sI A C sI A B C C sI A B G s B A sI A ------????

-??=-=-=??????-??

?

?????-??=-==-=??????--??

?

?

－ 说明作为输入输出描述的传递函数矩阵G(s)只能反映系统的能控能观部分。方块图如下：

(,;,)ij

i c c j o o ==∑

表示基本反馈单元,其结构组成中正向通道环节为积分器组,

反馈通道环节为ij A 。基此, 基于分解式可以导出系统分解方块图, 图中箭头表示各个变量所能传递方向。从方块图可以直观看出, 单元co ∑只有信号进入而无信号送出, 为系统能控不能观测部分;单元co ∑只有信号送出而无信号进入,为系统不能控能观部分,单元co ∑虽有信号进入和信号送出,但进入信号来自单元co ∑,送出信号只能到达单元co ∑,为系统不能控不能观测部分。只有单元co ∑同时沟通输入和输出,能够实现输入u 到输出y 的传递,为系统能控能观部分。

第四章 BIBO 稳定性和李雅普诺夫稳定的关系

对内部稳定性和外部稳定性间关系的研究, 不仅理论分析上具有重要价值,

而且工程应用上具有基本意义。下面仅以线性定常系统x

Ax Bu y Cx Du =+??=+? 为例进行分

析。

4.1 BIBO 稳定的充要条件

系统BIBO 稳定的充要条件是其传递函数的极点都位于复平面的左半部。 证明：传递函数为有理分式：

1212()()()()()()()

k n s z s z s z G s s λs λs λ---=

---

分解为多个简单真分式的和为：

1212()()n n

a a a

G s s λs λs λ=

+++--- 无重极点 或：

12121

22111222312()()()()()()

l m l m

a βa a ββγG s s λs λs λs λs λs λs λλl λm =

+++++++++------- 是重极点,是重极点,其他均是单极点

单位脉冲响应函数为：

1212()[()]()n λt λt λt n g t G s k e k e k e ==++ 无重极点g L

或：

1122222121212()[()]()

l λt λt λt λt λt λt n m l m g t G s k e k t e k t e p e p t e p t e λl λm ==++++++

是重极点,是重极点,其他均是单极点L

可知，要使()0g t →，则所有极点具有负实部，也即极点都位于复平面的

左半部。

4.2 李雅普诺夫稳定的充要条件

系统内部稳定的充要条件是当系数矩阵无重特征值时，特征值实部小于等于零，且零实部特征值只能为A 的最小多项式的单根；系数矩阵有n 重特征值时，n 重特征值实部小于零。

证明：

11111(1)!n n λt n x

Ax x Px λA A λt e λn A A λ-==??

??=??

????????

-??

??

=??

??

????

通过线性变换约旦化可得:当无重根时,状态转移矩阵为：当有重根时,状态转移矩阵为：

由自由响应()=(0),0At x t e x t ≥，可知，无重根时，若特征值实部小于零，则自由响应至零，若特征值实部为零，则该状态分量不变，符合李雅普诺夫稳定性定义；有重根时，如果特征值为零，则初始状态会随着时间t 而发散，至于不稳定，从而李雅普诺夫稳定要求特征值实部小于零。

4.3 渐进稳定的充要条件

由上一节分析可知，当特征值实部小于零，则自由响应也趋于零，从而系统在李雅普诺夫意义下渐进稳定。

4.4 内部稳定必定BIBO 稳定

证明：对系统进行分析可知，脉冲响应矩阵为：

t ()()A H t Ce B D t =+δ

因为系统是内部稳定的，根据判据，则A 所有特征值均具有负实部，所以：

lim 0t e e →∞

=At At 必有界且

脉冲响应矩阵所有元：(),1,2,,,1,2,,

ij h t i q j p == 均满足关系式： 0

()M ij h t dt ∞

≤<∞?

即冲响应函数可积分，即BIBO 稳定。

4.5 外部稳定不一定内部稳定

很显然，通过3.3.5节卡尔曼分解可知，外部描述只反映系统结构中能控能观部分。若系统为BIBO 稳定，则对于SISO 系统来说，其传递函数G(s)具有负实部，这只能保证系统能控能观部分特征值具有负实部，不能表明也不要求系统其他三个部分的特征值均具有负实部，因此，系统BIBO 稳定不能保证

系统内部稳定。

4.6 临界稳定不一定BIBO 稳定

已知系统是临界稳定的，说明系统矩阵Ａ的特征根有负实部，或者实部为零时特征根为A 矩阵的最小多项式的单根。显然，若矩阵A 的特征根具有负实部，则BIBO 稳定；若特征值实部为零时且特征值为A 矩阵的最小多项式的单根时，则不一定稳定，分析如下：

设系统矩阵A 的特征值分别为112

，，（具有负实部）λλλ，设系统的状态空间表达式：

1

1

2111x x u ????

????=+????

?????

???

λλλ []001y x =

从传递函数和输出上看：

12

1

()()W s C sI A B s -=-=

-λ )()1

(

)(2

s U s s Y λ-=

对于有界输入，系统的输出是衰减的，即输出有界，因此在这种情况下，系统是BIBO 稳定的。

另设系统：

u x x ??

??

?

?????+?????????

?=11121

1λλλ []110y x =

从传递函数和输出上看：

1

111

1)()(λλ-+

-=

-=-s s B A sI C s W )()1

1(

)(1

1s U s s s Y λλ-+-= 设jw =1λ，则

)()2(

)(2

2s U w

s s

s Y +=

当输入22

1

()U s s w =

+，即输入信号的频率与系统的自然频率相等时，

()()121222

222221

()(

)A A B B s Y s s w s w s jw s jw s jw s jw =?=+++

+++-+- jwt jwt jwt jwt te B e B te A e A t y --+++=2121)(

其中1

2jwt

jwt Ae A te +两项会让系统的状态随时间而发散，所以系统不是BIBO 稳定的。

综合上述结果可得：

1.若共轭复根没有成对出现在传递函数中，则临界稳定下的系统也是BIBO 稳定的；

2.若共轭复根成对出现在传递函数中，这是需要对输入U(s)分情况进行讨论：

（1）当输入信号的频率与系统的自然频率不相等的时候，系统输出是有界的，BIBO 稳定；

（2）当输入信号的频率与系统的自然频率刚好相等的时候，系统输出是发散的，不是BIBO 稳定。

仿真如下：

系统的传递函数为，令3w =，即输入信号为()sin 3u t t =，相应

的传递函数为22

1

()3G s s =

+，则系统响应的仿真结果如图所示。

由图可知，系统响应发散，不是BIBO 稳定。

4.7 特定初态的内部稳定性

由4.2节可知，由于系统的零输入响应的解集：()=(0),0At x t e x t ≥是n 维线性空间，如果初始状态位于A 的不变子空间上，则不稳定的模态可能不会在状态响应中表现出来，那么该特定状态稳定，如果初始状态不位于A 的任何一个不变子空间上，则不稳定的模态一定会在状态响应中表现出来，从而该状态不稳定。

下面以无重根情况为例进行说明，假设0i >λ，可知该模态为不稳定模态，但如果其所对应的初态为零，也即初始状态位于A 的不变子空间上，该部分在状态响应的表现恒为零，所以即使存在不稳定模态也不会在状态响应中表现出来，重根情况也相同。而如果初态任何一个分量都不为零，即初始状态不位于A 的任何一个不变子空间上，则每个模态都会对状态响应有贡献，如果有不稳定模态存在，必定能表现出来，例如：

111,(0)020A x -????

????==????

????????

易验证，(0)x 落入了A 的不变子空间，零输入响应：

()(0)0At t x t e x e -==+

可见，不稳定模态并未表现出来。 若：

111,(0)121A x -????

????==????

????????

易验证，(0)x 不在A 的任何一个不变子空间，零输入响应：

2()(0)At t t t x t e x e e e -==++

可见零输入响应不稳定，不稳定模态得以表现出来。

4.8 内部稳定与BIBO 稳定等价条件

对连续时间线性时不变系统而言，如果系统能控能观，则系统内部稳定等价于外部稳定。

证明：由 3.3.5节卡尔曼分解可知，传递函数()G s 反映的是系统能控能观部分，如果系统本身是能控能观的，即不含有不能控不能观，能控不能观，能观不能控部分，则传递函数能反映出整个系统，因此，如果系统BIBO 稳定，则所有极点均位于复平面左半部，从而保证了系数矩阵A 的所有特征值都具有负实部，从而系统内部稳定，而内部稳定必定外部稳定，得证。

例如：

[]112,1,11131A B C -????

????=-==????

????-????

易验证，系统是观控能观且内部稳定，传递函数为：

111()123

G s s s s =

+++++ 显然，系统是BIBO 稳定的。 又如：

[]111110x x y x

?-????=+??????????

?=?

显然系统是能控不能观的，传递函数：

1

()1

G s s =

+ 极点均具有负实部，BIBO 稳定，但显然，系统矩阵A 有正实部特征值，所以不是内部稳定，也即能控能观性缺失使得内部稳定与外部稳定不等价。

4.9 初始状态，输入矩阵，输出矩阵对状态稳定的影响

前面已经讨论过，如果初始状态落入A 的某个不变子空间，则可能会有不稳定模态不能通过状态响应表现出来。下面以具体实例进一步讨论：

以无重根的线性定常三阶系统为例，其表达式如下：

[]112233123b x x b u b y c c c x λλλ??????????=+????????????????=?

则有

112233312312()0()11()220

()33112233(()()11223()(0)()(0)(0)()(0)()()((0)(0)(0))(t

At A t t t t t t t t t t t t t x t e x e Bu d e x e b e x e b u d e x e b y t Cx t c e x c e x c e x c e b c e b c e ------=+????

????=+????????

????

==+++++??τλλτλλτλλτλλλλλτλτττ

ττ

)30)()t

t b u d -?τττ

若系统有一个特征根大于0，即系统不稳定，假设10λ>，则系统3个特征根为：1230,0,0,><<λλλ此时，系统的状态稳定与输入矩阵B 和初态(0)x 有关，

BIBI 稳定与系统的输入矩阵B ，输出矩阵C ，初始状态(0)x 均有关，下面分情况讨论：

(1)

若11(0)0,0x b ==，即初始状态落在能控子空间中(00c x span x ??

∈????)，由

系统解集结构可知，不稳定模态1t e λ不会表现出来，所以，系统状态

()x t 仍然收敛，即状态稳定，此时，无论矩阵C 取何值，输出()y t 也

一定收敛，即BIBO 稳定。例如： (2)

若1(0)x 和1b 其中之一不为零，即不稳定模态1e λ一定会在状态中表现出来，由于1λ>0，则系统的状态不稳定。这时，输出()y t 是否稳定跟C 有关。

当1c 等于零时，则不稳定模态1e λ无法对输出响应有所“贡献”，

从而输出收敛，BIBO 稳定。

当1c 不为零时，则不稳定模态1e λ必定可以通过1(0)x 或者1b 表现出

来，从而输出发散，BIBO 不稳定。

第五章总结

本文先研究了不变子空间与解集的关系，不变子空间与能控性和能观性的关系，不变子空间与卡尔曼分解的关系，然后利用系统的解集结构，卡尔曼分解，不变子空间等理论分析了系统内部稳定（渐进稳定），李雅普诺夫稳定，领结稳定之间的关系，在此基础上本文还分析了特定状态的能控性与能观性，状态的稳定性。由分析可知，输入输出描述是系统的不完全描述，仅反应了系统完全能控能观部分，所以在以后的系统分析与设计中，不能轻易对消掉相同的零极点。内部稳定的系统一定BIBO稳定，而BIBO稳定的系统仅仅在系统能控能观时才内部稳定。对于某一特定状态而言，其能控性、能观性、状态稳定性，输出稳定性本质上由系数矩阵A决定，如果其落入了A的不变子空间，则在某些情况下，输入输出矩阵的某些分量容易“屏蔽”掉不能控，不能观，不稳定的模态，使得其表现为能控，能观，稳定等性质。一般而言，系统李雅普诺夫稳定要比BIBO 稳定重要。

第六章参考文献

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[2]郑大钟.线性系统理论[M].北京：清华大学出版社，2002.10

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[4] 胥布工.自动控制原理[M].北京：电子工业出版社，2011.1

[5]陈后金，胡健等.信号与系统[M].北京：清华大学出版社，2005.7