高考数学(对数、指数函数)第一轮复习
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高考数学（指数函数和对数函数）第一轮复
习资料
知识点小结
(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x +=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎧⎨
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪
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=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩
为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x α
α⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
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幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2
试题选讲
第一节对函数的进一步认识
第一节 指数函数
A 组
1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －
b 的值等于________．
解析：∵a >1，b <0，∴01.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －
2b ＝
6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －
b ＝－2.答案：－2 2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.
解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3
＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3.
答案：33－3
3．函数y ＝(12
)2x －x 2
的值域是________．
解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[1
2
，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞)
5．(原创题)若函数f (x )＝a x
－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0 a >1 a 0－1＝0a 2－1＝2 ⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1 4＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2 ＝－12＋1 2x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )． 因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－1 3 . 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2 －2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－ k ＋1 22t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1 ＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1 ＋2)(－22t 2－k ＋1)<0 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－1 3 . B 组 1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．