高等代数考研复习[线性方程组]

, n ) A, 且1 , 2 ,
, n
线性无关，则 1 , 2 ,
矩阵A可逆.
, n 线性无关的充分必要条件为
(2)若 1 , 2 ,
, n无关，且( 1, 2 , , s ) (1, 2 , , n ) B, , s 线性无关的充
(即B为列满秩).
1, 2 , , s
若 是
的互不相等的解，则 的基础解系 1 , 2 , 3 , 4 A* 0. Asn X 不存在 b 仅含有一个非零解向量 A X 0
sn
B) A) 含两个无关解向量
含三个无关解向量
D)
C)
例4 设 A, B 为n阶方阵，齐次方程组 AX 0 与 BX 0 的
例6 设0 是非齐次方程组 Asn X b 的一个解向量，而
1 , 2 , m 是齐次方程组 AX 0 的基础解系，令
1 0, 2 1 0,
1, 2 , 1)证明：
, m1 m .
, m1 线性无关；
2)方程组 Asn X b 的任一解 都可由它们线性表示.
高等代数考研复习
2014年 8月
第三章 线性方程组
线性方程组是高等代数学的最基本内容之一，它
在数学各分支及其他许多领域被广泛应用。本章 主要分三个部分复习，分别是 :

(1)向量组的相关性 (2) 线性方程组有解判别定理 (3)线性方程组解的结构
1. 向量组的相关性
(1)向量组的线性表示
则称向量组 1 , 2 ,
b)线性相关与线性无关的判别：设 1 , 2 ,
, s 是一 xs s 0
组n维向量，若向量方程组 x11 x2 2
有非零解，则称 1 , 2 ,
(1 , 2 , x1 x , s ) 2 0 xs
, s 相关，否则无关.
即 Ans X 0.
或
有无非零解的判定！！
(3)基本结论
a) 向量组 1 , 2 ,
, s 线性相关的充要条件是至少
有一个向量 i 可由其余向量线性表示.
b) 若1 , 2 ,
, s 线性无关，但是 1 , 2 , , s , 线性 , s 唯一线性表示.
一定可由n维单位向量组 1 , 2 , , n 线性表示.
b)判别方法：判别 能否由向量组 1 , 2 ,
出，
也就是考查向量方程组 x11 x2 2 解，等价于矩阵方程 (1 , 2 ,
xs s 是否有
, s ) X 即 Ans X 是
否有解？这三种方程的转化是代数中经常的方式！！！
c)向量组的等价：两向量组可以互相线性表示，称为
等价.等价具有反身性、对称性、传递性。
(2)向量组的相关与无关性
a) 相关与无关的定义：如果存在数域P中的不全为零
的数 k1 , k2 ,
ks ( s 1) 使得 k11 k2 2 ks s 0 , s 在数域P上线性相关；否则称无
3 (3,3,3 a,3), 4 (4,4,4,4 a) 问a为何值时，
向量组 1 , 2 , 3 , 4 相关？当向量组相关时，求它的一
个极大无关组，并将其余向量用极大组线性表出 .
例8 设向量组1 , 2 ,
, s 的秩为r，在其中任取m个向量
i1 , i 2 , , im 证明 r (i1,i 2 , ,im ) r m s.
组线性表出，则称这个部分组为向量组的一个极大无
关组. 极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.
b) 向量组秩的求法：将向量组 1 , 2 , 向量看成列向量，做矩阵 A (1, 2 , 初等变换求出矩阵的秩即为向量组的秩！
, s 中每个
, s ) ，对A做行
c) 相关结论：
1)极大无关组与向量组等价. 2)等价向量组有相同的秩. 3)若 1 , 2 , 则 r (1, 2 ,
, s t1 s t21,
1, 2 , 试问t1, t2 满足什么关系时，
础解系.
, s 也是Asn X 0 的基
例2 设 1 , 2 ,
, s 是齐次方程组 Asn X 0 的基础解系，
不是这个方程组的解，证明：
线性无关 .
例3 设n阶方阵A的伴随矩阵为
2.线性方程组有解判别定理 定理：方程组 Asn X b 有解的充分必要条件是：
n, 唯一解, r ( A | b) r ( A) n, 无穷多解.
齐次方程组 Asn X 0 有非零解的充分必要是 r ( A) n. 特别当 s n 时，方程组 Asn X 0 有非零解的充分
必要是 | A | 0.
1 x1 1 1 2 例1 已知方程组 2 3 a 2 x 3 无解，求a. 2 1 a 2 x 0 3
例2 设A是 m n 矩阵， 是m维列向量，证明：
(1) r ( AA) r ( AA) r ( A);
(2)方程组 AAX A 必有解.
(c1, c2 , 例3 已知 A (aij )nn 且A可逆，
cn ), A (b1, b2 , bn ), 证明：方程组 X 与方程组 d
s n r ( A). 1 , 2 , s 为基础解系.
(3)非齐次方程组解的性质
a)若1,2 是方程组 Asn X b 的解，则 1 2 是 Asn X 0
的解.
是 Asn X 0 的解，则 b)若 是方程组Asn X b 的解，
是 Asn X b 的解.
基础解系分布含 l与m 个向量，证明：
1) ( AB) X 0 至少有 max(l , m)个线性无关的解向量；
2)如果
，则
必有非零解； 这里 l m 分别 n
3)如果l m n 与 是
AX 0
( A 无公共非零解，且 B) X 0
AX 可唯一表示成 0 BX 0 则任意向量
, s 可由向量组 1 , 2 ,
, m 表出，
, s ) r ( 1, 2 , , m ).
2)相关无关的判定 3)求向量组的极大无关组
题型分析：1)向量组的线性表示
例1 设 1 (1,2,0), 2 (1, a 2, 3a), 3 (1, b 2, a 2b),
b)基础解系的求法：对系数矩阵A做行初等变
换将A化为最简阶梯形，可得与原方程组同解方
程组，从而可得自由未知量，当自由未知量分
别取单位向量时即可得基础解系.
x1 2 x2 2 x3 x4 0 例 求方程组基础解系 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
可由向量组 1 (1,1, a), 2 (2, a,4), 3 (2, a, a) 表示，
1, 不能由 2 , 3
1, 2表示 , 3 .
, s 线性表示，但不能由
例3 设 可由 1 , 2 ,
1, 2 , , s1 表示，证明： s 可由1 , 2 , , s1, 表示，
X 0 k11 k2 2 方程组 Asn X b 的通解为：
解空间的维数是：n r 1.
题型分析： 例1 设 1 , 2 ,
kss .
, s 是方程组 Asn X 0 的基础解系，
1 t11 t22, 2 t1 2 t23,
与
BX 0
的解向量 .
,
,
例5 已知 x1 x2 x3 x4 1
24 x1 3x2 5 x3 x4 1 ax x 3x bx 1 1 2 3 4
有三个线性无关的解，
证明：1)方程组系数矩阵的秩为2；
2）求a, b 及方程组的通解.
A X d 或者都无解或者都有唯一解.
例4 设A是 2n 2n 的实矩阵，对任意的2n n 实矩阵B，
方程 AX B 都有解，证明：A可逆.
CA BA. 例5 设n阶实方阵 A, B, C 满足CAA BAA部分组仍无关；向量组的一个部分
组相关，则向量组相关.
d) 向量组所含向量的个数大于向量的维数，向量组
一定相关.(n+1个n维向量线性相关.)
e) 1 , 2 ,
, s 线性相关的充分必要条件是： r (1, 2 , , s ) s. , s 线性表示，且 , r 线性相关. , r 可由 1 , 2 ,
f) 若 1 , 2 ,
rs
则 1 , 2 ,
若 1 , 2 ,
, r 无关，且 1 , 2 ,
, r 可由 1 , 2 ,
, s
表示，则 r s.
•(4)极大无关组与向量组的秩
a)定义：设 1 , 2 ,
, s 为一个向量组，若它的一个
部分组线性无关，并且其余向量都可由这个无关部分
(1,3, 3), 试讨论当 a, b 取何值时，
(1) 不能由 1 , 2 , 3 线性表示；
(2) 可由1 , 2 , 3 唯一线性表示，并求出表示式；
(3) 可由1 , 2 , 3 线性表示，但不唯一，并写出表示.
例2 确定常数 a 使向量组1 (1,1, a), 2 (1, a,1), 3 (a,1,1 但
1, 2 , 其中矩阵B为 n s 阵，证明：
分必要条件是 r ( B ) s
例6 若向量组 1 , 2 ,
, s ( s 2) 中1 0 ，而且每个 i , s 线性无关.
都不能由 1 , 2 ,
, i1 表示，证明： 1, 2 ,
例7 设4维向量组 1 (1 a,1,1,1), 2 (2,2 a,2,2),
a)定义：设 1 , 2 , , s , 是数域P上的n维向量，
如果存在数域P中的数 k1 , k2 ,
ks 使得 ks s
k11 k2 2
则称 是向量组1 , 2 ,
, s 的线性组合，或称 可由
向量组 1 , 2 ,
, s 线性表示.特别，任意一个n维向量 , s 表
(2)齐次方程组解的性质
a)若 1 , 2 是方程组 Asn X 0 的解，则1 2 也是它
的解.
b)若 是 Asn X 0 的解，则 k 也是他的解.从而齐
次线性方程组解的线性组合仍是它的解.
Asn X 0 的通解为： X k11 k2 2
kss 其中
分析：本题较难入手，如何与方程组建立联系是关键！
3.线性方程组解结构
(1)基础解系及其求法 a)基础解系定义：对于齐次线性方程组 Asn X 0, 若 1, 2 , s 是它的s个无关解，且方程组的任一 解都可由它们线性表出，则称向量组 1, 2 , s 是齐次方程组 Asn X 0 的基础解系.
但不能由 1 , 2 , , s1 表示.
例4 已知 1 , 2 , 3 无关，判别向量组
1 2 ,3 2 23 ,1 2 2 3 的相关性.
方法有：定义法，等价与秩法，矩阵法
例5 (1)若 ( 1, 2 ,
, n ) (1, 2 ,