高等代数北大版课程教案-第3章线性方程组

第三章 线性方程组

§1消元法

一 授课内容：§1消元法

二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组.

三 教学重难点：用消元法解线性方程组.

四 教学过程：

所谓的一般线性方程组是指形式为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1） 的方程组，其中n x x x ,,,21Λ代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1Λ=，n j ,,2,1Λ=）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1Λ=）称为常数项.

所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数 组成的有序数组（n k k k ,,,21Λ） ，当 n x x x ,,,21Λ分别用 n k k k ,,,21Λ 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.

解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 来表示.

在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元

线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.

分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1．用一非零的数乘某一方程.

2．把一个方程的倍数加到另一方程.

3．互换两个方程的位置.

定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.

消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.

可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.

对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛr r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c （5） 显然（5）与（1）是同解的.考察（5）的解的情况.

如（5）中的方程10+=r d ，而01≠+r d 这时不管 n x x x ,,,21Λ取什么值都不能使它成为等式，故（5）无解，因而（1）也无解.

当 01=+r d ，或（5）中根本没有“00=”的方程时，分两种情况：

1）n r =，这时阶梯形方程组为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c ΛΛΛΛΛΛ2222211212111 有唯一解.

例 解方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=+=++=+-622452413231321321x x x x x x x x .

解 上述方程有唯一的解 )6,1,9(--.

2）n r <，这时阶梯形方程组为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+++=++++=+++++++n n nn r r r r rr n n r r n n r r d x c x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11,222222********* 其中0≠ii c ，s i ,,2,1Λ= ，把它改写成

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=+---=++---=+++++++++++n nn r r r n r r r r rr n n r r r r n n r r r r x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11,11,211,222222111,111212111 （7） 由（7）我们可以把 r x x x ,,,21Λ 通过 n r x x ,,1Λ+ 表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 n r x x ,,1Λ+ 称为一组自由未知量.

例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+-1424524132321

321321x x x x x x x x x .

解 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2

)7(21321x x x . 定理1 在齐次线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0

........................................0......0......221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中，如果n s <，那么它必有非零解.

把矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ212122221

11211

称为线性方程组（1）的增广矩阵，显然，用初等变换花线性方程组（1）成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.

例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0424524132321

321321x x x x x x x x x .

解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0412********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110021001312→⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--100021001312

从最后一行可以看出原方程组无解.

§2 n 维向量空间

一 授课内容：§2 n 维向量空间

二 教学目的：理解和掌握n 维向量空间的概念，掌握n 维向量空间的两种运算及八条运算律

三 教学重难点： n 维向量空间的概念.

四 教学过程：

定义2 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组

),,,(21n a a a Λ （1） i a 称为向量（1）的分量.

定义 3 如果n 维向量 =α),,,(21n a a a Λ，=β),,,(21n b b b Λ的对应分量都相等，即

i a i b = n i ,,2,1Λ=.

就称这两个向量是相等的，记作=αβ

定义4 向量=γ),,,(2211n n b a b a b a +++Λ称为向量