数学分析第四版华东师大版21章_重积分

二重积分
二重积分的定义：
设D为平面上可求面积的有界闭区域,
二元函数f (x, y)定义在D上.
对区域D作分割T , 将D分解成n个可求面积的小区域
1, 2, , n (两两无公共的内点),
i的面积记为 i , i的直径记为di ,
分割T的模记为||
T
||
max
1in
di.
在 i上任取一点(i ,i ),
D f (x, y)d D g(x, y)d .
二重积分的性质
6.(绝对值不等式)设D为平面上可求面积的区域, f (x, y)在D上可积, 则 | f (x, y) | 在D上也可积,且
| D f (x, y)d | D| f (x, y) | d .
二重积分的性质
7.(积分中值定理) (1) : 如果f (x, y)在可求面积的有界闭区域D上连续,
证明
设f (x, y)在小矩形ik上的
上确界和下确界分别记为M ik , mik .
在区间[xi1, xi ]中任取一点i ,
mik • yk
yk y k 1
f
(i ,
y)dy
M ik
• yk ,
对上述不等式关于指标k求和可知
l
mik • yk
k 1
l
k 1
yk y k 1
l
f (i , y)dy M ik • yk ,
二重积分的性质
4.(可加性)设D1, D2为平面上可求面积的区域, 且D1, D2无公共的内点, f (x, y)在D1, D2上都可积, 则f (x, y)在D D1 D2上也可积,且
D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d .
二重积分的性质
5.(积分不等式)设D为平面上可求面积的区域, f (x, y), g(x, y)在D上可积, 且在D上,有f (x, y) g(x, y),则
则一定存在点( ,) D,使得
D f (x, y)d f ( ,)• | D | .
(2) : 如果f (x, y)在可求面积的有界闭区域D上连续, g(x, y)在D上可积且不变号,
则一定存在点( ,) D,使得
D f (x, y) g(x, y)d f ( ,) • D g(x, y)d .
的值就等于积分区域D的面积.
二重积分
• 与一元函数的定积分的情形相类似，我们 可以建立二重积分的可积性理论。
二重积分的性质
由二重积分的定义可以得到下面的一些性质:
1.(必要性)设D为平面上可求面积的有界闭区域, f (x, y)在D上可积 f (x, y)在D上有界.
2.设D为平面上可求面积的有界闭区域, f (x, y)在D上连续 f (x, y)在D上可积.
k 1
l
即 mik
• yk
d
c
f
(i ,
y)dy
I (i )
l
M ik
• yk .
k 1
k 1
证明
然后对上述不等பைடு நூலகம்关于指标i求和可知
| | n
f (i ,i ) i I .
i 1
则称f (x, y)在区域D上可积.
二重积分
当f (x, y) 0时,
二重积分D f (x, y)dxdy的几何意义是
以z f (x, y)为顶, D为底面的曲顶柱体的体积. 特别地,当f (x, y) 1时,
f (x, y)在D上的二重积分D f (x, y)d
二重积分的计算
在矩形区域D [a,b][c, d]上二重积分的计算. 将二重积分转化为累次积分的计算.
二重积分的计算
设f (x, y)在矩形区域D [a,b][c, d ]上可积.
且对于每一个x [a,b],
积分I (x)
d
c
f
(x, y)dy都存在,
则累次
积分ab
d
dxc
f
(x,
y)dy
b
a
I
(
x)dx也存
在,
并且
b dx d
a
c
f
(x,
y)dy
D
f
(x, y)d .
证明
对闭区间[a, b]作分割 a x0 x1 xm b, 对闭区间[c, d ]作分割 c y0 y1 yl d , 由此构成矩形区域D [a,b][c, d ]上的一个分割T , 它将矩形D分解为ml个小矩形. 记ik 为小矩形[xi1, xi ][ yk1, yk ], i 1,2, , m; k 1,2, ,l. xi xi xi1, yk yk yk1, ik的面积为| ik | xi yk ,|| T || maxi,k{d (ik )}
重积分
二重积分 三重积分 n重积分
重积分
• 二元函数在R^2中有界闭区域上的积分称为 二重积分.
• 三元函数在R^3中有界闭区域上的积分称为 三重积分.
• n元函数在R^n中有界闭区域上的积分称为 n重积分.
二重积分
• 二重积分的实际背景—求曲顶柱体的体积.
设D [a,b][c, d ] {(x, y) R2 : a x b, c y d} 是R2中的闭矩形区域, f (x, y)是定义在D上的非负连续函数. 求以曲面z f (x, y)为顶, D为底面的 曲顶柱体V的体积. V {(x, y, z) R3 : (x, y) D,0 z f (x, y)}.
二重积分的性质
3.(线性性质)设D为平面上可求面积的有界闭区域, f (x, y), g(x, y)在D上都可积, k1, k2为常数,则k1 f (x, y) k2 g(x, y) 在D上也可积, 且
D k1 f (x, y) k2g(x, y)d k1 D f (x, y)d k2 D g(x, y)d .
x, y称为积分变量, d dxdy称为面积微元.
二重积分
用极限的 -语言来叙述：
设D为平面上可求面积的有界闭区域, 二元函数f (x, y)定义在D上, I是一个确定的实数.
如果对于任意给定的正数 0,总存在某个正数 0,
使得对于D的任何分割T ,
只要 || T || ,属于T的所有积分和都有
二重积分
如果下面特殊和式(积分和)的极限存在
n
lim
||T ||0 i1
f (i ,i ) i
I,
且I的值与分割T和点(i ,i )的取法无关,则称此极限值I为
f (x, y)在D上的二重积分,
记为I D f (x, y)d D f (x, y)dxdy.
D称为积分区域, f (x, y)称为被积函数,