中学趣味数学-硬币是2枚还是3枚_题型归纳

中学趣味数学:硬币是2枚还是3枚_题型归纳

有一种硬币游戏，其规则是：

（1）有一堆硬币，共十二枚。

（2）双方轮流从中取走两枚或三枚硬币。

（3）谁取最后一枚硬币谁输。

Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏，阿曼德开局，比福德随后。

Ⅰ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤；如果无法取胜，就尽可能采取能导致和局的步骤。

这两人中是否必定会有一人赢？如果这样，谁会赢？

（提示：首先判定当只有一枚硬币要你取的时候，你是处于稳操胜券的地位，还是处于注定要输，或者导致和局的地位；然后，判定当只有两枚硬币要你取的时候，你是处于稳操胜券的地位，还是处于注定要输，或者导致和局的地位；如此进行，直至判定有十二枚硬币要你取的情况。）

答案

根据{Ⅰ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤；如果无法取胜，就尽可能采取能导致和局的步骤。}，如果有一方能够取胜，那他一定要取胜。如果一方能够逼和（假定他不能取胜），那他一定要逼和。

根据(2）和(3）：

（a）当这堆硬币中只有一枚硬币要取的时候、显然游戏只能以和局告终，因为谁也不能取。

（b）当这堆硬币中有两枚硬币要取的时候，取者必输。这是因为他必须取走这两枚硬币。

（c）当这堆硬币中有三枚硬币要取的时候，取者只能采取逼和的策略。这是因为如果他一下子把三枚硬币全都取走，那他就输了；于是他只取走两枚硬币，这样对方就不能取了。

（d）当这堆硬币中有四枚硬币要取的时候，取者可以取走两枚硬币从而获胜，因为这样就使对方陷入了只有两枚硬币要取的必败境地。如果他取走三枚硬币游戏就以和局告终。

（e)当这堆硬币中有五枚硬币要取的时候，如果取者能够留下一定枚数的硬币从而使对方陷于必败的境地，那他就赢了。因此，他取走了三枚硬币，使对方陷入了只有两枚硬币要取的

必败境地。

(f）当这堆硬币中有六枚硬币要取的时候，取者只能采取逼和的策略。他可以取走三枚硬币，这就造成了有三枚硬币要取的必和局面。如果他只取走两枚硬币，就把有四枚硬币要取的必胜机会留给了对方。

按照这样的推理，我们可以发现，当这堆硬币中有两枚、七枚或十二枚硬币要取的时候，取者注定要输；当这堆硬币中有四枚、五枚、九枚或十枚硬币要取的时候，取者稳操胜券；这堆硬币中有一枚、三枚、六枚、八枚或十一枚硬币要取的时候，游戏必以和局告终。

下列三表总结了这三类情况分别是怎样注定导致失败、怎样稳步走向胜利和怎样以和局告终的。

注定要输的局面如果一方取走他留给对方的必胜机会

2

2

0 7

12

稳操胜券的局面如果一方取走他使对方陷入的必败境地

4

2

2

5

3

2

9

2

7

10

3

7

只能逼和的局面如果一方取走他造成的必和局面

1 -

1

3

2

1

6

3

3

8

2

6

11

3

8

根据{（1）有一堆硬币，共十二枚。}，开始时有十二枚硬币。由于十二枚硬币是注定要输的局面，谁开局谁必输。根据{Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏，阿曼德开局，比福德随后。}，是阿曼德开局，故阿曼德必输。因此比福德必赢