橡胶配方设计中的数学方法.pptx

3.7
……
13.645～13.695 14.67
2
0.010
0.2
为了使面积等于组频率，则纵坐标＝频率/组距
若n愈大，直方图越接近于子样 分布密度函数f(x)的图像。
那么分布密度f(x)的性质：
1. f(x)≥0
f (x)dx 1
2. P｛a≤x≤b｝=
b
f (x)dx
a
对开区间成立，
或左闭右开，
从母体中随意取得的一个个体，叫随机变量，记为X。那 么上例中，随机变量的概率分布列是：
x
1
2
0
p 721/1000 213/1000 66/1000
从这个分布列可看出，随机变量X的概率分布与母体 分布是相同的。以后把母体分布就称为是相应随机变 量X的概率分布。P用分布列、分布密度、分布函数具 体表示母体分布的数字特征指的是相应随机变量的数 字特征。
4.2 方差
用来衡量随机变量对E(X) 的离散程度。 DX=E〔X- E(X) 〕2 随机 变量与E(X)之差的平方的 数学期望。 DX= E(X2)-〔 E(X) 〕2 离散型：
连续型：
数学期望的性质
E(C)=C，其中C为常数。 E(CX)=CE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) 推广
实际中，我们不可能对所有的母体元素都进行统计，因 此只能进行随机抽样检查或分析。就是说从母体取得一 部分的个体，这部分个体叫子样。随机抽取子样有两种 方法。一种是重复抽样，取一样品后又放回，这种抽法 则每一个随机变量都是独立同分布，且与母体分布相同； 另一种情况是取一样品不放回，如母体无限，随机变量 仍是独立同分布，如母体有限，就并非如此。如子样容 量为n，相对于母体容量N很小：n/N≤0.1 如随机子样 用X(X1，X2，…，Xn)表示，近似可看成独立同分布。 同分布即指每一个随机变量分布都是母体分布，与母体 分布相同。因此我们可通过研究子样的一些特点来推测 或推导出母体函数分布的特征，以便于理解。
举例
测200个圆柱状橡胶件的直径，最小13.09，最大13.69。现 把它们分成12个组，组距为0.05列表如下：
各组范围 组中值 频数 频率 直方图纵坐标
13.095～13.145 13.12
2
0.010
0.2
13.145～13.195 13.17
1
0.005
0.1
……
13.395～13.445 13.42 37 0.185
或左开右闭。
x
子样的重要数字特征
子样平均数：
子样方差：s2
1 n
n i 1
( xi
x)2
作业：从母体中抽得容量为50的子样，其频数分 布为
X
2
5
7 10
mi 16 12
8
14
计算x和s2。
3. 正态分布（高斯分布）的分布密度
概率中
f (x)
1
xu 2
e 2 2
2
其中σ ＞0，正态分布记为 N(u， σ 2)。举例：如u=0， σ ＝1，f(x)称为标准正态 分布，记为N(0，1)，其图 像为过0轴，其分布函数记 为Φ(x)，数值可查表。
2.3 直方图
进行N次独立实验，事件A发生的次数≥0且≤N，母体的数量 指标是离散量。前面所说的两种方法都适合于离散型随机变 量的表达。 对于连续量，可用分布密度来表示。相应的子样“密度”需 用直方图来表示。在母体分布密度图中，用曲边梯形面积来 表示此区间的分布几率，同样在直方图中，用子样在直方图 中一个区间的面积代表此区间上的频率。
第三章 配方设计中的数学方法
1 随机变量及其分布
什么是随机变量，来看个例子：
有一批产品共1000个，每个产品按质量 可分为一等、二等和次品，分别用“1”“2” 和“0”表示，那么我们说这1000个减速器 的等级构成一个母体（也叫总体）每个产 品的等级是个体。其中“1”是721个，“2” 是213个，“0”是66个。
2.子样分布
类似于母体分布，有三种形式：频数分布和频率 分布，经验分布函数和直方图。 2.1.子样频数和频率分布： 例：从橡胶车间取7种规格产品，检查每种规格的 次品数得到子样(0，3，2，1，1，0，1)。把7 个数从小到大依次排列，相同的数合并，得到下 列频数表：
X 0123 频数 2 3 1 1
因此， Rn*(x)可表示n次试验事件｛X≤x｝发生 的概率，它与分布函数具有相同的性质：
非降性，右连续。
Rn*(-∞)＝0 Rn*(∞)＝1 那么Rn*(x)与我们所关心的母体函数分布F(x)有 何关系呢？
按W.Glivenko定理，当n值很大时， Rn*(x)近 似 F(于x)F的(x性)，质所。以我们可以用Rn* (x)来近似理解
4. 数学期望和方差
4.1 数学期望E(X) 表示的是随机变量在数轴取值的集中位置， 它说明随机变量x的值大多出现在哪里，可以 说E(X) 是随机变量的平均值，但这一平均值 概念与算术平均值概念不同。
离散型随机变量的E(X)
x X(1)，X(2)，… p P1，p2，…
连续型用分布密度f(x)代 表E(X)
正态分布性质
有顶峰。
有对称轴。
x
或x
时y 0
区间上的部分占总面积的68.3％
2 区间上的部分占总面积的99.5％
3 区间上的部分占总面积的99.7％
证明可用积分计算，也可查表验证。
从上面的解释中我们可了解到，对一个随机变 量来说，分布函数F(x)才是它最完善的描述。 但在实际情况下，我们并不需要知道全部的概 率性质，只需要知道这个随机变量x的几个特 征数字，能反映该变量的变化值的集中位置和 离散度就够了。其中最常用的数字特征是数学 期望和方差。
X、Y相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)
方差性质
D(C)=0 D(CFra Baidu bibliotek)=C2D(X) 若X、Y相互独立，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 推广
上表称为子样频数分布。 那么频率分布可用下表给出：
X
0
1
2
3
频数 2/7 3/7 1/7 1/7
2.2 经验分布函数 Rn*(x)
定义：对任意实数x，子样值中小于或等于x的个数 记为m(x)， Rn*(x)＝m(x)/n（n为子样容量）， 那么上例的经验分布函数表达式是：
0， 当x＜0 2/7， 当0≤x＜1 R7*(x)＝ 5/7， 当1≤x＜2 6/7， 当2≤x＜3 1， 当x≥3