天津科技大学数据结构---第4章 分治法

2015-4-6
算法设计与分析--分治法
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分治法的典型情况
原问题 的规模是n
子问题1 的规模是n/2
子问题2 的规模是n/2
子问题1的解
子问题2的解
原问题的解
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例：计算an，应用分治技术得到如下计算方法：
a
分析时 间性能
n
= n a
a 2 ´ a n
a2, …, an)划分成长度相同的两个子序列(a1, …,
a n 2 )和(a n 2
＋1, …,
an)，则：
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① a1, …, an的最大子段和＝a1, …,an 2 的最大子段和； ② a1, …, an的最大子段和＝an 2＋1, …, an的最大子段和； ③ a1, …, an的最大子段和＝ ak ，且
j
（1≤i≤j≤n ），当序列中所有整数均为负整数时，
其最大子段和为0。例如，序列(-20, 11, -4, 13, -5,
-2)的最大子段和为：
a
k =2
4
k
= 20
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先考虑最大子段和问题的简单算法
最大子段和问题的分治策略是：
（1）划分：按照平衡子问题的原则，将序列(a1,
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一次划分示例
38 i 27
55
50 13
49
65 j 65
j
j
13 i i
27 i
55
50
38 j
49
13
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38 i j
50
j
55 j
49
65
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算法4.5——一次划分
int Partition(int r[ ], int first, int end) { i=first; j=end; //初始化 while (i<j) { while (i<j && r[i]<= r[j]) j--； //右侧扫描 if (i<j) { r[i]←→r[j]; //将较小记录交换到前面 i++; } while (i<j && r[i]<= r[j]) i++； //左侧扫描 if (i<j) { r[j]←→r[i]; //将较大记录交换到后面 j--; } } retutn i; // i为轴值记录的最终位置 }
34
2
如果 n = 1 如果 n > 1
32
32
分解问题 31 求解每个子问题
31
3 9
31
31
3
3
9 81
3
合并子问题的解
不是所有的分治法都比简单的蛮力法更有效。
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4.1.2 数字旋转方阵
问题：输出NN(1N10)数字旋转方阵。
1 20 19 18 17 16
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二路归并排序的合并步的时间复杂性为O(n)，
所以，二路归并排序算法存在如下递推式：
1 T (n) = 2T ( n 2 ) + n
n =1 n >1
可得二路归并排序的时间代价是O(nlog2n)。
二路归并排序在合并过程中需要与原始记录序列同 样数量的存储空间，因此其空间复杂性为O(n)。
j
k =i
（ 3）合并：比较在划分阶段的三种情况下的最大子段和， 取三者之中的较大者为原问题的解。
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a1 … … ai … amid amid+1… aj … … an
划分 (mid = n 2)
leftsum
rightsum
递归处理 合并解 不能递归处理
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最好情况:每次划分后把待划分区间划分为长度相等的两个 子序列。 在具有n个记录的序列中，一次划分需要对整个待划分序列 扫描一遍，则所需时间为O(n)。
设T(n)是对n个记录的序列进行排序的时间，则有： T(n)=2 T(n/2)＋n
=2(2T(n/4)＋n/2)＋n＝4T(n/4)＋2n =4(2T(n/8)＋n/4)＋2n＝8T(n/8)＋3n
第4章 分治法
分治法是最著名的算法设计技术。
4.1 概 述 4.2 排序问题中的分治法 4.3 组合问题中的分治法 4.4 几何问题中的分治法
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4.1 概 述
4.1.1 分治法的设计思想 4.1.2 数字旋转方阵
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4.1.1 分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，划分成一些(如k
个)规模较小的子问题，分别求解各个子问题，再合
并子问题的解得到原问题的解。 如果子问题的规模仍然不够小，可继续分解下去。
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分治法的求解过程：分-治-合
（1）划分：把规模为n的原问题划分为k个规模较 小的子问题，并尽量使这k个子问题的规模大致相同。
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4.3.1 归并排序
二路归并排序的分治策略是： （1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个 长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn； （ 2 ）求解子问题：分别对这两个子序列进行排 序，得到两个有序子序列；
（ 3 ）合并：将这两个有序子序列合并成一个有 序序列。
………
=nT(1)＋nlog2n＝O(nlog2n) 因此，时间复杂度为O(nlog2n)。
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最坏情况：待排序记录序列正序或逆序。 此时，必须经过n-1次递归调用，而且第i趟划分需 要经过n-i次关键码的比较，因此，总的比较次数为：
n 1
1 2 （n i） = n(n 1) = O(n ) 2 i =1
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4.3.2 快速排序
快速排序的分治策略是：
（1）划分：选定一个记录作为轴值，以轴值为基准 将整个序列划分为两个子序列；
（2）求解子问题：分别对划分后的每一个子序列 递归处理； （3）合并：由于对子序列r1 … ri-1和ri+1 … rn的排序 是就地进行的，所以合并不需要执行任何操作。
k =i j
1 i n 2, n 2 + 1 j n
（2）求解子问题：对于划分阶段的情况①和②可递归求解， n 2 情况③需要分别计算 s1 = max ak (1 i ， n 2)
s 2 = max
k k = n 2 +1
a (n 2 + 1 j n) ，则s1+s2为情况③的最大子段和。
（2）求解子问题：各子问题的解法与原问题的解 法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题。
（3）合并：把各个子问题的解合并起来，分治算 法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。
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启发式规则：
1. 平衡子问题：最好使子问题的规模大
致相同。
2. 独立子问题：各子问题之间相互独立。
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[ r1 … … ri-1 ] ri [ ri+1 … … rn ]
均≤ri
轴值 均≥ri 位于最终位置
归并排序按照记录在序列中的位置对序列进行划分， 快速排序按照记录的值对序列进行划分。
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以第一个记录作为轴值，对待排序序列进行划分的过程为： （1）初始化：取第一个记录作为基准，设置两个参数i，j； （2）右侧扫描过程： （3）左侧扫描过程： （4）重复（2）（3）步，直到i与j指向同一位置，即基准记 录最终的位置。
max{leftsum, sum, rightsum} sum
a1 … … ai … amid amid+1… aj … … an
最大子段和横跨两个子序列
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算法4.7——最大子段和问题
int MaxSum(int a[ ], int left, int right) { sum=0; if (left= =right) { //如果序列长度为1，直接求解 if (a[left]>0) sum=a[left]; else sum=0; } else { center=(left+right)/2; //划分 leftsum=MaxSum(a, left, center); //对应情况①，递归求解 rightsum=MaxSum(a, center+1, right); //对应情况②，递归求解
因此，时间复杂度为O(n2)。
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平均情况：设基准记录的关键码第k小(1≤k≤n)，则有：
1 n 2 n T (n) = (T (n k ) + T (k 1)) + n = T (k ) + n n k =1 n k =1
这是快速排序的平均时间性能，可以用归纳 法证明，其数量级也为O(nlog2n)。 快速排序的空间复杂性如何?
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以轴值为基准将待排序序列划分为两个子序 列后，对每一个子序列分别递归进行排序。
13 i
27 j
38
50
i
55
49
65
j 65
13
27
38
49
50
55
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算法4.6——快速排序
void QuickSort(int r[ ], int first, int end) { if (first<end) { pivot=Partition(r, first, end); //问题分解，pivot是轴值在序列中的位置 QuickSort(r, first, pivot-1); //递归地对左侧子序列进行快速排序 QuickSort(r, pivot+1, end); //递归地对右侧子序列进行快速排序 } }
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算法4.4——合并有序子序列 void Merge(int r[ ], int r1[ ], int s, int m, int t) { i=s; j=m+1; k=s; while (i<=m && j<=t) { if (r[i]<=r[j]) r1[k++]=r[i++]; //取r[i]和r[j]中较小者放入r1[k] else r1[k++]=r[j++]; } if (i<=m) while (i<=m) //若第一个子序列没处理完，则进行收尾处理 r1[k++]=r[i++]; else while (j<=t) //若第二个子序列没处理完，则进行收尾处理 r1[k++]=r[j++]; }
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算法4.3——归并排序
void MergeSort(int r[ ], int s, int t) { int m, r1[1000]; if (s= =t) return; else { m=(s+t)/2; Mergesort(r, s, m); //归并排序前半个子序列 Mergesort(r, m+1, t); //归并排序后半个子序列 Merge(r, r1, s, m, t); //合并两个已排序的子序列 for (int i=s; i<=t; i++) //将有序序列传回数组r中 r[i]=r1[i]; } }
2 21 32 31 30 15
3 22 33 36 29 14 4 23 34 35 28 13 5 24 25 26 27 12 6 7 8 9 10 11
66的旋转方阵
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4.2 排序问题中的分治法
4.2.1 4.2.2 归并排序 快速排序
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4.3 组合问题中的分治法
4.3.1 最大子段和问题 4.3.2 棋盘覆盖问题 补充： 循环赛日程安排问题
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4.3.1 最大子段和问题
给定由n个整数组成的序列(a1, a2, …, an)，最大
ak 的 最 大 值 子段和问题要求该序列形如 k =i
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r1 … … rn/2
rn/2＋1 ຫໍສະໝຸດ Baidu … rn
划分 递归处理
r‘1<… …<r’n/2 r’n/2＋1<… …<r’n r''1<……<r''n/2<r''n/2＋1 <……<r ''n
合并解
举例：8 3 2 6 7 1 5 4
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