衡水中学二调理科数学

衡水中学2011—2012学年度下学期二调考试

高三理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1．已知U =R ，{}|0A x x =>, {}|1B x x =≤-,则()()u u A C B B C A = （ ）

A ．?

B ．{}|0x x ≤

C ．{}|1x x >-

D ．{}|01x x >≤-或x 2．已知x 为实数，条件p ：x 2

x

1≥1，则p 是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3. 已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为 （ ）

A ．3或3-

B ．3或1-

C ．3

D ．3-

4．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数， βα、是锐角三角形的两个内角，则（ ） A.)(cos )(sin βαf f > B.)(sin )(sin βαf f > C.)(cos )(sin βαf f < D.)(cos )(cos βαf f >

5.如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于（ ） A ．11 B ．10 C ．8 D ．7

6. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( ) A.13,39,123 B. 42,41,123 C.24,23,123 D.28,27,123

7.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ） A.

8

7 B.

8

5 C.

6

5 D.

4

3

8. 已知函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的图象与直线y = b (0

A. []Z k k k ∈+,36,6ππ

B. []Z k k k ∈-,6,36

C. []Z k k k ∈+,36,6

D. 无法确定

9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为α，又n (A)表示集合的元素个数，A={x |x 2 +αx +3=1，x ∈R}，则n (A)=4的概率为（ ） A.

6

1 B ．

2

1 c ．

3

2 D ．

3

1

10. 设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若OA ·OB =6， △OAB 的重心是G ，则|OG | 的最小值是( )

A.1 B ．2 C ．3 D ．4

11.设点P 是椭圆)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为

21F PF ?的内心，若2

1

2

1

2F IF IPF IPF S S S ???=+，则该椭圆的离心率是 （ ）

(A)

2

1 (B)

2

2 (C)

2

3 (D)

4

1

12. 已知函数?

??>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺

序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( )

A ．1210-

B ．129-

C ．45

D ．55

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13

．设函数1(()2)0(2)

x f x x x ?≤

=<

，则2010

1

()f x dx -?的值为________.

14.正四面体ABCD 的外接球的球心为0,E 是BC 的中点，则直线OE 与平面BCD 所成角的正切

值为 .

15．已知曲线1ln )(++=bx x a x f 在点（)1(,1f ）处的切线斜率为-2，且3

2=x 是)

(x f y =的极值点，则a-b= . 16.关于)4

2sin(3)(π

+

=x x f 有以下命题：

①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)4

2cos(3)(π

-=x x g 图

象相同； ③)(x f 在区间]8

3,87[ππ--

上是减函数； ④)(x f 图象关于点)0,8

(π

-

对称。

其中正确的命题是 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17. （本小题满分12分）

设数列{n a }的前n 项和n S 满足:n S ＝n n a －2n （n －1）．等比数列{n b }的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5T ＝3T ＋25b ． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设数列{1

1n n a a ＋}的前n 项和为n M ，求证：

15

≤n M <

14

．

18. （本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD,

∠

ABC=60°，E,F 分别是BC,PC 的中点。 （Ⅰ）求证：AE ⊥PD ；

（Ⅱ）若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为

4

6，求二面角E-AF-C 的余弦值．

19.（本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同。每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中

①摸出3个白球的概率；②获奖的概率。

(2)求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E(x)。

20. （本小题满分12分） 已知椭圆C ：

2

22

2b

y a

x +

=1（a>b>0）的离心率为

2

1，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半

径的圆与直线x-y+6=0相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交随圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；

21. （本小题满分12分） 设()ln a f x x x x

=

+， 3

2

()3g x x x =--．

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数

M ；

（3）如果对任意的1

,[,2]2

s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线AB 经过⊙

O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O

接CD EC ,．

（I ）求证：直线AB 是⊙

O 的切线； （II ）若,2

1tan =∠CED ⊙

O 的半径为3，求OA 的长．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1：x 2

+y 2

=1，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ-sin θ)=6.

（Ⅰ）将曲线C 1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线

C 2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C

2

的参数方程.

（Ⅱ）在曲线C

2

上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数()|21|2,()|2| 3.

f x x

g x x

=-+=-++

（Ⅰ）解不等式：()2

g x≥-；

（Ⅱ）当x R

∈时，()()2

f x

g x m

-≥+恒成立，求实数m的取值范围。

2011—2012学年度下学期二调考试答案理科数学

一、选择题

1.D

2.A

3.C

4.A

5.C

6.B

7.C

8.C

9.D 10.B 11.A 12. C

6.解析：观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前

一项的3倍，故应选42，41，123，选B

二、填空题

13.

32

π

+

2

15. 10 16. ②③④

三、解答题

18.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA?平面PAD，AD?平面PAD 且PA∩AD=A，

所以 AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD.所以 AE⊥PD.……6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设AB=2，AP=a，则A（0，0

，17.

0），B （3，-1，0），C （3，1，0），D （0，2，0），P （0，0，a ），E （3，0，0），F （

2

2123a

，，）

， 所以 PB =（3，-1，-a ），且 AE =(3，0，0）为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，

由sin θ=|cos ＜ PB ， AE ＞=

3

432

a

+=

4

6……8分

解得a=2 所以 AE ＝（3,0,0）， AF ＝（

2

3，

2

1，1）

设平面AEF 的一法向量为m=(x 1,y 1,z 1)，则???

??=?=?0

0AF m AE m ，因此??

???=++=021

23,

031111Z y x x 取z 1=-1，则m=(0,2,-1),……10分 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC=A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量.又BD =（-3,3,0），

所以cos ＜m,BD ＞5

1512

532=

??=

.

因为二面角E-AF-C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为

5

15.……12分

19.（1） ① 设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件i A （i = 0 , 1, 2, 3）, 则

P(3A ) =

5

12

3

122

5

23=

?

C C C C ……………………3分

② 设“在1次游戏中获奖为事件B ” 则B = 32A A ?

又P(2A ) =

2

123

1

225

1

2

1323

2

22

5

2

3=?

?+

?

C

C C

C C C

C C

C 且2A , 3A 互斥，

所以10

7

5

12

1)()()(32=

+=

+=A P A P B P ………………6分

（2）由题意可知X 的所有可能取值为0， 1，2

1009

)

10

71()0(2

=

-

==x P

5021107)1071()1(1

2=-==C x P

100

49)

107(

)2(2

=

==x P

所以x 的分布列是 x 0

1

2

P

100

9

5021

100

49

X 的数学期望是E(X) = 5

7

100492502111009

0=

?+?+?…………………………12分 20.解：（Ⅰ）由题意知e=

a

c =

2

1，所以e 2

=

2

2c a

=

2

2

2c

b -a =

4

1．即a 2=

4

3b 2． 又因为b=1

16+=3，所以a 2=4，b 2

=3．故椭圆的方程为

3

4

2

2

y

x

+

=1.…4分

（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k(x-4)．

由?

??

??=+-=134

)

4(22y x x k y ,得（4k 2+3）x 2-32k 2x+64k 2-12=0． ①…6分

设点B(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，则A(x 1,-y 1)．直线AE 的方程为y-y 2=

1

221x x y y -+(x-x 2)．令y=0，

得x=x 2-1

2122)(y y x x y +-．将y 1=k(x 1-4)，y 2=k(x 2-4)代入，

整理，得x=

8

)

(42212121-++-x x x x x x ． ②…8分

由①得x 1+x 2=

3

4k

322

2

+k ，x 1x 2=

3

412k 642

2

+-k …10分 代入②整理，得x=1．

所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0)．……12分 21. 解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x

=

+，2

2'()ln 1f x x x

=-

++，(1)2f =，

'(1)1f =-，

所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+； 4分 （2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立

等价于：12m ax [()()]g x g x M -≥，

考察32

()3g x x x =--，

2

2

'()323()3g x x x x x =-=-，

由上表可知：m in m ax 285()(),()(2)13

27

g x g g x g ==-

==，

12m ax m ax m in 112[()()]()()27

g x g x g x g x -=-=

，

所以满足条件的最大整数4M =； 8分 3）当1

[,2]2x ∈时，()ln 1a f x x x x

=

+≥恒成立，等价于2

ln a x x x ≥-恒成立，

记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)

0h =。

记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1

[,2]2

x ∈，

'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2

上递减，又h /

（1）

=0，

当1

[,1)2x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，

即函数2()ln h x x x x =-在区间1

[,1)2

上递增，在区间(1,2]上递减，

所以m ax ()(1)1h x h ==，所以1a ≥。 12分 （3）另解：对任意的1

,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立

等价于：在区间1

[,2]2

上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值，

由（2）知，在区间1

[,2]2

上，()g x 的最大值为(2)1g =。

(1)1f a =≥，下证当1a ≥时，在区间1

[,2]2

上，函数()1f x ≥恒成立。

当1a ≥且1[,2]2x ∈时，1

()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，

记1()ln h x x x x =+，21

'()ln 1h x x x =-++， '(1)0

h = 当1[,1)2x ∈，21

'()ln 10h x x x

=-++<；当(1,2]x ∈，

21

'()ln 10h x x x

=-++>，

所以函数1

()ln h x x x x =

+在区间1

[,1)2

上递减，在区间(1,2]上递增， min ()(1)1h x h ==，即()1h x ≥，

所以当1a ≥且1

[,2]2

x ∈时，()1f x ≥成立，

即对任意1

,[,2]2

s t ∈，都有()()f s g t ≥。 12分

23. 解：（Ⅰ）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x-y-6=0.

∵C 2：（2

2

)2(3y x

+）（

=1 ∴C 2：的参数方程为：???==θ

θsin 2cos 3y x （θ为参数）……5分 （Ⅱ）设P （3cos θ，2sin θ），则点P 到l 的距离为： d=

5

|

6)60sin(4|5

|

6sin 2cos 32|--?=

--θθθ，

∴当sin(60°-θ)＝-1即点P （-

2

3,1）时，此时d wax =[5

|

64|+=25……10分