运筹学——图与网络分析

布图或煤气管道分布图等.
武汉
OR3
天津 济南 青岛 徐州 连云港 南京 上海
3
球队比赛图
五个球队比赛,比过的两个队之间用连线 相连，还没有比赛的队之间没有连线
v5
v1
v4
v2
v3
OR3
4
6.1 图的基本概念
图是由点和线构成的。点代表所研究的对象，线表示对 象间的关系。
1、图的分类：无向图，有向图
若全部改为P标号,则停止.否则转回(2).
OR3
15
用Dijkstra算法求图中v1到v8的最短路
OR3
16
最短路问题的算法：Bellman算法
适用范围：有向图，且图中有wij﹤0。
假设前提：任意两点vi, vj之间都有一条弧。 （若无，则添加一条虚拟的弧，且其权值为
＋∞。）
公式来源分析： vs到v j的最短路
w(P0) min w(P) P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
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13
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到v j的最短路 vs ,...,vi ,...,v j vs ,...,vi
v s 到vi的最短路
– Dijkstra算法基本思想: – 采用标号法: P标号和T标号
注意：寻求网络中的最大流就相当于求线性规 划模型的最优解。
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30
5.截集、截量、最小截量
截集：如果将
D
(V
,
A,
C )的点集 V分成两部分
V
1和V
，
1
使得
vs
V
,
1
vt
V
,
1
且V
1
V
＝，则把从
1
V
1指向V
1
的弧的全体称为分离
vs ,vt的截集，记为（ V 1,V
）.
1
截量：截集（V1，V1 ）中所有弧的容量之和称为 该截集的截量，记为c（V1，V 1 ）.
避圈法：将连通图所有边按权数从小到大排 序，每次从未选的边中选一条权数最小的边， 并使之与已选的边不能构成圈，直至得到最小 支撑树。
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11
避圈法的基本步骤P259
第一步：令i＝1，E0＝空集。 第二步：选一条边ei∈E﹨Ei-1,使ei是使 （V, Ei-1∪｛e｝）不含圈的所有边e（e
∈E﹨Ei-1）中权最小的边。令Ei＝Ei-1 ∪ ｛ei｝,如果这样的边不存在，则T=(V, Ei-1) 是最小树。 第三步：把i换成i＋1，转入第2步。
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32
6、增广链
在容量网络D=(V,A,C)中，若为网络中从 v上s到与 vt的同一方条向链的，弧给称链为前定向方弧向，为与从vs到v反t， 方向的弧称为后向弧，前向弧和后向弧的
集合分别用 和 来 表示。设 f 是f 一个可 ij
行流，如果满足：
v v
f c 0
ij
(,
ij
i
)
j
v v f c
2、掌握基本定理8及其证明 3、掌握求最大流的标号法
OR3
25
引例：如下输水网络，南水北调工程， 从vs到vt送水，弧旁数字前者为管道容量， 后者为现行流量，如何调运输水最多？
v2
(4,3)
(3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v4
(5,3) (3,0)
vt
(2,1)
v1 (2,2)
弧：图中带箭头的连线叫做弧(arc),弧的集合记为A， A= { ak },一条弧也是用两点表示，ak= [ vi,vj ],弧有方向： vi为始点，vj为终点
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5
OR3
6
（2）次：以点u为端点的边的条数，叫做点u的次。 悬挂点：次为1的点叫做悬挂点； 孤立点：次为0的点叫做孤立点； 奇点：次为奇数则称奇点； 偶点：次为偶数则称偶点。
v( f )
s
v v v v sj
js
(,)
(,)
sj
js
f f
v( f )
tj
jt
对收点v ，有 . t
v v ( , ) tj
v v ( , ) jt
v( f ) 是可行流的流量，是发点的净输出量，是收点的
净入量。
注意：任一D=(V,A,C)都存在可行流。如零流就是一 O个可R3 可认行为流fij＝。0如。果D=(V,A,C)中没有给出弧上的流量29 fij，
OPERATIONS RESE
运筹学
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1
第六章 图与网络分析
引论 : 哥尼斯堡七桥问题
AA
BC D
CD B
E
OR3
A c B
D
2
铁路交通图
此图是我国北京,上海等十个 北京
城市间的交通图,反映了这
十个城市间的铁路分布情况.
点表示城市,点间的连线表示
两个城市间的铁路线.
郑州
诸如此类问题还有电话线分
避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
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10
3、最小支撑树
最小支撑树：当一个连通图的所有边都被赋权， 则取不同边构成的支撑树具有不同的总权数， 其中总权数最小的支撑树称为最小支撑树。
求最小支撑树的方法：
破圈法：在连通图中任取一个圈，去掉一条 权数最大的边，在余下的图中重复上述步骤， 直至无圈为止。
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8
6.2 树与最小生成树
1、树的概念与性质 树：无圈的连通图称为树。 定理： 定量3：设图G=（V,E)是一个树，p(G) ≥2,则G中
至少有两个悬挂点。 定量4：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G不含
圈，且恰有p－1条边。 定量5：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G是连
通图，并且q(G)= p(G) -1. 定量6：图G=（V,E)是一个树的充要条件是任意
» P标号：已确定出最短路的节点(永久性标号)。 » T标号：未确定出最短路的节点，但表示其距离的上限(试探性标号)。 » 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号直至改完为止. » Si：P标号节点的集合。
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14
Dijkstra算法的基本步骤：
1:给vs以P标号, P(vs)=0,其余各点均给T标 号,T(vi)=+∞
66 3 3 3
-3 0 4
11 6 6 6 6
7
20
14 9 9
OR3
3
-1 0
22
15 10 10 10
当计算到第六步时，计算结果与第五步 相同，则表中第六列的数字分别表示点 v1到其它各点的最短路。
寻找最短路径的方法：反向追踪法。
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23
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24
6.4 最大流问题
1、掌握可行流、增广链、截集、截量等 基本概念
v3
OR3
26
最大流问题的基本概念
1、容量网络
如果有向连通网络图D=(V,A)的每
一条弧（vi，vj）上都被赋予一个非负 数，以表示通过该弧的最大通行能力，
称为弧的容量，则称这样的网络为容量
网络，记作D=(V,A,C)。
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27
2、流
在D=(V,A,C)中，如果实际通过每一 弧（vi，vj）的流量是fij，则称集合f= ｛fij｝为网络D=(V,A,C)上的一个流。
两个顶点之间恰好有一条链。
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9
2、图的支撑树
支撑树：设T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图， 如果T是一个树，则称T为G的支撑树。
定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连 通的。
求支撑树的方法：
破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条 边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含 圈为止。
最小截集：在D=(V,A,C)的所有截集中，截量最
小的截集称为最小截集，记为(
V
* 1
,V
)。 *
1
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31
注意：容量网络图D的截集不是唯一的， 截集个数是有限的。如果在图D中把任何 一个截集中的弧丢掉，那么从发点就不 能通往收点。所以，截集是从发点到收 点的必经之道。从而，有任何一个可行 流的流量都不会超过任意截集的截量。
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6.3 最短路问题
最短路：赋权有向图D=（V，A）中，从始点到终点的 权值最小的路称为最短路。
引例:
– 单行线交通网：v1到v8使总费用最小的旅行路线。 – 最短路问题的一般描述：
对D=（V，A），a=（vi，vj），w（Va）2(v1=,6）wij，P是vs 到vt的路，定义路P的权是P中所有弧的权的和，记 为w（P），则最短路问题为：
vs ,..., vi ,..., v j
vs ,...,vi
vi
,..., v
j
最短路
最短路
d
(vs
,
v
)
j
min
v v w d ( , )
s
i
ij
i
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17
基本思路：
用逐次逼近来求网络中的最短路：每次求出从始 点到网络中其余各点有限制的最短路。
若第一次逼近即得最短路，则限制其最短路只有
sj
sj
对t 2,...,k,
d v v min d v v w (t) ( , ) sj
( (t1) , )
( j 1,2,...,p)
si
ij
i
若进行到某一步，如第k步，对所有的j＝1，2，..., p有：
d v v d v v （k) ( , ) ( (k1) , )
sj
sj
d v v v 则该 （k) ( , )即为 到各点的最短路。
无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E).
有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A)
点的集合用V表示，V={vi}
2、图上的基本概念：
（1） 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记 为E= { ej } ，一条边可以用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ].
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28
3、可行流 对给定的D=(V,A,C)，把满足下列两个条件1），2） 的流称为可行流。
1）容量限制条件 :
对D中的每一条弧（vi，vj） ，有0≤ fij ≤cij; 2）平衡条件:
对中间点vi
，流入量等于流出量,即
v v ( , ) ij
f
ij
v v ( , ) ji
f
ji
0;
f f 对发点v ，有 ;
基本定理： 1、图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即
d(v) 2q
vV
2、任一图中，奇点的个数为偶数。
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7
（3）链：点边交替序列称为链； 圈：首尾相连的链称为圈；
初等链：链中各点均不同的链； 初等圈：圈中各点均不同的圈； 简单链：链中边均不同的链； 简单圈：圈中边均不同的圈。 （4）连通图：任意两点之间至少有一条链的图。 连通分图：对不连通的图，每一连通的部分称为一个连通 分图。 支撑子图：对G=(V,E)，若G’=(V’,E’)，使V’＝V， E’包含于 E，则G’是G的一个支撑子图。 赋权图：在图中，如果每一条边（弧）都被赋予一个权值 wij，则称图G为赋权图。 （5）路：在有向图中，如果链上每条弧的箭线方向与链行 进方向相同，则称之为路。 回路：首尾相接的路称回路
sj
sLeabharlann Baidu
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基本步骤：
1、令 d w (1)
1j
1j
，其中，若v1与vj间没弧，则记
w1j=+∞。
d min d w 2、
(t)
1j
( (t1) )
1i
ij
i
当计算到第k步时，若有
d d (k)
(k 1)
1j
1j
成立，则
停止计算。
d
(k 1j
)
即为从v1到各点的最短路。
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20
举例：求v1到各点的最短路
2:若vj 点为刚得到P 标号的点,考虑这样的点vj, (vi,vj) ∈E,且 vj为T标号.
3:对vj的T标号进行如下更改: T (v j ) min T (v j ), P(vi ) wij
4:比较所有具有T标号的点,把最小者改为P标号.
P(vi
)
min
T
(vi
)
当存在两个以上最小值时,可同时改为P标号.
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21
计算过程见下表： d d d min( d w ) (3) 1j
(2) 1i
i
ij (1)
(5)
(12)j
(6)
1j
(
(1)
)
d min d w 1j
1i
ij
d w 1j
1j i
0 2 5 -3
0 -2 4
0
6
40
0
00 0 0 0 0 22 2 2 2 2 50 0 0 0 0 -3 -3 -3 -3 -3 -3
0
( , )
ij
ij
ij
则称为从vs到vt的（关于f的）增广链。
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增广链的实际意义：
沿着这条链从vs 到 vt输送的流，还 有潜力可挖，只需按照定理证明中的调 整方法，就可以把流量提高；调整后的 流，在各点仍满足平衡条件及容量限制 条件，即仍为可行流。这样，就得到了 一个寻求最大流的方法：从一个可行流 开始，寻求关于这个可行流的增广链， 若存在，则可以经过调整，得到一个新 的可行流，其流量比原来的可行流要大， 重复这个过程，直到不存在关于该流的 增广链时就的得到了最大流。
一条弧，其路长记为
d
(1) sj
；
若第二次逼近即得最短路，则限制其最短路不超
过两条弧，其路长记为
d
(2) sj
；
依此类推，第k次逼近得最短路，则限制其不超过
k条弧。
一般的，最多逼近n-1次即得到最短路。
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为了求得公式的解可以运用以下公式：
令：
d v v w (1) ( , )
( j 1,2,...,p)
4、最大流
使得从网络发点到收点得总流量（W）达到最 大得可行流f=｛fij｝称为最大流。
最达大 到流 最问 大题 ，就 并是且求满一足个：流f=｛fij｝使其流量 v( f )
f c 0
ij
ij
(vi ,v j) A
v( f ) (i s)
f f 0
(i s,t)
ij
ji v( f ) (i t)