2003年中南大学数学分析

sin x dx 之值。 x
2 2
六、 （12 分）设 f(x)和 g(x)是[a,b]上的可积函数，证明下列 Schwarz 不等式
b f ( x) g ( x)dx b f ( x) dx b g ( x) dx 。 a a a
2
七、设 a,b 为常数，
二、 （共 24 分，每小题 12 分）设函数 f(x)在 a, 上连续， （1） 证明：若 lim f ( x ) 存在，则 f(x)在 a, 上一致连续；
x
（2） 上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例） 。 三、 （共 27 分，每小题 9 分）
1 2 2 , x2 y2 0 ( x y ) sin 2 2 设 f ( x, y ) x y 2 0, x y 2 0
' （1） 、求偏导数 f x 和 f y ； ' （2） f x 和 f y 在原点（0，0）的连续性；
'
'
（3） 讨论 f(x,y)在原点（0，0）的可微性。 四、 （共 30 分，每小题 15 分） （1） ，求 f ( x) ln(2 x ) 在 x=0 处的幂级数展开式及其收敛半径；
2
（2） ，计算三重积分 I
( x
v
2
y 2 )dxdydz，其中 V 是由曲面 x 2 y 2 z 与平面
z=4 所围的区域。 五、 （共 18 分，每小题 9 分） （1） 证明广义积分 I (a) （0
e ax
sin x dx 在 a 0 的范围内关于 a 一致收敛； x
x1 a, x2 b, xn
求 lim x n 。
n
xn1 xn2 (n 3), 2
2003 年中南大学数学分析
一、 （共 27 分，每题 9 分）求下列极限 （1） lim ( n n n ) ；
n
（2） lim[3
x x 0

2x
1
0
(cos t ) 2 dt] x ；
（3）设 f(x)在[0,1]上可积，且

1
0
f ( x)dx 1 ，求 lim
1 n 2k 1 f( )。 n n 2n k 1