电磁场与电磁波(西安交大第三版)第4章课后答案
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4-7、对于以速度 运动的点电荷，证明 ，其中 为此点电荷产生的电场强度。
解：以速度 运动的点电荷 ，可以看成一电流元
电流元的磁场为
4-8、.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为 ，圆盘绕其轴以角速度 旋转，求轴线上任一点的磁感应强度。
解：带电圆盘绕其轴以角速度 旋转，其上电流密度为 。在带电圆盘上取宽度为 的小环，电流为 ，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
左边
右边
因此有
4-15、在真空中，电流分布为
求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和
、 分别为两半圆环平面的法向单位矢。
4-6、在氢原子中，电子绕半径为 的圆轨道运动，速度为 ，求圆轨道的圆心点的磁场。
解：分子电流
式中 为电子的电量， 为电子运动速度， 为圆轨道运动的周长。半径为 ，电流强度为 的圆环电流在轴线上的磁场为
在圆心点的磁场为
题4-18图
4-19、一长螺线管，每毫米绕两圈，在螺线管内部的磁感应强度为 ，求线圈上的电流强度。
解：
3.14 A
4-20、壁很薄的、半径为 的导体圆筒导体圆筒上的电流面密度上的电流在圆筒外产生的磁场为 ，求导体圆筒上的电流面密度。
解：当导体圆筒上的电流面密度为 ，由安培环路定律
当 为以导体圆筒上的电流面密度的轴线为中心，半径为 的圆时
解：由上题可知，三角形导线的回路中心的矢量磁位也为Biblioteka Baidu。
4-23、两根长直导线，平行放置，每个长度为 ，携载相等的电流 ，方向相反，间距为 。取坐标系，使两根长直导线在 面，且平行于 轴，原点在两根长直导线之间的中点。右侧的导线电流为 向，左侧的导线电流为 向。计算在点 的（1）矢量磁位；（2）磁感应强度。
式中 、 分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此
为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。
4-18、已知真空中位于xy平面的表面电流为 ，求磁感应强度。
解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y方向，跨电流面取一长为L的矩形回路，利用安培环路定律得
因此
写成矢量形式为
左边
右边 =
因此有
4-17、已知无限长导体圆柱半径为a，其内部有一圆柱形空腔半径为b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为 ，试求空腔中的磁感应强度。
习题图4-17
解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度 为
为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度； 为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律
题4-2图题4-3图
4-3、真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场.
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为
4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。
(c)
题4-4图
解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为
在圆环上磁场 相等， ，因此
4-13、如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。
解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则
因此
题4-13图
4-14、真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为 ，求磁感应强度。
因此
4-21、真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的矢量磁位。
解：首先计算载电流为I、长度为 的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为 ，如图所示。
题4-21图
矢量磁位为
当 时，
正方形导线回路的回路中心的矢量磁位为
4-22、真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的矢量磁位。.
（1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此
（2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为
因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和
（3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即
4-5、在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，求半圆弧心处的磁场。
解：半径为 ，电流强度为 的圆环电流在轴线上的磁场为
4-11、如果 ；求：
解： ，
4-12、真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为 ，沿轴向流动。求圆筒内外的磁场。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
左边
右边
因此有
4-16、在真空中，有一无限长、半径为 的圆柱导体内电流沿轴向流动，电流密度轴对称分布为 ，计算空间任意点的磁感应强度。
解：解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为
4-9、宽度为w的导电平板上电流面密度为 ，如图所示，求磁感应强度。
题4-9图
解：在空间取场点 ，在导电平板上 位置取宽度为 的细长电流，在场点产生的磁场为
导电平板上的电流产生的总场为
4-10、计算半径为a、电流为I的电流圆环在其轴线 轴上产生的磁感应强度的线积分 。
第四章习题
4-1、电量为 的点电荷，在磁场 中运动，经过点 速度为
。求电荷在该点所受的磁场力。
解：根据洛仑兹力公式
4-2、真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为
因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为
解：以速度 运动的点电荷 ，可以看成一电流元
电流元的磁场为
4-8、.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为 ，圆盘绕其轴以角速度 旋转，求轴线上任一点的磁感应强度。
解：带电圆盘绕其轴以角速度 旋转，其上电流密度为 。在带电圆盘上取宽度为 的小环，电流为 ，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
左边
右边
因此有
4-15、在真空中，电流分布为
求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和
、 分别为两半圆环平面的法向单位矢。
4-6、在氢原子中，电子绕半径为 的圆轨道运动，速度为 ，求圆轨道的圆心点的磁场。
解：分子电流
式中 为电子的电量， 为电子运动速度， 为圆轨道运动的周长。半径为 ，电流强度为 的圆环电流在轴线上的磁场为
在圆心点的磁场为
题4-18图
4-19、一长螺线管，每毫米绕两圈，在螺线管内部的磁感应强度为 ，求线圈上的电流强度。
解：
3.14 A
4-20、壁很薄的、半径为 的导体圆筒导体圆筒上的电流面密度上的电流在圆筒外产生的磁场为 ，求导体圆筒上的电流面密度。
解：当导体圆筒上的电流面密度为 ，由安培环路定律
当 为以导体圆筒上的电流面密度的轴线为中心，半径为 的圆时
解：由上题可知，三角形导线的回路中心的矢量磁位也为Biblioteka Baidu。
4-23、两根长直导线，平行放置，每个长度为 ，携载相等的电流 ，方向相反，间距为 。取坐标系，使两根长直导线在 面，且平行于 轴，原点在两根长直导线之间的中点。右侧的导线电流为 向，左侧的导线电流为 向。计算在点 的（1）矢量磁位；（2）磁感应强度。
式中 、 分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此
为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。
4-18、已知真空中位于xy平面的表面电流为 ，求磁感应强度。
解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y方向，跨电流面取一长为L的矩形回路，利用安培环路定律得
因此
写成矢量形式为
左边
右边 =
因此有
4-17、已知无限长导体圆柱半径为a，其内部有一圆柱形空腔半径为b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为 ，试求空腔中的磁感应强度。
习题图4-17
解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度 为
为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度； 为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律
题4-2图题4-3图
4-3、真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场.
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为
4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。
(c)
题4-4图
解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为
在圆环上磁场 相等， ，因此
4-13、如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。
解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则
因此
题4-13图
4-14、真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为 ，求磁感应强度。
因此
4-21、真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的矢量磁位。
解：首先计算载电流为I、长度为 的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为 ，如图所示。
题4-21图
矢量磁位为
当 时，
正方形导线回路的回路中心的矢量磁位为
4-22、真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的矢量磁位。.
（1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此
（2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为
因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和
（3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即
4-5、在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，求半圆弧心处的磁场。
解：半径为 ，电流强度为 的圆环电流在轴线上的磁场为
4-11、如果 ；求：
解： ，
4-12、真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为 ，沿轴向流动。求圆筒内外的磁场。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
左边
右边
因此有
4-16、在真空中，有一无限长、半径为 的圆柱导体内电流沿轴向流动，电流密度轴对称分布为 ，计算空间任意点的磁感应强度。
解：解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律
旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为
4-9、宽度为w的导电平板上电流面密度为 ，如图所示，求磁感应强度。
题4-9图
解：在空间取场点 ，在导电平板上 位置取宽度为 的细长电流，在场点产生的磁场为
导电平板上的电流产生的总场为
4-10、计算半径为a、电流为I的电流圆环在其轴线 轴上产生的磁感应强度的线积分 。
第四章习题
4-1、电量为 的点电荷，在磁场 中运动，经过点 速度为
。求电荷在该点所受的磁场力。
解：根据洛仑兹力公式
4-2、真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为
因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为