北京国子监中学数学一元一次方程中考真题汇编[解析版]
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一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.如图,动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时,动点B也从原点出发向数轴正方向运动,运动到3秒钟时,两点相距15个单位长度.已知动点A、B的运动速度比之是3∶2(速度单位:1个单位长度/秒).
(1)求两个动点运动的速度;
(2)A、B两点运动到3秒时停止运动,请在数轴上标出此时A、B两点的位置;
(3)若A、B两点分别从(2)中标出的位置再次同时开始在数轴上运动,运动的速度不变,运动的方向不限,问:运动到几秒钟时,A、B两点之间相距4个单位长度?
【答案】(1)解:设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,
根据题意得:3×(2x+3x)=15,
解得:x=1,
∴3x=3,2x=2,
答:动点A的运动速度为3个单位长度/秒,动点B的运动速度为2个单位长度/秒;
(2)解:3×3=9,2×3=6,
∴运动到3秒钟时,点A表示的数为﹣9,点B表示的数为6;
(3)解:设运动的时间为t秒,
当A、B两点向数轴正方向运动时,有|3t﹣2t﹣15|=4,
解得:t1=11,t2=19;
当A、B两点相向而行时,有|15﹣3t﹣2t|=4,
解得:t3= 或t4= ,
答:经过、、11或19秒,A、B两点之间相距4个单位长度.
【解析】【分析】(1)根据已知:动点A、B的运动速度比之是3∶2,因此设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,根据两点相距15,列方程,求解即可。
(2)根据两点的运动速度,就快求出A、B两点运动到3秒时停止运动,就可得出它们的位置。
(3)设运动的时间为t秒,分两种情况:当A、B两点向数轴正方向运动时;当A、B两点相向而行时,分别根据A、B两点之间相距4个单位长度,列方程求出t的值。
2.今年夏天,我州某地区遭受罕见的水灾,“水灾无情人有情”,州里某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件。
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件。
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学。已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件,则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮忙设计出来。
(3)在(2)的条件下,如果甲型货车每辆需付运费400元,乙型货车每辆需付运费360元。该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
【答案】(1)解:设蔬菜有x件,根据题意得
解得:
答:蔬菜有件、饮用水有件
(2)解:设安排甲种货车a辆,根据题意得
解得:
∵a为正整数
∴或或
∴有三种方案:①甲种货车2辆,乙种货车6辆;
②甲种货车3辆,乙种货车5辆;
③甲种货车4辆,乙种货车4辆
(3)解:方案①:(元)
方案②:(元)
方案③:(元)
∵
∴选择方案①可使运费最少,最少运费是元
【解析】【分析】(1)设蔬菜有x件,根据题意列出方程,求出方程的解,即可求解;(2)设安排甲种货车a辆,根据题意列出不等式组,求出不等式组的解集,由a为正整数,得出a为2或3或4,即可求出有三种方案;
(3)分别求出三种方案的运费,即可求解.
3.用“ ”规定一种新运算:对于任意有理数 a 和b,规定
.如:
.
(1)求的值;
(2)若=32,求的值;
(3)若,(其中为有理数),试比较m、n的大小.
【答案】(1)解:∵
∴ =
(2)解:∵=32,
∴可列方程为;
解方程得:x=1
(3)解:∵ = ,
;
∴;
∴
【解析】【分析】(1)利用规定的运算方法直接代入计算即可;(2)利用规定的运算方法得出方程,求得方程的解即可;(3)利用规定的运算方法得出m、n,再进一步作差比较即可.
4.约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
示例:如图1,即4+3=7,观察图2,求:
(1)用含x的式子分别表示m和n;
(2)当y=-7时,求n的值。
【答案】(1)解:根据约定的方法可得:
m=x+2x=3x;
n=2x+3;
(2)解:x+2x+2x+3=m+n=y
当y=-7时,5x+3=-7
解得x=-2.
∴n=2x+3=-4+3=-1
【解析】【分析】(1)根据约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数,分别列式即可;
(2)根据约定可得m+n=y,代入上题的关系整理可得关于x的一元一次方程,解出x, 代入n的表达式求值即可.
5.某县外出的农民工准备集体包车回家过春节,如果单独租用45座客车若干辆,刚好坐满;如果单独租用60座客车,可少租1辆,且余15个座位.
(1)求准备包车回家过春节的农民工人数;
(2)已知租用45座客车的租金为每辆车5000元,60座客车的租金为每辆车6000元,问租用哪种客车更合算?请说明理由.
【答案】(1)解:设需单独租45座客车x辆,依题意得
45x=60(x-1)-15
解这个方程,得 x=5
则45x=45×5=225
答:准备回家过春节的农民工有225人
(2)解:由(1)知,需租5辆45座客车或4辆60座客车;
而租5辆45座客车的费用为 5×5000=25000(元),
租4辆60座客车的费用为4×6000=24000(元).
故,租4辆60座客车更合算
【解析】【分析】(1)设需单独租45座客车x辆,根据单独租用45座客车若干辆,刚好